设 a=2 ln 1.01, b=ln 1.02, c=…——2021 高考数学第 12 题答案解析

【答案】B
【解析】
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对 $a, b$ 的大小作出判定，对于 $a$ 与 $c, b$ 与 $c$ 的大小关

系，将 0.01 换成 $x$ ，分别构造函数 $f(x)=2 \ln (1+x)-\sqrt{1+4 x}+1, g(x)=\ln (1+2 x)-\sqrt{1+4 x}+1$ ，利用导数分析其在 0 的右侧包括 0.01 的较小范围内的单调性，结合 $f(0)=0, g(0)=0$ 即可得出 $a$ 与 $c, b$ 与 $c$ 的大小关系。

**方法一**：
$a=2 \ln 1.01=\ln 1.01^{2}=\ln (1+0.01)^{2}=\ln \left(1+2 \times 0.01+0.01^{2}\right)>\ln 1.02=b$,

所以 $b<a$ ；
下面比较 $c$ 与 $a, b$ 的大小关系．
记 $f(x)=2 \ln (1+x)-\sqrt{1+4 x}+1$ ，则 $f(0)=0, f^{\prime}(x)=\frac{2}{1+x}-\frac{2}{\sqrt{1+4 x}}=\frac{2(\sqrt{1+4 x}-1-x)}{(1+x) \sqrt{1+4 x}}$ ，
由于 $1+4 x-(1+x)^{2}=2 x-x^{2}=x(2-x)$
所以当 $0<x<2$ 时， $1+4 x-(1+x)^{2}>0$ ，即 $\sqrt{1+4 x}>(1+x), f \boldsymbol{\varphi}(x)>0$ ，
所以 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上单调递增，
所以 $f(0.01)>f(0)=0$ ，即 $2 \ln 1.01>\sqrt{1.04}-1$ ，即 $a>c$ ；
令 $g(x)=\ln (1+2 x)-\sqrt{1+4 x}+1$ ，则 $g(0)=0, g^{\prime}(x)=\frac{2}{1+2 x}-\frac{2}{\sqrt{1+4 x}}=\frac{2(\sqrt{1+4 x}-1-2 x)}{(1+x) \sqrt{1+4 x}}$ ，
由于 $1+4 x-(1+2 x)^{2}=-4 x^{2}$ ，在 $x>0$ 时， $1+4 x-(1+2 x)^{2}<0$ ，
所以 $g^{\prime}(x)<0$ ，即函数 $g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递减，所以 $g(0.01)<g(0)=0$ ，即 $\ln 1.02<\sqrt{1.04}-1$ ，即 $b<c$ ；

综上，$b<c<a$ ，
故选：B．

**方法二**：

令 $f(x)=\ln \left(\frac{x^{2}+1}{2}\right)-x-1(x>1)$
$f^{\prime}(x)=-\frac{(x-1)^{2}}{x^{2}+1}<0$ ，即函数 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递减
$f(\sqrt{1+0.04})<f(1)=0, \therefore b<c$

令 $g(x)=2 \ln \left(\frac{x^{2}+3}{4}\right)-x+1(1<x<3)$
$g^{\prime}(x)=\frac{(x-1)(3-x)}{x^{2}+3}>0$ ，即函数 $g(x)$ 在 $(1,3)$ 上单调递增
$g(\sqrt{1+0.04})\langle g(1)=0, \therefore a\rangle c$
综上，$b<c<a$ ，
故选：B．
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的．