（5分）已知椭圆C： x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b…——2014 高考数学第 9 题答案解析

【考点】K4：椭圆的性质．
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用 $\triangle A F_{1} B$ 的周长为 $4 \sqrt{3}$ ，求出 $\mathrm{a}=\sqrt{3}$ ，根据离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，可得 $\mathrm{c}=1$ ，求出 $b$ ，即可得出椭圆的方程．

【解答】解：$\because \triangle A F_{1} B$ 的周长为 $4 \sqrt{3}$ ，

$\because \triangle A F_{1} B$ 的周长 $=\left|A F_{1}\right|+\left|A F_{2}\right|+\left|B F_{1}\right|+\left|B F_{2}\right|=2 a+2 a=4 a$ ，
$\therefore 4 \mathrm{a}=4 \sqrt{3}$ ，
$\therefore \mathrm{a}=\sqrt{3}$ ，
∵ 离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，
$\therefore \frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}, \quad c=1$ ，
$\therefore b=\sqrt{a^{2}-c^{2}}=\sqrt{2}$ ，
∴ 椭圆C的方程为 $\frac{\mathrm{x}^{2}}{3}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{2}=1$ ．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．