已知 f(x) 为定义在 R 上的偶函数，且 f(x)+f…——2026 高考数学第 8 题答案解析

【解析】
方法一：由条件得 $f(x+2)=-f(x)$ ，所以 $f(x+4)=f(x)$ 。又 $f(x)$ 为偶函数，故 $f(4-x)=f(x)$ 。当 $x \in\left[\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right]$ 时，$x$ 与 $4-x$ 都在 $\left[\frac{3}{2}, 3\right]$ 内，于是
$(4-x)^{2}+a(4-x)+b=x^{2}+a x+b$ ，化简得 $(a+4)(2-x)=0$ 恒成立，所以 $a=-4$ 。又令 $x=1$ ，由 $f(1)+f(-1)=0$ 及偶性，得 $f(1)=0$ ，所以 $f(3)=0$ ，即 $9+$ $3 a+b=0$ ，故 $b=3$ ，选 D。

方法二：两点秒杀。由 $x=1$ 代入原式，得 $f(1)+f(-1)=0$ ，偶性给出 $f(1)= f(-1)$ ，故 $f(1)=0$ ；再由 $f(3)+f(1)=0$ ，得 $f(3)=0$ ，即 $9+3 a+b=0$ ，只剩A、 D。再由 $f\left(\frac{3}{2}\right)+f\left(-\frac{1}{2}\right)=0, f\left(\frac{5}{2}\right)+f\left(\frac{1}{2}\right)=0$ ，且 $f\left(-\frac{1}{2}\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)$ ，得 $f\left(\frac{3}{2}\right)=f\left(\frac{5}{2}\right)$ ，即 $\frac{9}{4}+\frac{3 a}{2}+b=\frac{25}{4}+\frac{5 a}{2}+b$ ，所以 $a=-4$ ，故选