（12分） A B C 的内角 A, B, C 的对边分别…——2016 高考数学第 17 题答案解析

（I）由正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$，将已知等式 $2 \cos C(a \cos B+b \cos A)=c$ 中的边化为角，得：
$$2 \cos C(\sin A \cos B+\sin B \cos A)=\sin C$$
利用两角和的正弦公式 $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$，上式可化简为：
$$2 \cos C \sin(A+B) = \sin C$$
在 $\triangle ABC$ 中，$A+B+C=\pi$，故 $\sin(A+B) = \sin(\pi-C) = \sin C$。
因为 $C \in (0, \pi)$，所以 $\sin C \neq 0$。
代入上式得 $2 \cos C \sin C = \sin C$，两边约去 $\sin C$，得：
$$\cos C = \frac{1}{2}$$
又因为 $C \in (0, \pi)$，所以 $C = \frac{\pi}{3}$。

（II）由三角形面积公式 $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}ab \sin C$，及已知条件 $S_{\triangle ABC} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$，$C = \frac{\pi}{3}$，得：
$$\frac{1}{2}ab \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$$
解得 $ab = 6$。

由余弦定理 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$，及已知条件 $c = \sqrt{7}$，$C = \frac{\pi}{3}$，得：
$$7 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \frac{1}{2} = a^2 + b^2 - ab$$
利用完全平方公式变形 $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$，代入上式：
$$7 = (a+b)^2 - 2ab - ab = (a+b)^2 - 3ab$$
将 $ab=6$ 代入，得：
$$7 = (a+b)^2 - 18$$
$$(a+b)^2 = 25$$
因为 $a, b > 0$，所以 $a+b = 5$。
故 $\triangle ABC$ 的周长为 $a+b+c = 5 + \sqrt{7}$。