圆的方程　·　历年高考数学真题与解析

3．求圆 $x^{2}+y^{2}-2 x+6 y=0$ 的圆心到 $x-y+2=0$ 的距离

14．设点 $M$ 在直线 $2 x+y-1=0$ 上，点 $(3,0)$ 和 $(0,1)$ 均在 $\odot M$ 上，则 $\odot M$ 的方程为 $\_\_\_\_$ ．

15．过四点 $(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)$ 中的三点的一个圆的方程为 $\_\_\_\_$。

5．若过点 $(2,1)$ 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 $2 x-y-3=0$ 的距离为

8．若过点 $(2,1)$ 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 $2 x-y-3=0$ 的距离为（）

11．（5 分）设抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，则以 $F$ 为圆心，且与 $l$ 相切的圆的方程为 $\_\_\_\_$ $(x-1)^{2}+y^{2}=4$ ．

22．［选修4－4：坐标系与参数方程］
在极坐标系中，$O$ 为极点，点 $M\left(\rho_{0}, \theta_{0}\right)\left(\rho_{0}>0\right)$ 在曲线 $C: \rho=4 \sin \theta$ 上，直线 $l$ 过点 $A(4,0)$ 且与 $O M$ 垂直，垂足为 $P$ ．
（1）当 $\theta_{0}=\frac{\pi}{3}$ 时，求 $\rho_{0}$ 及 $l$ 的极坐标方程；
（2）当 $M$ 在 $C$ 上运动且 $P$ 在线段 $O M$ 上时，求 $P$ 点轨迹的极坐标方程．

（12）在平面直角坐标系中，经过三点 $(0,0),(1,1),(2,0)$ 的圆的方程为 $\_\_\_\_$。

12．（5分）设抛物线 $\mathrm{y}^{2}=4 \mathrm{x}$ 的焦点为 F ，准线为 I ．已知点 C 在 I 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A ．若 $\angle \mathrm{FAC}=120^{\circ}$ ，则圆的方程为 $\_\_\_\_$ ．

12．（5分）在矩形 ABCD 中， $\mathrm{AB}=1, \mathrm{AD}=2$ ，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上．若 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mu \overrightarrow{\mathrm{AD}}$ ，则 $\lambda+\mu$ 的最大值为（）

19．某景区欲建造两条圆形观景步道 $M_{1} , M_{2}$（宽度忽略不计），如图所示，已知 $A B \perp A C, A B=A C=A D=60$（单位：米），要求圆 $M_{1}$ 与 $A B , A D$ 分别相切于点 $B , D$ ，圆 $M_{2}$ 与 $A C , A D$ 分别相切于点 $C , D$ ；
（1）若 $\angle B A D=60^{\circ}$ ，求圆 $M_{1} , M_{2}$ 的半径（结果精确到 0.1 米）
（2）若观景步道 $M_{1}$ 与 $M_{2}$ 的造价分别为每米 0.8 千元与每米 0.9 千元，如何设计圆 $M_{1}$ 、
$M_{2}$ 的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到 0.1 千元）

12．（ 5 分）（ $2016 \bullet$ 天津）已知圆 C 的圆心在 x 轴正半轴上，点 $(0, \sqrt{5})$ 圆 C 上，且圆心到直线 $2 \mathrm{x}-\mathrm{y}=0$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ，则圆 C 的方程为 $\_\_\_\_$ ．

20．（12分）设圆 $x^{2}+y^{2}+2 x-15=0$ 的圆心为 $A$ ，直线过点 $B(1,0)$ 且与 $x$ 轴不重合， I 交圆 A 于 $\mathrm{C}, \mathrm{D}$ 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E ．
（I）证明 $|E A|+|E B|$ 为定值，并写出点 $E$ 的轨迹方程；
（II）设点 E 的轨迹为曲线 $\mathrm{C}_{1}$ ，直线 $l$ 交 $\mathrm{C}_{1}$ 于 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 两点，过 B 且与 I 垂直的直线与圆 $A$ 交于 $P, Q$ 两点，求四边形 $M P N Q$ 面积的取值范围．

23．在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=a \cos t \\ y=1+a \sin t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数，$a>0$ ） －在以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $\mathrm{C}_{2}: \rho=4 \cos \theta$
（I）说明 $\mathrm{C}_{1}$ 是哪种曲线，并将 $\mathrm{C}_{1}$ 的方程化为极坐标方程；
（II）直线 $\mathrm{C}_{3}$ 的极坐标方程为 $\theta=\alpha_{0}$ ，其中 $\alpha_{0}$ 满足 $\tan \alpha_{0}=2$ ，若曲线 $\mathrm{C}_{1}$ 与 $\mathrm{C}_{2}$ 的公共点都在 $\mathrm{C}_{3}$ 上，求 a ．

5．（5 分）圆 $(x+1)^{2}+y^{2}=2$ 的圆心到直线 $y=x+3$ 的距离为（）

6．（5分）圆 $x^{2}+y^{2}-2 x-8 y+13=0$ 的圆心到直线 $a x+y-1=0$ 的距离为 1 ，则 $a=$（

9．已知正三角形 ABC 的边长为 $2 \sqrt{3}$ ，平面 ABC 内的动点 $\mathrm{P}, \mathrm{M}$ 满足 $|\stackrel{\text { uu }}{A P}=1|, \stackrel{\text { uur }}{P M}=\stackrel{\text { uu }}{M C}$ ，则 $|\stackrel{\text { ur }}{B M}|^{2}$ 的最大值是

10．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，以点 $(1,0)$ 为圆心且与直线 $\mathrm{mx}-\mathrm{y} -2 m-1=0 \quad(m \in R)$ 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 $\_\_\_\_$。

14．（5分）一个圆经过椭圆 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 的三个顶点．且圆心在 $x$ 轴的正半轴上．则该圆标准方程为 $-\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+y^{2}=\frac{25}{4}$ ．

14．如图，圆 $C$ 与 $x$ 轴相切于点 $T(1,0)$ ，与 $y$ 轴正半轴交于两点 $A, B$（ $B$ 在 $A$ 的上方），且 $|A B|=2$ ．
（I）圆 $C$ 的标准方程为 $\_\_\_\_$ ；
（II）过点 $A$ 任作一条直线与圆 $O: x^{2}+y^{2}=1$ 相交于 $M, N$ 两点，下列三个结论：
①$\frac{|N A|}{|N B|}=\frac{|M A|}{|M B|}$ ；
②$\frac{|N B|}{|N A|}-\frac{|M A|}{|M B|}=2$ ；
③$\frac{|N B|}{|N A|}+\frac{|M A|}{|M B|}=2 \sqrt{2}$ 。

其中正确结论的序号是 $\_\_\_\_$ ．（写出所有正确结论的序号）

16．如图，已知圆 $C$ 与 $x$ 轴相切于点 $T(1,0)$ ，与 $y$ 轴正半轴交于两点 $A, B$（ $B$ 在 $A$ 的上方），且 $|A B|=2$ ．

（I）圆 $C$ 的标准方程为 $\_\_\_\_$ ；
（II）圆 $C$ 在点 $B$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为 $\_\_\_\_$ ．

2．（5 分）圆心为（ 1,1 ）且过原点的圆的标准方程是

12．若圆 $C$ 的半径为 1 ，其圆心与点 $(1,0)$ 关于直线 $y=x$ 对称，则圆 $C$ 的标准方程为

（14）
圆心在直线 $x-2 y=0$ 上的圆 $C$ 与 $y$ 轴的正半轴相切，圆 $C$ 截 $x$ 轴所得弦的长为 $2 \sqrt{3}$ ，则圆 $C$ 的标准方程为 $\_\_\_\_$。

（13）已知圆 C 的圆心是直线 $\left\{\begin{array}{l}x=t, \\ y=1+t\end{array}\right.$（ t 为参数）与 x 轴的交点，且圆 C 与直线 $\mathrm{x}+\mathrm{y}+3=0$相切，则圆 C 的方程为 $\_\_\_\_$

（15）过点A(4,1)的圆C与直线$x-y-1=0$相切于点B（2,1），则圆C的方程为____

（15）设 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是等比数列，公比 $q=\sqrt{2}, \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}$ 为 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和。记 $T_{n}=\frac{17 S_{n}-S_{2 n}}{a_{n+1}}, n \in N^{*}$ ．设 $T_{n_{0}}$ 为数列 $\left\{T_{n}\right\}$ 的最大项，则 $n_{0}=$

侧视图

$\_\_\_\_$。

（4）已知圆 $C$ 与直线 $x-y=0$ 及 $x-y-4=0$ 都相切，圆心在直线 $x+y=0$ 上，则圆 $C$ 的方程为

4．（5分）（2009•陕西）过原点且倾斜角为 $60^{\circ}$ 的直线被圆 $x^{2}+y^{2}-4 y=0$ 所截得的弦长为（

（5）已知圆 $C_{1}:(x+1)^{2}+(y-1)^{2}=1$ ，圆 $C_{2}$ 与圆 $C_{1}$ 关于直线 $x-y-1=0$ 对称，则圆 $C_{2}$的方程为

12．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为 $4 \sqrt{3} \pi$ ，则该正方体的表面积为 $\_\_\_\_$ ．

14．将圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 沿 x 轴正向平移 1 个单位后所得到圆 C ，则 $\_\_\_\_$ ，
$l$ 和圆 C 相切，则直线 $l$ 的斜率为 $\_\_\_\_$ ．

（15）已知圆 C 的圆心与点 $P(-2,1)$ 关于直线 $y=x+1$ 对称．直线 $3 x+4 y-11=0$ 与圆 C相交于 $A, B$ 两点，且 $|A B|=6$ ，则圆 C 的方程为 $\_\_\_\_$ ．