2026_新课标 II 卷
15．某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出现故障的时间（天），绘制成如下的频率分布直方图：
（1） 求第一四分位数和中位数；
（2） $\hat{p}$ 为首次故障时间小于 365 天的概率估计值．
（i） 求 $\hat{p}$ ；
（ii） 工厂向某用户销售 100 件电子元件，$X$ 为这 100 件产品首次出现故障小于 365 天的件数，则 $X \sim B(100, \hat{p})$ ，求 $E(X), D(X)$ 。
$Q_{1}=370,M=381;\hat{p}=0.15;E(X)=15,D(X)=12.75$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【解析】
方法一：（1）由频率分布直方图可得各组频率依次为
$$ \begin{gathered} 0.005 \times 10=0.05,0.010 \times 10=0.10,0.020 \times 10=0.20,0.025 \times 10=0.25 \\ 0.015 \times 10=0.15,0.015 \times 10=0.15,0.010 \times 10=0.10 \end{gathered} $$
累积频率依次为0．05，0．15，0．35，0．60，0．75，0．90，1．
$$ \begin{aligned} & Q_{1}=365+\frac{0.25-0.15}{0.020}=370, \\ & M=375+\frac{0.50-0.35}{0.025}=381 . \end{aligned} $$
所以第一四分位数为370，中位数为381。
（2）（i）首次故障时间小于365天对应前两组，
$$ \hat{p}=0.05+0.10=0.15 . $$
（ii）由 $X \sim \mathrm{~B}(100,0.15)$ ，得
$$ \begin{gathered} \mathrm{E}(X)=100 \times 0.15=15 \\ D(X)=100 \times 0.15 \times 0.85=12.75 . \end{gathered} $$