如图，已知三棱柱 A B C － A_ 1 B_ 1 C_…——2020 高考数学第 20 题答案解析

（1）证明：
因为 $M, N$ 分别为 $BC, B_1C_1$ 的中点，且侧面 $BB_1C_1C$ 是矩形，
所以 $MN // BB_1$。
又在三棱柱中 $AA_1 // BB_1$，所以 $AA_1 // MN$。

因为 $\triangle ABC$ 是正三角形，$M$ 为 $BC$ 中点，所以 $BC \perp AM$。
因为侧面 $BB_1C_1C$ 是矩形，所以 $BC \perp BB_1$。
又 $MN // BB_1$，所以 $BC \perp MN$。
因为 $AM \cap MN = M$，且 $AM, MN \subset$ 平面 $A_1AMN$，
所以 $BC \perp$ 平面 $A_1AMN$。

因为 $B_1C_1 // BC$，所以 $B_1C_1 \perp$ 平面 $A_1AMN$。
又 $B_1C_1 \subset$ 平面 $EB_1C_1F$，
所以平面 $EB_1C_1F \perp$ 平面 $A_1AMN$。

（2）解：
由（1）知 $BC \perp$ 平面 $A_1AMN$。
因为 $AA_1 // MN$ 且 $AA_1 = BB_1 = MN$，所以四边形 $AA_1NM$ 是平行四边形，故 $AM // A_1N$。
因为 $O$ 是正 $\triangle A_1B_1C_1$ 的中心，$N$ 是 $B_1C_1$ 中点，所以 $O$ 在 $A_1N$ 上。
又 $P$ 在 $AM$ 上，所以 $AP // ON$。

因为 $AO //$ 平面 $EB_1C_1F$，平面 $A_1AMN$ 过 $AO$ 且与平面 $EB_1C_1F$ 交于 $NP$（$P, N$ 均在两平面内），
根据线面平行的性质定理，可得 $AO // NP$。
结合 $AP // ON$，可知四边形 $AONP$ 是平行四边形。
所以 $NP = AO = 6$，$AP = ON$。

在正 $\triangle A_1B_1C_1$ 中，边长 $A_1B_1 = AB = 6$，$N$ 为 $B_1C_1$ 中点，
所以高 $A_1N = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$。
因为 $O$ 为中心，所以 $ON = \frac{1}{3} A_1N = \sqrt{3}$。
所以 $AP = \sqrt{3}$。
又 $AM = A_1N = 3\sqrt{3}$，所以 $PM = AM - AP = 2\sqrt{3}$。

因为 $BC // EF$（由 $B_1C_1 // BC$ 及面面交线性质可得），$BC \not\subset$ 平面 $EB_1C_1F$，
所以 $BC //$ 平面 $EB_1C_1F$。
所以点 $B$ 到平面 $EB_1C_1F$ 的距离等于点 $M$ 到平面 $EB_1C_1F$ 的距离。
由（1）知平面 $EB_1C_1F \perp$ 平面 $A_1AMN$，交线为 $NP$。
所以 $M$ 到平面 $EB_1C_1F$ 的距离 $h$ 等于 $M$ 到直线 $NP$ 的距离。
在 $\triangle MPN$ 中，$PM = 2\sqrt{3}$，$PN = 6$，$\angle MPN = \frac{\pi}{3}$。
所以 $h = PM \cdot \sin \angle MPN = 2\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$。

接下来求四边形 $EB_1C_1F$ 的面积。
因为 $EF // BC$，所以 $\triangle AEF \sim \triangle ABC$。
$\frac{EF}{BC} = \frac{AP}{AM} = \frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$。
所以 $EF = \frac{1}{3} BC = 2$。
又 $B_1C_1 = 6$，$EF // B_1C_1$，所以四边形 $EB_1C_1F$ 是梯形。
由（1）知 $B_1C_1 \perp$ 平面 $A_1AMN$，而 $NP \subset$ 平面 $A_1AMN$，
所以 $B_1C_1 \perp NP$。即 $NP$ 是梯形的高。
$S_{EB_1C_1F} = \frac{1}{2} (EF + B_1C_1) \cdot NP = \frac{1}{2} (2 + 6) \times 6 = 24$。

所以四棱锥 $B-EB_1C_1F$ 的体积：
$V = \frac{1}{3} S_{EB_1C_1F} \cdot h = \frac{1}{3} \times 24 \times 3 = 24$。