（I）由曲线 $C_1$ 的参数方程 $\begin{cases} x = a \cos t \\ y = 1 + a \sin t \end{cases}$，消去参数 $t$。
移项得 $\begin{cases} \frac{x}{a} = \cos t \\ \frac{y-1}{a} = \sin t \end{cases}$，利用 $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$，可得普通方程：
$x^2 + (y-1)^2 = a^2$。
这表明 $C_1$ 是以 $(0, 1)$ 为圆心，$a$ 为半径的圆。
将其展开为一般式：$x^2 + y^2 - 2y + 1 - a^2 = 0$。
利用极坐标与直角坐标的互化公式 $x^2 + y^2 = \rho^2$，$y = \rho \sin \theta$，代入上式得：
$\rho^2 - 2\rho \sin \theta + 1 - a^2 = 0$。
故 $C_1$ 的极坐标方程为 $\rho^2 - 2\rho \sin \theta + 1 - a^2 = 0$。
（II）曲线 $C_2$ 的极坐标方程为 $\rho = 4 \cos \theta$。
两边同乘 $\rho$ 得 $\rho^2 = 4\rho \cos \theta$。
代入 $x^2 + y^2 = \rho^2$，$x = \rho \cos \theta$，化为直角坐标方程：
$x^2 + y^2 = 4x$，即 $x^2 + y^2 - 4x = 0$。
直线 $C_3$ 的极坐标方程为 $\theta = \alpha_0$，且 $\tan \alpha_0 = 2$。
在直角坐标系中，$\tan \theta = \frac{y}{x}$，故直线 $C_3$ 的方程为 $y = 2x$，即 $2x - y = 0$。
因为曲线 $C_1$ 与 $C_2$ 的公共点都在 $C_3$ 上，所以 $C_3$ 所在的直线即为两圆公共弦所在的直线。
联立 $C_1$ 和 $C_2$ 的直角坐标方程：
$\begin{cases} x^2 + y^2 - 2y + 1 - a^2 = 0 \quad \text{①} \\ x^2 + y^2 - 4x = 0 \quad \text{②} \end{cases}$
① - ② 得公共弦所在直线方程为：
$4x - 2y + 1 - a^2 = 0$。
该直线应与 $C_3$ 重合，即 $4x - 2y + 1 - a^2 = 0$ 与 $2x - y = 0$ 表示同一条直线。
将 $2x - y = 0$ 变形为 $4x - 2y = 0$。
对比系数可知，常数项必须为 0，即：
$1 - a^2 = 0$。
解得 $a^2 = 1$。
因为 $a > 0$，所以 $a = 1$。