（12分）设函数 f(x)=a e^ x ln x+ b…——2014 高考数学第 21 题答案解析

（I）函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0, +\infty)$。
对 $f(x)$ 求导，得：
$$ f'(x) = a e^x \ln x + a e^x \cdot \frac{1}{x} + \frac{b e^{x-1} \cdot x - b e^{x-1}}{x^2} = a e^x \left( \ln x + \frac{1}{x} \right) + \frac{b e^{x-1}(x-1)}{x^2} $$
由题意知，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $y=e(x-1)+2$，即 $y=ex-e+2$。
故有 $\begin{cases} f(1)=2 \\ f'(1)=e \end{cases}$。
计算 $f(1)$ 和 $f'(1)$：
$$ f(1) = a e^1 \ln 1 + \frac{b e^0}{1} = b $$
$$ f'(1) = a e^1 (\ln 1 + 1) + \frac{b e^0 (1-1)}{1} = ae $$
代入方程组得：
$$ \begin{cases} b=2 \\ ae=e \end{cases} \implies \begin{cases} a=1 \\ b=2 \end{cases} $$
所以 $a=1, b=2$。

（II）由（I）知 $f(x) = e^x \ln x + \frac{2e^{x-1}}{x}$。
要证 $f(x)>1$，即证 $e^x \ln x + \frac{2e^{x-1}}{x} > 1$。
两边同乘 $x e^{-x}$（因 $x>0$，不等号方向不变），整理得：
$$ x \ln x + \frac{2}{e} > x e^{-x} $$
即证：
$$ x \ln x > x e^{-x} - \frac{2}{e} $$
设 $g(x) = x \ln x$，$h(x) = x e^{-x} - \frac{2}{e}$，只需证明 $g(x)_{\min} > h(x)_{\max}$ 或 $g(x) \ge g(x)_{\min} = h(x)_{\max} \ge h(x)$ 且等号不同时成立。

1. 研究 $g(x) = x \ln x$ 的最小值：
$$ g'(x) = \ln x + 1 $$
令 $g'(x)=0$，解得 $x = \frac{1}{e}$。
当 $x \in (0, \frac{1}{e})$ 时，$g'(x)<0$，$g(x)$ 单调递减；
当 $x \in (\frac{1}{e}, +\infty)$ 时，$g'(x)>0$，$g(x)$ 单调递增。
故 $g(x)$ 在 $x=\frac{1}{e}$ 处取得最小值：
$$ g(x)_{\min} = g\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{e} \ln \frac{1}{e} = -\frac{1}{e} $$

2. 研究 $h(x) = x e^{-x} - \frac{2}{e}$ 的最大值：
$$ h'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1-x) $$
令 $h'(x)=0$，解得 $x=1$。
当 $x \in (0, 1)$ 时，$h'(x)>0$，$h(x)$ 单调递增；
当 $x \in (1, +\infty)$ 时，$h'(x)<0$，$h(x)$ 单调递减。
故 $h(x)$ 在 $x=1$ 处取得最大值：
$$ h(x)_{\max} = h(1) = 1 \cdot e^{-1} - \frac{2}{e} = \frac{1}{e} - \frac{2}{e} = -\frac{1}{e} $$

综上，对于任意 $x \in (0, +\infty)$，有：
$$ g(x) \ge -\frac{1}{e}, \quad h(x) \le -\frac{1}{e} $$
即 $g(x) \ge h(x)$。
由于 $g(x)$ 取最小值的点为 $x=\frac{1}{e}$，而 $h(x)$ 取最大值的点为 $x=1$，两点不重合，故等号不能同时成立。
因此，对于任意 $x \in (0, +\infty)$，都有 $g(x) > h(x)$。
即 $x \ln x > x e^{-x} - \frac{2}{e}$ 成立，从而原不等式 $f(x)>1$ 得证。