如图，半径为 4 的球 O 中有一内接圆柱。当圆柱的面积最…——2011 高考数学第 15 题答案解析

【解答】
（4分）（2011•四川）如图，半径为4的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是　32π

【考点】球内接多面体

【专题】计算题；压轴题

【分析】设出圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，求出圆柱的侧面积表达式，求出最大值，计算球的表面积，即可得到两者的差值

【解答】解：设圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，则 $\scriptstyle \mathbf { r } = 4 \cos \alpha$ ，圆柱的高为8sinα，圆柱的侧面积为：32πsin2α，当且仅当 $\alpha { = } \frac { \pi } { 4 }$ 时， $\mathrm { s i n } 2 \mathsf { a } { = } 1$ ，圆柱的侧面积最大，圆柱的侧面积为：32π，球的表面积为：64π，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是：32π

故答案为：32π

【点评】本题是基础题，考查球的内接圆柱的知识，球的表面积，圆柱的侧面积的最大值的求法，考查计算能力，常考题型