2025 上海卷 数学

已知全集 $U=\{x \mid 2 \leq x \leq 5, x \in \mathbf{R}\}$ ，集合 $A=\{x \mid 2 \leq x<4, x \in \mathbf{R}\}$ ，则 $\bar{A}=$ $\_\_\_\_$．

不等式 $\frac{x-1}{x-3}<0$ 的解集为 $\_\_\_\_$。

等差数列 $a_{n}, a_{1}=-3$ ，公差 $d=2$ ，则 $S_{6}=$ $\_\_\_\_$．

在二项式 $(2 x-1)^{5}$ 的展开式中，$x^{3}$ 的系数为 $\_\_\_\_$．

函数 $y=\cos x$ 在 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的值域为 $\_\_\_\_$．．

已知随机变量 X 的分布为 $\left(\begin{array}{ccc}5 & 6 & 7 \\ 0.2 & 0.3 & 0.5\end{array}\right)$ ，则期望 $E[X]=$ $\_\_\_\_$。．

如图，在正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$B D=4 \sqrt{2}, D B_{1}=9$ ，则该正四棱柱的体积为 $\_\_\_\_$．

设 $a, b>0, a+\frac{1}{b}=1$ ，则 $b+\frac{1}{a}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$。

9.4 个家长和2个儿童去爬山．6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有 $\_\_\_\_$种。

已知复数 z 满足 $z^{2}=(\bar{z})^{2},|z| \leq 1$ ，则 $|z-2-3 i|$ 的最小值是 $\_\_\_\_$．

已知事件 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 相互独立，事件 A 发生的概率为 $P(A)=\frac{1}{2}$ ，事件 B 发生的概率为 $P(B)=\frac{1}{2}$ ，则事件 $A \cap B$ 发生的概率 $P(A \cap B)$ 为（）

设 $a>0, ~ s \in \mathbf{R}$ 。下列各项中，能推出 $a^{s}>a$ 的一项是（）

已知 $A(0,1), B(1,2), \mathrm{C}$ 在 $\Gamma: x^{2}-y^{2}=1(x \geq 1, y \geq 0)$ 上，则 $\triangle A B C$ 的面积（）

设 $\lambda \in[0,1]$ ，数列 $a_{n}=10 n-9$ ，数列 $b_{n}=2^{n}$ 。设 $c_{n}=\lambda a_{n}+(1-\lambda) b_{n}$ 。 若对任意$\lambda \in[0,1]$ ，长为 $a_{n} , b_{n} , c_{n}$ 的线段均能构成三角形，则满足条件的 n 有（）

如图， P 是圆锥的顶点， 0 是底面圆心， AB 是底面直径，且 $A B=2$ ．

（1）若直线 PA 与圆锥底面的所成角为 $\frac{\pi}{3}$ ，求圆锥的侧面积；
（2）已知 Q 是母线 PA 的中点，点 $\mathrm{C} , \mathrm{D}$ 在底面圆周上，且弧 $\widehat{A C}$ 的长为 $\frac{\pi}{3}, C D \| A B$ 。设点 M在线段 OC 上，证明：直线 $Q M \|$ 平面 PBD。

已知 $f(x)=x^{2}-(m+2) x+m \ln x, m \in \mathbf{R}$ 。
（1）若 $f(1)=0$ ，求不等式 $f(x) \leq x^{2}-1$ 的解集；
（2）若函数 $y=f(x)$ 满足在 $(0,+\infty)$ 上存在极大值，求 m 的取值范围；

已知椭圆 $\Gamma: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{5}=1(a>\sqrt{5}), M(0, m)(m>0), \mathrm{A}$ 是 $\Gamma$ 的右顶点．
（1）若 $\Gamma$ 的焦点是 $(2,0)$ ，求离心率 e ；
（2）若 $a=4$ ，且 $\Gamma$ 上存在一点 P ，满足 $\overrightarrow{P A}=2 \overrightarrow{M P}$ ，求 m；
（3）若 AM 中垂线 1 的斜率为 2 ， 1 与 $\Gamma$ 交于 $\mathrm{C} , \mathrm{D}$ 两点，$\angle C M D$ 为针角，求 a 的取值范围．

已知函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$ ．对于正实数 a ，定义集合 $M_{a}=\{x \mid f(x+a)=f(x)\}$ ．
（1）若 $f(x)=\sin x$ ，判断 $\frac{\pi}{3}$ 是否是 $M_{\pi}$ 中的元素，并说明理由；
（2）若 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+2, & x<0 \\ \sqrt{x}, & x \geq 0\end{array}, \quad M_{a} \neq \varnothing\right.$ ，求 a 的取值范围；
③设 $y=f(x)$ 是偶函数，当 $x \in(0,1]$ 时，$f(x)=1-x$ ，且对任意 $a \in(0,2)$ ，均有$M_{a} \subseteq M_{2}$ ．写出 $y=f(x), x \in(1,2)$ 的解析式，并证明：对任意实数 c ，函数 $y=f(x)-c$在 $[-3,3]$ 上至多有 9 个零点．