列联表与独立性检验　·　历年高考数学真题与解析

17．某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取 150 件进行检验，数据如下：

（1）填写如下列联表：

能否有 $95 \%$ 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有 $99 \%$ 的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率 $p=0.5$ ，设 $\bar{p}$ 为升级改造后抽取的 $n$ 件产品的优级品率．如果
$\bar{p}>p+1.65 \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ ，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的 150 件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了 $? ~(\sqrt{150} \approx 12.247)$

附：$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

17．甲、乙两城之间的长途客车均由 $A$ 和 $B$ 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的 500 个班次，得到下面列联表：

（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
（2）能否有 $90 \%$ 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ，

17.

甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200 件产品，产品的质量情况统计如下表：

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有 $99 \%$ 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

17.

甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200 件产品，产品的质量情况统计如下表：

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有 $99 \%$ 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

17．某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有 $95 \%$ 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ．

18．（本小题满分 12 分）
某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：

（I）根据表中数据，问是否有 $95 \%$ 的把握认为＂南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异＂； （II）已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生，其中 2 名喜欢甜品，现在从这 5 名学生中随机抽取 3 人，求至多有 1 人喜欢甜品的概率．

附：$\chi^{2}=\frac{n\left(n_{11} n_{22}-n_{12} n_{21}\right)^{2}}{n_{1+} n_{2+} n_{+1} n_{+2}}$ ，

19．（本小题满分 12 分）
某工厂有 25 周岁以上（含 25 周岁）工人 300 名， 25 周岁以下工人 200 名。为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在＂25周岁以上（含 25 周岁）＂和＂ 25 周岁以下＂分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为 5 组：$[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)$ 分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（I）从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人，求至少抽到一名＂ 25 周岁以下组＂工人的概率；
（II）规定日平均生产件数不少于 80 件者为＂生产能手＂，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有 $90 \%$ 的把握认为＂生产能手与工人所在的年龄组有关＂？

附：$x^{2}=\frac{n\left(n_{11} n_{22}-n_{12} n_{21}\right)}{n_{1 *} n_{2 *} n_{* 1} n_{* 2}}$（注：此公式也可以写成 $\mathbf{k}^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ）

25 周岁以上组

25 周岁以下组