在直角坐标系xOy中，曲线 C _ 1 的参数方程为 ar…——2020 高考数学第 22 题答案解析

【答案】（1）曲线 $C _ { 1 }$ 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；② $( \frac { 1 } { 4 } , \frac { 1 } { 4 } )$

【解析】

【分析】

（1）利用 $\sin ^ { 2 } t + \cos ^ { 2 } t = 1$ 消去参数t，求出曲线 $C _ { 1 }$ 的普通方程，即可得出结论；

> ②当k = 4时， $x \ge 0 , y \ge 0$ ，曲线 $C _ { 1 }$ 的参数方程化为 $\left\{ { \begin{array} { l } { { \sqrt { x } } = \cos ^ { 2 } t } \\ { { \sqrt { y } } = \sin ^ { 2 } t } \end{array} } \right.$ (t为参数），两式相加消去参数t，得 $C _ { 1 }$ 普通方程，由 $\rho \cos \theta = x , \rho \sin \theta = y$ ，将曲线 $C _ { 2 }$ 化为直角坐标方程，联立 $C _ { 1 } , C _ { 2 }$ 方程，即可求解.

【详解】①当k =1时，曲线 $C _ { 1 }$ 的参数方程为 $\left\{ { \begin{array} { l } { x = \cos t } \\ { y = \sin t } \end{array} } \right.$ (t 为参数），

两式平方相加得 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1$

所以曲线 $C _ { 1 }$ 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；

> ②当k = 4时，曲线 $C _ { 1 }$ 的参数方程为 $\left\{ { \begin{array} { l } { x = \cos ^ { 4 } t } \\ { y = \sin ^ { 4 } t } \end{array} } \right.$ (t为参数），

所以 $x \ge 0 , y \ge 0$ ，曲线 $C _ { 1 }$ 的参数方程化为 $\left\{ { \begin{array} { l } { { \sqrt { x } } = \cos ^ { 2 } t } \\ { { \sqrt { y } } = \sin ^ { 2 } t } \end{array} } \right.$ (t为参数），

两式相加得曲线 $C _ { 1 }$ 方程为 ${ \sqrt { x } } + { \sqrt { y } } = 1$

得 ${ \sqrt { y } } = 1 - { \sqrt { x } }$ ，平方得 $y = x - 2 \sqrt { x } + 1 , 0 \leq x \leq 1 , 0 \leq y \leq 1$

曲线 $C _ { 2 }$ 的极坐标方程为 $4 \rho \cos \theta - 1 6 \rho \sin \theta + 3 = 0$

曲线 $C _ { 2 }$ 直角坐标方程为 $4 x - 1 6 y + 3 = 0$

联立 $C _ { 1 } , C _ { 2 }$ 方程 $\left\{ \begin{array} { l l } { y = x - 2 { \sqrt { x } } + 1 } \\ { 4 x - 1 6 y + 3 = 0 } \end{array} \right.$

整理得 $1 2 x - 3 2 { \sqrt { x } } + 1 3 = 0$ ，解得 ${ \sqrt { x } } = { \frac { 1 } { 2 } }$ 或 ${ \sqrt { x } } = { \frac { 1 3 } { 6 } }$ （舍去），$\therefore x = { \frac { 1 } { 4 } } , y = { \frac { 1 } { 4 } } , \ \therefore C _ { 1 } , C _ { 2 }$ 公共点的直角坐标为 $( \frac { 1 } { 4 } , \frac { 1 } { 4 } )$

【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关系，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.