设正整数 n=a_ 0 · 2^ 0 +a_ 1 · 2+…——2021 高考数学第 12 题答案解析

【答案】ACD
【解析】
【分析】利用 $\omega(n)$ 的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误．

【详解】对于 A 选项，$\omega(n)=a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{k}, 2 n=a_{0} \cdot 2^{1}+a_{1} \cdot 2^{2}+\cdots+a_{k-1} \cdot 2^{k}+a_{k} \cdot 2^{k+1}$ ，
所以，$\omega(2 n)=a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{k}=\omega(n)$ ， A 选项正确；
对于 B 选项，取 $n=2,2 n+3=7=1 \cdot 2^{0}+1 \cdot 2^{1}+1 \cdot 2^{2}, \therefore \omega(7)=3$ ，
而 $2=0 \cdot 2^{0}+1 \cdot 2^{1}$ ，则 $\omega(2)=1$ ，即 $\omega(7) \neq \omega(2)+1, ~ B$ 选项错误；
对于 C 选项， $8 n+5=a_{0} \cdot 2^{3}+a_{1} \cdot 2^{4}+\cdots+a_{k} \cdot 2^{k+3}+5=1 \cdot 2^{0}+1 \cdot 2^{2}+a_{0} \cdot 2^{3}+a_{1} \cdot 2^{4}+\cdots+a_{k} \cdot 2^{k+3}$ ，
所以，$\omega(8 n+5)=2+a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{k}$ ，
$4 n+3=a_{0} \cdot 2^{2}+a_{1} \cdot 2^{3}+\cdots+a_{k} \cdot 2^{k+2}+3=1 \cdot 2^{0}+1 \cdot 2^{1}+a_{0} \cdot 2^{2}+a_{1} \cdot 2^{3}+\cdots+a_{k} \cdot 2^{k+2}$,
所以，$\omega(4 n+3)=2+a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{k}$ ，因此，$\omega(8 n+5)=\omega(4 n+3)$ ，C选项正确；
对于 D 选项， $2^{n}-1=2^{0}+2^{1}+\cdots+2^{n-1}$ ，故 $\omega\left(2^{n}-1\right)=n$ ，D选项正确．
故选：ACD．