（本小题满分12分）设函数 f ( x ) = a x -…——2008 高考数学第 21 题答案解析

【解答】
（12分）（2008•海南）设函数 $( \mathbf { x } ) = \mathbf { a x } - \frac { \mathrm { b } } { \mathbf { x } } ,$ 曲线 $\mathbf { \partial } _ { \mathbf { y } = \mathbf { f } } \left( \mathbf { \partial } _ { \mathbf { X } } \right)$ 在点（2，f（2））处的切线方程为 $7 { \mathrm { x } } - 4 { \mathrm { y } } - 1 2 { = } 0$

（1）求 $\mathbf { y } { = } \mathbf { f } \ \left( \mathbf { x } \right)$ 的解析式；

（2）证明：曲线 $\operatorname { i } \mathbf { y } { = } \mathbf { f } \ \left( \mathbf { x } \right)$ 上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的几何意义；直线的一般式方程

【分析】（1）已知曲线上的点，并且知道过此点的切线方程，容易求出斜率，又知点（2，f（2））在曲线上，利用方程联立解出a，b

（2）可以设P $( \mathbf { \boldsymbol { x } } _ { 0 } , \mathbf { \boldsymbol { y } } _ { 0 } )$ 为曲线上任一点，得到切线方程，再利用切线方程分别与直线x=0和直$\scriptstyle { \frac { 4 } { 5 } } { \dot { \bar { z } } } = \mathbf { { \bar { x } } }$ 联立，得到交点坐标，接着利用三角形面积公式即可

【解答】解析：（1）方程 $7 { \mathrm { x } } - 4 { \mathrm { y } } - 1 2 { = } 0 { \overline { { \mathrm { H } } } }$ 化为 $y = \frac { 7 } { 4 } x - 3$ ，当 $\scriptstyle \mathbf { x } = 2 \mathbb { H } { \mathrm { } } { \mathrm { } } { \mathrm { } } { \mathrm { } }$ $y = \frac { 1 } { 2 } ,$ 又 ${ \bf f } ^ { ' } ( \mathrm { \bf ~ x } ) = _ { a } + \frac { \mathrm { \Delta } b } { \mathrm { \bf ~ x } ^ { 2 } } ,$ 于是 $\left\{ \begin{array} { l } { 2 \bar { \mathbf { a } } - \frac { \mathbf { b } } { 2 } = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \bar { \mathbf { a } } + \frac { \mathbf { b } } { 4 } = \frac { 7 } { 4 } } \end{array} \right. ,$ ，解得 $\left\{ \begin{array} { l } { { \tt a } { = } 1 } \\ { { \tt b } { = } 3 } \end{array} \right.$ ，故 $( \mathbf { \nabla _ { x } } ) \mathbf { \nabla _ { x } } = \mathbf { { x } } - \frac { 3 } { \mathbf { \nabla _ { x } } } .$

> ②设P $( \mathbf { \boldsymbol { x } } _ { 0 } , \mathbf { \boldsymbol { y } } _ { 0 } )$ 为曲线上任一点，由 $\textbf { y } ^ { \prime } = 1 + \frac { 3 } { \textbf { x } ^ { 2 } }$ 知曲线在点P $( \mathbf { \boldsymbol { x } } _ { 0 } , \mathbf { \boldsymbol { y } } _ { 0 } )$ 处的切线方程为$y - y _ { 0 } = ( 1 + \frac { 3 } { \textbf { x } _ { 0 } } ) ( x - x _ { 0 } )$ ，即 $y - ( x _ { 0 } - \frac { 3 } { x _ { 0 } } ) = ( 1 + \frac { 3 } { x _ { n } } ) ( x - x _ { 0 } )$ 令x=0，得 $\mathbf { y } = - \frac { 6 } { \mathbf { x } _ { \bar { 0 } } } ,$ ，从而得切线与直线x=0的交点坐标为 $( 0 , ~ - \frac { 6 } { { \bf x } _ { \bar { 0 } } } )$ ；令 $\mathbf { \{ } - \mathbf { X } $ ，得 $\scriptstyle \mathbf { y } = \mathbf { x } = 2 \mathbf { x } _ { 0 } ,$ ，从而得切线与直线y=x的交点坐标为 $( 2 \mathrm { x } _ { 0 } , \ 2 \mathrm { x } _ { 0 } )$ ；

所以点P $( \mathbf { \boldsymbol { x } } _ { 0 } , \mathbf { \boldsymbol { y } } _ { 0 } )$ 处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为 $\vert \frac { 1 } { 2 } \vert - \frac { 6 } { \mathbf { x } _ { 0 } } \vert \vert 2 \mathbf { x } _ { 0 } \vert = 6$ 故曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为定值，此定值为6

【点评】高考考点：导数及直线方程的相关知识

易错点：运算量大，不仔细而出错

备考提示：运算能力一直是高考考查的能力之一，近年来，对运算能力的要求降低了，但对准确率的要求提高了