如图，在三棱锥P– ABC的平面展开图中，AC=1， A…——2020 高考数学第 16 题答案解析

【答案】 $- { \frac { 1 } { 4 } }$

【解析】

【分析】

在 $\triangle A C E$ 中，利用余弦定理可求得CE，可得出CF，利用勾股定理计算出BC、BD，可得出 $B F$ ，然后在 $\triangle B C F$ 中利用余弦定理可求得 $\cos \angle F C B$ 的值.

【详解】 $\because A B \bot A C$ $A B = { \sqrt { 3 } }$ $A C = 1$

由勾股定理得 $B C = \sqrt { A B ^ { 2 } + A C ^ { 2 } } = 2$

同理得 $B D = \sqrt { 6 } \ , \therefore B F = B D = \sqrt { 6 }$

在 $\triangle A C E$ 中， AC =1， $A E = A D = \sqrt { 3 } \ , \angle C A E = 3 0 ^ { \circ }$

由余弦定理得 $C E ^ { 2 } = A C ^ { 2 } + A E ^ { 2 } - 2 A C \cdot A E \cos 3 0 ^ { \circ } = 1 + 3 - 2 \times 1 \times { \sqrt { 3 } } \times { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } = 1$

$$ \therefore C F = C E = 1 $$

在 $\triangle B C F$ 中， BC = 2， $B F = { \sqrt { 6 } }$ ，CF =1，

由余弦定理得 $\cos \angle F C B = \frac { C F ^ { 2 } + B C ^ { 2 } - B F ^ { 2 } } { 2 C F \cdot B C } = \frac { 1 + 4 - 6 } { 2 \times 1 \times 2 } = - \frac { 1 } { 4 } .$

故答案为： $- { \frac { 1 } { 4 } }$

【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.