（14分）（2016•浙江）在 ABC 中，内角 A ,…——2016 高考数学第 16 题答案解析

（1）由正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$，将已知等式 $b+c=2a \cos B$ 转化为角的关系：
$$ \sin B + \sin C = 2 \sin A \cos B $$
在 $\triangle ABC$ 中，$C = \pi - (A+B)$，故 $\sin C = \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$。
代入上式得：
$$ \sin B + \sin A \cos B + \cos A \sin B = 2 \sin A \cos B $$
移项整理得：
$$ \sin B = \sin A \cos B - \cos A \sin B $$
即：
$$ \sin B = \sin(A-B) $$
因为 $A, B \in (0, \pi)$，所以 $A-B \in (-\pi, \pi)$。
又因为 $\sin B > 0$，所以 $\sin(A-B) > 0$，故 $A-B \in (0, \pi)$。
由正弦函数的性质可知，$B = A-B$ 或 $B = \pi - (A-B)$。
若 $B = \pi - A + B$，则 $A = \pi$，这与三角形内角和为 $\pi$ 且 $B>0, C>0$ 矛盾，舍去。
故 $B = A-B$，即 $A = 2B$。

（2）由 $\cos B = \frac{2}{3}$ 及 $B \in (0, \pi)$，得：
$$ \sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{\sqrt{5}}{3} $$
由（1）知 $A=2B$，利用二倍角公式计算 $\cos A$ 和 $\sin A$：
$$ \cos A = \cos 2B = 2\cos^2 B - 1 = 2 \times \left(\frac{2}{3}\right)^2 - 1 = \frac{8}{9} - 1 = -\frac{1}{9} $$
因为 $A \in (0, \pi)$ 且 $\cos A < 0$，所以 $A$ 为钝角，$\sin A > 0$：
$$ \sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{9}\right)^2} = \sqrt{\frac{80}{81}} = \frac{4\sqrt{5}}{9} $$
在 $\triangle ABC$ 中，$C = \pi - (A+B)$，故：
$$ \cos C = \cos[\pi - (A+B)] = -\cos(A+B) $$
展开两角和的余弦公式：
$$ \cos C = -(\cos A \cos B - \sin A \sin B) = \sin A \sin B - \cos A \cos B $$
代入数值：
$$ \cos C = \frac{4\sqrt{5}}{9} \times \frac{\sqrt{5}}{3} - \left(-\frac{1}{9}\right) \times \frac{2}{3} $$
$$ \cos C = \frac{20}{27} + \frac{2}{27} = \frac{22}{27} $$