如图，已知三棱柱 A B C － A_ 1 B_ 1 C_…——2020 高考数学第 20 题答案解析

（1）证明：
因为 $M, N$ 分别为 $BC, B_1C_1$ 的中点，且侧面 $BB_1C_1C$ 是矩形，
所以 $MN // BB_1$。
在三棱柱中，$AA_1 // BB_1$，
所以 $AA_1 // MN$。

因为 $\triangle ABC$ 是正三角形，$M$ 为 $BC$ 中点，所以 $AM \perp BC$。
因为侧面 $BB_1C_1C$ 是矩形，所以 $BB_1 \perp BC$。
又 $MN // BB_1$，所以 $MN \perp BC$。
因为 $AM \cap MN = M$，$AM, MN \subset$ 平面 $A_1AMN$，
所以 $BC \perp$ 平面 $A_1AMN$。

因为 $B_1C_1 // BC$，$B_1C_1 \not\subset$ 平面 $ABC$，$BC \subset$ 平面 $ABC$，
所以 $B_1C_1 //$ 平面 $ABC$。
又平面 $EB_1C_1F \cap$ 平面 $ABC = EF$，$B_1C_1 \subset$ 平面 $EB_1C_1F$，
根据线面平行的性质定理，可得 $B_1C_1 // EF$。
所以 $EF // BC$。
因为 $BC \perp$ 平面 $A_1AMN$，所以 $EF \perp$ 平面 $A_1AMN$。
又 $EF \subset$ 平面 $EB_1C_1F$，
所以平面 $A_1AMN \perp$ 平面 $EB_1C_1F$。

（2）解：
连接 $NP$。
因为 $O$ 为 $\triangle A_1B_1C_1$ 的中心，$N$ 为 $B_1C_1$ 的中点，所以 $O$ 在 $A_1N$ 上。
在三棱柱中，平面 $A_1B_1C_1 //$ 平面 $ABC$，且 $A_1N, AM$ 分别为上下底面的中线，
所以 $A_1N // AM$。
因为 $P$ 在 $AM$ 上，所以 $A, P, N, O$ 四点共面（即都在平面 $A_1AMN$ 内）。
平面 $A_1AMN \cap$ 平面 $EB_1C_1F = NP$。
因为 $AO //$ 平面 $EB_1C_1F$，$AO \subset$ 平面 $A_1AMN$，
所以 $AO // NP$。
又 $ON // AP$，所以四边形 $AONP$ 是平行四边形。
所以 $AP = ON$，$NP = AO$。

设 $AB = a$。
在正 $\triangle A_1B_1C_1$ 中，$A_1N = \frac{\sqrt{3}}{2}a$。
因为 $O$ 是中心，所以 $ON = \frac{1}{3}A_1N = \frac{\sqrt{3}}{6}a$。
所以 $AP = \frac{\sqrt{3}}{6}a$。
又 $AM = \frac{\sqrt{3}}{2}a$，所以 $\frac{AP}{AM} = \frac{1}{3}$。
因为 $EF // BC$，所以 $\frac{EP}{BM} = \frac{AP}{AM} = \frac{1}{3}$。
因为 $BM = \frac{1}{2}a$，所以 $EP = \frac{1}{6}a$。

在 $B_1C_1$ 上截取 $B_1Q = EP = \frac{1}{6}a$（$Q$ 在 $B_1, N$ 之间）。
因为 $B_1C_1 // BC // EF$，即 $B_1Q // EP$，且 $B_1Q = EP$，
所以四边形 $B_1QPE$ 是平行四边形，故 $B_1E // PQ$。
直线 $B_1E$ 与平面 $A_1AMN$ 所成的角等于直线 $PQ$ 与平面 $A_1AMN$ 所成的角。

由（1）知 $BC \perp$ 平面 $A_1AMN$，且 $B_1C_1 // BC$，
所以 $B_1C_1 \perp$ 平面 $A_1AMN$。
因为 $N \in B_1C_1$ 且 $N \in$ 平面 $A_1AMN$，
所以 $QN \perp$ 平面 $A_1AMN$。
所以 $PN$ 是 $PQ$ 在平面 $A_1AMN$ 上的射影，$\angle QPN$ 即为所求角。

在 Rt $\triangle QNP$ 中：
$QN = B_1N - B_1Q = \frac{1}{2}a - \frac{1}{6}a = \frac{1}{3}a$。
$PN = AO = AB = a$（已知 $AO=AB$）。
$PQ = \sqrt{QN^2 + PN^2} = \sqrt{(\frac{a}{3})^2 + a^2} = \frac{\sqrt{10}}{3}a$。
所以 $\sin \angle QPN = \frac{QN}{PQ} = \frac{a/3}{\sqrt{10}a/3} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$。
即直线 $B_1E$ 与平面 $A_1AMN$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$。