2025 上海卷 数学

不等式 $\frac { x - 1 } { x - 3 } < 0$ 的解集为

已知等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的首项 $a _ { 1 } = - 3$ ，公差d=2，则该数列的前6项和为

在二项式 $( 2 x - 1 ) ^ { 5 }$ 的展开式中， $x ^ { 3 }$ 的系数为

函数 $y = \cos x$ 在 $[ - \frac { \pi } { 2 } , \frac { \pi } { 4 } ]$ 上的值域为\_

已知随机变量X的分布为 $\left( { \begin{array} { l l l } { 5 } & { 6 } & { 7 } \\ { 0 . 2 } & { 0 . 3 } & { 0 . 5 } \end{array} } \right)$ ,则期望 $E [ X ] =$

如图，在正四棱柱 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 中， $B D = 4 \sqrt { 2 } , D B _ { 1 } = 9$ ，则该正四棱柱的体积为

设 $a , b > 0 , a + \frac { 1 } { b } = 1$ ,则 $b + { \frac { 1 } { a } }$ 的最小值为

9.4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有$\_$种.

已知复数z满足 $z ^ { 2 } = ( \bar { z } ) ^ { 2 } , | z | \leqslant 1$ ,则 $\left| z - 2 - 3 \mathrm { i } \right|$ 的最小值是

小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角θ=$\_$．(结果用角度制表示，精确到0.01°)

设 $a > 0 , s \in R$ 下列各项中，能推出 $a ^ { s } > a$ 的一项是 （）

已知A(0,1),B(1,2),C在Γ $\cdot x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = 1 ( x \geqslant 1 , y \geqslant 0 )$ 上，则 $\triangle A B C$ 的面积 （）

17.2024年东京奥运会，中国获得了男子 $4 \times 1 0 0$ 米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子 $4 \times 1 0 0$ 米混合泳接力项目冠军成绩记录(单位：秒)，数据按照升序排列.

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>206.78</td><td rowspan=1 colspan=1>207.46</td><td rowspan=1 colspan=1>207.95</td><td rowspan=1 colspan=1>209.34</td><td rowspan=1 colspan=1>209.35</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>210.68</td><td rowspan=1 colspan=1>213.73</td><td rowspan=1 colspan=1>214.84</td><td rowspan=1 colspan=1>216.93</td><td rowspan=1 colspan=1>216.93</td></tr></table>

(1)求这组数据的极差与中位数；

(2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；

(3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为 ${ \boldsymbol { y } } = - 0 . 3 1 1 { \boldsymbol { x } } + { \boldsymbol { \hat { b } } }$ ,年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩(精确到0.01秒).

如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且 $A B = 2$

(1)若直线PA与圆锥底面的所成角为 $\frac { \pi } { 3 }$ ，求圆锥的侧面积；

(2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为 ${ \frac { \pi } { 3 } } , C D / / A B$ 设点M在线段OC上，证明:直线QM∥/平面PBD.

已知 $f ( x ) = x ^ { 2 } - ( m + 2 ) x + m \mathrm { l n } x , m \in R$

(1)若 $f ( 1 ) = 0$ ,求不等式 $f ( x ) \leqslant x ^ { 2 } - 1$ 的解集；

(2) 若函数 $y = f ( x )$ 满足在 $( 0 , + \infty )$ 上存在极大值，求m的取值范围；

已知椭圆 $\Gamma \colon \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { 5 } = 1 ( a > \sqrt { 5 } ) , M ( 0 , m ) \left( m > 0 \right)$ ，A是Γ的右顶点.

(1)若Γ的焦点(2,0),求离心率e;

(2)若 $a = 4$ ，且Γ上存在一点P，满足 ${ \overrightarrow { P A } } = 2 { \overrightarrow { M P } }$ ,求m;

(3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与Γ交于C、D两点，∠CMD为钝角，求a的取值范围.