（本小题满分 13 分，（I）小问 6 分，（II）小问…——2012 高考数学第 16 题答案解析

【答案】：$a=-1$（II）极小值 $f(1)=3$
【解析】：（I）因 $f(x)=a \ln x+\frac{1}{2 x}+\frac{3}{2} x+1$ ，故 $f^{\prime}(x)=\frac{a}{x}-\frac{1}{2 x^{2}}+\frac{3}{2}$ 由于曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线垂直于 $y$ 轴，故该切线斜率为 0 ，即 $f^{\prime}(1)=0$ ，从而 $a-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=0$ ，解得 $a=-1$
（II）由（I）知 $f(x)=-\ln x+\frac{1}{2 x}+\frac{3}{2} x+1(x>0), f^{\prime}(x)=-\frac{1}{x}-\frac{1}{2 x^{2}}+\frac{3}{2} =\frac{3 x^{2}-2 x-1}{2 x^{2}}=\frac{(3 x+1)(x-1)}{2 x^{2}}$ 令 $f^{\prime}(x)=0$ ，解得 $x_{1}=1, x_{2}=-\frac{1}{3}$（因 $x_{2}=-\frac{1}{3}$ 不在定

义域内，舍去）当 $x \in(0,1)$ 时，$f^{\prime}(x)<0$ 故 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上为减函数；当 $x \in(1,+\infty)$时，$f^{\prime}(x)>0$ 故 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上为增函数，故 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极小值 $f(1)=3$

【考点定位】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义、两条直线平行的判定等基础知识，考查运算求解能力．