2025 新课标 II 卷 数学（新高考二卷）

$1,2,8,14,16,20$ 平均数为（ ）

$z=1+i, \frac{1}{z-1}=$

$A=\{-4,0,1,2,8\} \quad B=\left\{x \mid x^{3}=x\right\}, \quad A \cap B=$

$\frac{x-4}{x-1} \geq 2$ 解集是

$\triangle A B C, B C=2, A C=1+\sqrt{3}, A B=\sqrt{6}, A=$

抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 焦点 $F, A \in C$ ，过 $A$ 作 $C$ 准线的垂线，垂足为 $B$ ．若 $l_{B F}: y=-2 x+2$ ，则 $|A F|=$

$S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和，$S_{3}=6, S_{5}=-5, S_{6}=$

$0<\alpha<\pi, \quad \cos \frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}, \quad \sin \left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=$

$S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和，$q$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 公比，$q>0, S_{3}=7, a_{3}=1$ ，则

$f(x)$ 定义在 $\mathbf{R}$ 上奇函数，$x>0$ 时，$f(x)=\left(x^{2}-3\right) e^{x}+2$ ，则

双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 左右焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，左右顶点为 $A_{1}, A_{2}$ ．以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与 $C$ 的一条渐近线交于 $M, N$ ，且 $\angle N A_{1} M=\frac{5 \pi}{6}$ ，则

x=2是 $f ( x ) = ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - a )$ 的极值点，则 f(0)=\_\_.

一个底面半径为 $4 c m$ ，高为 $9 c m$ 的封闭圆柱形容器内有两个半径相等的铁球．则铁球半径的最大值为 $\_\_\_\_$$c m$

（15 分）椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，长轴长为4。

（1） 求 $C$ 的方程；
（2） 过点（0，－2）的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，$O$ 为坐标原点，若 $S_{\triangle O A B}=\sqrt{2}$ ，求 $|A B|$ ．

18．（17 分）$f(x)=\ln (1+x)-x+\frac{1}{2} x^{2}-k x^{3}, 0<k<\frac{1}{3}$ ．

（1） 证明：$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 存在唯一极值点和唯一零点；
② 设 $x_{1}, x_{2}$ 为 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 的极值点和零点；

（i） $g(t)=f\left(x_{1}+t\right)-f\left(x_{1}-t\right)$ 。证明：$g(t)$ 在 $\left(0, x_{1}\right)$ 单调递减。
（ii） 比较 $2 x_{1}$ 与 $x_{2}$ 的大小，并证明．

19. （17分）

甲、乙乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分。设每个球甲胜的概率为 $p ( \frac { 1 } { 2 } < p < 1 )$ 乙胜的概率为 $q \ , p + q = 1$ ，且各球胜负独立。对正整数 $k \geq 2$ $p _ { k }$ 为打完k个球后，甲比乙至少多得2分的概率， $q _ { k }$ 为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率。

(1)求 $p _ { 3 } , p _ { 4 }$ （用 p 表示);

(2) 若 $\frac { p _ { 4 } - p _ { 3 } } { q _ { 4 } - q _ { 3 } } = 4$ 求 p;

（3）证明：对任意正整数m， $p _ { 2 m + 1 } - q _ { 2 m + 1 } < p _ { 2 m } - q _ { 2 m } < p _ { 2 m + 2 } - q _ { 2 m + 2 } .$