（15分）（2016•浙江）如图，在三棱台 ABC - D…——2016 高考数学第 18 题答案解析

（I）证明：
延长 $AD, BE, CF$ 相交于点 $K$。
因为三棱台 $ABC-DEF$ 中，平面 $BCFE \perp$ 平面 $ABC$，且交线为 $BC$，
又 $\angle ACB = 90^{\circ}$，即 $AC \perp BC$，且 $AC \subset$ 平面 $ABC$，
所以 $AC \perp$ 平面 $BCFE$（即平面 $BCK$）。
因为 $BF \subset$ 平面 $BCK$，所以 $AC \perp BF$。

在梯形 $BCFE$ 中，$EF // BC$，$BE=EF=FC=1$，$BC=2$。
由平行线分线段成比例定理可知，$\triangle KEF \sim \triangle KBC$，且相似比为 $\frac{EF}{BC} = \frac{1}{2}$。
所以 $E, F$ 分别为 $KB, KC$ 的中点，即 $KC = 2FC = 2$，$KB = 2BE = 2$。
又 $BC=2$，所以 $\triangle KBC$ 为等边三角形。
因为 $F$ 为 $KC$ 的中点，所以 $BF \perp KC$（即 $BF \perp CK$）。

综上，$BF \perp AC$，$BF \perp CK$，且 $AC \cap CK = C$，$AC, CK \subset$ 平面 $ACFD$，
所以 $BF \perp$ 平面 $ACFD$。

（II）解：
由（I）知 $BF \perp$ 平面 $ACFD$，
所以 $DF$ 是直线 $BD$ 在平面 $ACFD$ 上的射影，
故 $\angle BDF$ 即为直线 $BD$ 与平面 $ACFD$ 所成的角。

在 Rt$\triangle BFD$ 中，我们需要计算 $BF$ 和 $DF$ 的长度。
1. 计算 $BF$：
在等边 $\triangle KBC$ 中，边长为 2，$BF$ 为中线（也是高），
所以 $BF = \sqrt{BC^2 - FC^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$。

2. 计算 $DF$：
因为三棱台的上下底面平行，即平面 $DEF //$ 平面 $ABC$，
所以 $DF // AC$。
又 $F$ 为 $KC$ 中点，所以在 $\triangle KAC$ 中，$DF$ 为中位线，
所以 $DF = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 3 = \frac{3}{2}$。

3. 计算余弦值：
在 Rt$\triangle BFD$ 中，$\angle BFD = 90^{\circ}$，
$BD = \sqrt{BF^2 + DF^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{3 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{21}{4}} = \frac{\sqrt{21}}{2}$。
所以 $\cos \angle BDF = \frac{DF}{BD} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{21}}{2}} = \frac{3}{\sqrt{21}} = \frac{3\sqrt{21}}{21} = \frac{\sqrt{21}}{7}$。

即直线 $BD$ 与平面 $ACFD$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$。