（5分） A B C ^，AB边的高为CD，若 C B =…——2012 高考数学第 9 题答案解析

【考点】9Y：平面向量的综合题

【分析】由题意可得， ${ \mathsf { C A } } \bot { \mathsf { C B } }$ ，CD⊥AB，由射影定理可得， $\mathsf { A C } ^ { 2 } { = } \mathsf { A D } \bullet \mathsf { A B }$ 可求AD ，进而可求 $\frac { A D } { A B }$ ，从而可求 $\overrightarrow { \mathbb { A D } } .$ 与 $\overrightarrow { \ A B } \vert$ 的关系，进而可求
【解答】解： $\because \overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } = 0$

$$ \therefore C A \bot C B $$

$$ \because C D \bot A B $$

$$ \because \vert \overrightarrow { \sf { a } } \vert = 1 , \vert \overrightarrow { \sf { b } } \vert = 2 $$

$$ \therefore A B = \sqrt { 5 } $$

由射影定理可得， $\mathsf { A C } ^ { 2 } { = } \mathsf { A D } \bullet \mathsf { A B }$

$$ \therefore A D = \frac { 4 } { \sqrt { 5 } } = \frac { 4 \sqrt { 5 } } { 5 } $$

$$ \therefore \frac { A D } { A B } = \frac { \frac { 4 \sqrt { 5 } } { 5 } } { \sqrt { 5 } } = \frac { 4 } { 5 } $$

$$ \therefore \overrightarrow { A D } = \frac { 4 } { 5 } \overrightarrow { A B } = \frac { 4 } { 5 } ( \overrightarrow { C B } - \overrightarrow { C A } ) = \frac { 4 } { 5 } ( \overrightarrow { a } - \overrightarrow { b } ) $$

故选：D

【点评】本题主要考查了直角三角形的射影定理的应用，向量的基本运算的应用，向量的数量积的性质的应用