20．（13分）（2010•北京）已知集合$S_n=\{X|X=（x_1,\ x_2,\ \ldots,\ x_n）,\ x_i\in\{0,\ 1\},\ i=1,\ 2,\ \ldots,\ n\}$（$n\geq2$）对于$A=（a_1,\ a_2,\ \ldots a_n）$，$B=（b_1,\ b_2,\ \ldots b_n）\in S_n$，定义$A$与$B$的差为$A-B=（|a_1-b_1|,\ |a_2-b_2|,\ \ldots |a_n-b_n|）$；
$A$与$B$之间的距离为$d（A,\ B）=\sum_{i=1}^{n}|a_i-b_i|$
（Ⅰ）证明：$\forall A,\ B,\ C\in S_n$，有$A-B\in S_n$，且$d（A-C,\ B-C）=d（A,\ B）$；
（Ⅱ）证明：$\forall A,\ B,\ C\in S_n$，$d（A,\ B）$，$d（A,\ C）$，$d（B,\ C）$三个数中至少有一个是偶数
（Ⅲ）设$P\subseteq S_n$，$P$中有$m$（$m\geq2$）个元素，记$P$中所有两元素间距离的平均值为$\overline{d}（P）$．
证明：$\overline{d}（P）\leq\frac{mn}{2（m-1）}$．
参考答案
（Ⅰ）略；（Ⅱ）略；（Ⅲ）略