一玻璃柱的折射率 n= 3，其横截面为四分之一圆，圆的半径…——2024 高考物理第 16 题答案解析

【答案】 $\sqrt{\frac{1}{4-2 \sqrt{2}}}$
【解析】
【详解】如图，画出光路图

可知

$$ \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}=n=\sqrt{3} $$

设临界角为 $C$ ，得

$$ \sin C=\frac{1}{n}=\frac{\sqrt{3}}{3}, \quad \cos C=\frac{\sqrt{6}}{3} $$

根据 $\alpha=\beta+C$ 可得

$$ \frac{\sin (\beta+C)}{\sin \beta}=\sqrt{3} $$

解得

$$ \tan \beta=\frac{1}{3-\sqrt{2}} $$

故可得

$$ \sin \beta=\frac{1}{\sqrt{12-6 \sqrt{2}}} $$

故可知

$$ \frac{h}{R}=\sin \alpha=\sqrt{3} \sin \beta=\sqrt{\frac{1}{4-2 \sqrt{2}}} $$