【解答】
已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 为等比数列，$a_{1}=b_{1}=1, a_{5}=5\left(a_{4}-a_{3}\right), b_{5}=4\left(b_{4}-b_{3}\right)$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）记 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证：$S_{n} S_{n+2}<S_{n+1}^{2}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ；
（III）对任意的正整数 $n$ ，设 $c_{n}=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\left(3 a_{n}-2\right) b_{n}}{a_{n} a_{n+2}}, & n \text { 为奇数，} \\ \frac{a_{n-1}}{b_{n+1}}, & n \text { 为偶数．}\end{array}\right.$ 求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $2 n$ 项和．
【答案】（I）$a_{n}=n, b_{n}=2^{n-1}$ ；（II）证明见解析；（III）$\frac{4^{n}}{2 n+1}-\frac{6 n+5}{9 \times 4^{n}}-\frac{4}{9}$ ．
【解析】
【分析】
（I）由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；
（II）利用（I）的结论首先求得数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和，然后利用作差法证明即可；
（III）分类讨论 $n$ 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算 $\sum_{k=1}^{n} c_{2 k-1}$ 和 $\sum_{k=1}^{n} c_{2 k}$ 的值，据此进一步计算数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $2 n$ 项和即可．
【详解】（I）设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$ ，等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ ．
由 $a_{1}=1, a_{5}=5\left(a_{4}-a_{3}\right)$, 可得 $d=1$ ．
从而 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=n$ ．
由 $b_{1}=1, b_{5}=4\left(b_{4}-b_{3}\right)$ ，
又 $q \neq 0$ ，可得 $q^{2}-4 q+4=0$ ，解得 $q=2$ ，
从而 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式为 $b_{n}=2^{n-1}$ ．
（II）证明：由（I）可得 $S_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$ ，
故 $S_{n} S_{n+2}=\frac{1}{4} n(n+1)(n+2)(n+3), S_{n+1}^{2}=\frac{1}{4}(n+1)^{2}(n+2)^{2}$ ，
从而 $S_{n} S_{n+2}-S_{n+1}^{2}=-\frac{1}{2}(n+1)(n+2)<0$ ，
所以 $S_{n} S_{n+2}<S_{n+1}^{2}$ ．
（III）当 $n$ 为奇数时，$c_{n}=\frac{\left(3 a_{n}-2\right) b_{n}}{a_{n} a_{n+2}}=\frac{(3 n-2) 2^{n-1}}{n(n+2)}=\frac{2^{n+1}}{n+2}-\frac{2^{n-1}}{n}$ ，
当 $n$ 为偶数时,$c_{n}=\frac{a_{n-1}}{b_{n+1}}=\frac{n-1}{2^{n}}$ ，
对任意的正整数 $n$ ，有 $\sum_{k=1}^{n} c_{2 k-1}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{2^{2 k}}{2 k+1}-\frac{2^{2 k-2}}{2 k-1}\right)=\frac{2^{2 n}}{2 n+1}-1$ ，
和 $\sum_{k=1}^{n} c_{2 k}=\sum_{k=1}^{n} \frac{2 k-1}{4^{k}}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4^{2}}+\frac{5}{4^{3}}+\cdots+\frac{2 n-3}{4^{n-1}}+\frac{2 n-1}{4^{n}}$①
由①得 $\frac{1}{4} \sum_{k=1}^{n} c_{2 k}=\frac{1}{4^{2}}+\frac{3}{4^{3}}+\frac{5}{4^{4}}+\cdots+\frac{2 n-3}{4^{n}}+\frac{2 n-1}{4^{n+1}}$
由①②得 $\frac{3}{4} \sum_{k=1}^{n} c_{2 k}=\frac{1}{4}+\frac{2}{4^{2}}+\cdots+\frac{2}{4^{n}}-\frac{2 n-1}{4^{n+1}}=\frac{\frac{2}{4}\left(1-\frac{1}{4^{n}}\right)}{1-\frac{1}{4}}-\frac{1}{4}-\frac{2 n-1}{4^{n+1}}$ ，
由于 $\frac{\frac{2}{4}\left(1-\frac{1}{4^{n}}\right)}{1-\frac{1}{4}}-\frac{1}{4}-\frac{2 n-1}{4^{n+1}}=\frac{2}{3}-\frac{2}{3} \times \frac{1}{4^{n}}-\frac{1}{4}-\frac{2 n-1}{4^{n}} \times \frac{1}{4}=\frac{5}{12}-\frac{6 n+5}{3 \times 4^{n+1}}$ ，
从而得：$\sum_{k=1}^{n} c_{2 k}=\frac{5}{9}-\frac{6 n+5}{9 \times 4^{n}}$ ．
因此，$\sum_{k=1}^{2 n} c_{k}=\sum_{k=1}^{n} c_{2 k-1}+\sum_{k=1}^{n} c_{2 k}=\frac{4^{n}}{2 n+1}-\frac{6 n+5}{9 \times 4^{n}}-\frac{4}{9}$ ．
所以，数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $2 n$ 项和为 $\frac{4^{n}}{2 n+1}-\frac{6 n+5}{9 \times 4^{n}}-\frac{4}{9}$ ．
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题。