椭圆　·　历年高考数学真题与解析

19. 已知椭圆 $E : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的一个顶点是(2,0)，离心率为 $\textstyle { \frac { 1 } { 2 } }$

(I) 求E的方程;

(II)过点A(1,1)作斜率为k(k≠±1)的直线交E于B,C两点。设D为B关于直线 $y = x$ 的对称点，直线DC交y=x于点Q。若 $| S _ { \Delta i B Q } - S _ { \Delta i C Q } | = \frac { 5 } { 8 }$ ,求k的值.

16.（15分）椭圆 $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的离心率为 $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ ，长轴长为4.

（1）求C的方程；

(2）过点(0,-2)的直线l与C交于A,B两点，O为坐标原点，若 $S _ { \triangle O A B } = \sqrt { 2 }$ ，求 $\left| A B \right|$

19．已知椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，椭圆 $E$ 上的点到两焦点的距离之和为 4 。

（1） 求椭圆 $E$ 的方程；
② 设 $O$ 为坐标原点，点 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(x_{0} \neq 0\right)$ 在椭圆 $E$ 上，直线 $x_{0} x+2 y_{0} y-4=0$ 与直线 $y=2$ ，

$y=-2$ 分别交于点 $A, B$ ．设 $\triangle O A M$ 与 $\square O B M$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，比较 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 与 $\frac{|O A|}{|O B|}$ 的大小．

19. 已知 $E \colon { \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } + { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1$ 的离心率为 $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ ，椭圆上的点到两焦点距离之和为4，

(1) 求椭圆方程；

②设O为原点， $M ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) ( x _ { 0 } { \neq } 0 )$ 为椭圆上一点，直线 $x _ { 0 } x + 2 y _ { 0 } y - 4 = 0$ 与直线 $y = 2 , y = - 2$ 交于A，B. $\triangle { O A M }$ 与△OBM的面积为 $S _ { 1 } , S _ { 2 }$ ,比较 $\frac { S _ { 1 } } { S _ { 2 } } \frac { | O A | } { | O B | }$ 的大小.

19．已知椭圆方程 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，焦点和短轴端点构成边长为 2 的正方形，过 $(0, t)(t>\sqrt{2})$
的直线 $l$ 与椭圆交于 $A, B, C(0,1)$ ，连接 $A C$ 交椭圆于 $D$ ．
（1）求椭圆方程和离心率；
（2）若直线 $B D$ 的斜率为 0 ，求 $t$ ．

19．已知随圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}, A , C$ 分别是 $E$ 的上、下顶点，$B, D$ 分别是 $E$的左、右顶点，$|A C|=4$ ．
（1）求 $E$ 的方程；
②设 $P$ 为第一象限内 $E$ 上的动点，直线 $P D$ 与直线 $B C$ 交于点 $M$ ，直线 $P A$ 与直线 $y=-2$ 交于点 $N$ ．求证：$M N / / C D$ ．

5．设椭圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1(a>1), C_{2}: \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ．若 $e_{2}=\sqrt{3} e_{1}$ ，则 $a=()$

11．已知随圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{1}{3}, A_{1}, A_{2}$ 分别为 $C$ 的左、右顶点，$B$ 为 $C$ 的上顶点．若 $\overrightarrow{B A_{1}} \cdot \overrightarrow{B A_{2}}=-1$ ，则 $C$ 的方程为

15．已知 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $C: \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 的两个焦点，$P, Q$ 为 $C$ 上关于坐标原点对称的两点，且 $|P Q|=\left|F_{1} F_{2}\right|$ ，则四边形 $P F_{1} Q F_{2}$ 的面积为

16．已知 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $C: \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 的两个焦点，$P, Q$ 为 $C$ 上关于坐标原点对称的两点，且 $|P Q|=\left|F_{1} F_{2}\right|$ ，则四边形 $P F_{1} Q F_{2}$ 的面积为

18．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $E: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $A$ 在椭圆 $E$ 上且在第一象限内，$A F_{2} \perp F_{1} F_{2}$ ，直线 $A F_{1}$ 与椭圆 $E$ 相交于另一点 $B$ ．

（1）求 $\triangle A F_{1} F_{2}$ 的周长；
（2）在 $x$ 轴上任取一点 $P$ ，直线 $A P$ 与椭圆 $E$ 的右准线相交于点 $Q$ ，求 $\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{Q P}$ 的最小值；
（3）设点 $M$ 在椭圆 $E$ 上，记 $\triangle O A B$ 与 $\triangle M A B$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，若 $S_{2}=3 S_{1}$ ，求点 $M$ 的坐标．

19．已知椭圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点 $F$ 与抛物线 $C_{2}$ 的焦点重合，$C_{1}$ 的中心与 $C_{2}$ 的顶点重合．过 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线交 $C_{1}$ 于 $A, B$ 两点，交 $C_{2}$ 于 $C, D$ 两点，且 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$ ．
（1）求 $C_{1}$ 的离心率；
②设 $M$ 是 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共点，若 $|M F|=5$ ，求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的标准方程．

19．已知随圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点 $F$ 与抛物线 $C_{2}$ 的焦点重合，$C_{1}$ 的中心与 $C_{2}$ 的顶点重合．过 $F$ 且与 $x$ 轴重直的直线交 $C_{1}$ 于 $A, B$ 两点，交 $C_{2}$ 于 $C, D$ 两点，且 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$ ．

（1）求 $C_{1}$ 的离心率；
（2）若 $C_{1}$ 的四个顶点到 $C_{2}$ 的准线距离之和为 12 ，求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的标准方程．

20．已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{m^{2}}=1(0<m<5)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{15}}{4}, A, B$ 分别为 $C$ 的左、右顶点．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）若点 $P$ 在 $C$ 上，点 $Q$ 在直线 $x=6$ 上，且 $|B P|=|B Q|, B P \perp B Q$ ，求 $\triangle A P Q$ 的面积

21．已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{m^{2}}=1(0<m<5)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{15}}{4}, A, B$ 分别为 $C$ 的左、右顶点．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）若点 $P$ 在 $C$ 上，点 $Q$ 在直线 $x=6$ 上，且 $|B P|=|B Q|, B P \perp B Q$ ，求 $\triangle A P Q$ 的面积

8．已知点 $O(0,0), A(-2,0), B(2,0)$ ．设点 $P$ 满足 $|P A|-|P B|=2$ ，且 $P$ 为函数 $y=3 \sqrt{4-\mathrm{x}^{2}}$ 图象上的点，则 $|O P|=$（ ）

10．已知椭圆 C 的焦点为 $F_{1}(-1,0), F_{2}(1,0)$ ，过 $F_{2}$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点．若 $\left|A F_{2}\right|=2\left|F_{2} B\right|,|A B|=\left|B F_{1}\right|$ ，则 $C$ 的方程为

12．已知椭圆 C 的焦点为 $F_{1}(-1,0), F_{2}(1,0)$ ，过 $F_{2}$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点．若 $\left|A F_{2}\right|=2\left|F_{2} B\right|,|A B|=\left|B F_{1}\right|$ ，则 $C$ 的方程为

15．设 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $C: \frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{20}=1$ 的两个焦点，$M$ 为 $C$ 上一点且在第一象限．若 $\triangle M F_{1} F_{2}$ 为等腰三角形，则 $M$ 的坐标为

15．设 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $C: \frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{20}=1$ 的两个焦点，$M$ 为 $C$ 上一点且在第一象限．若 $\triangle M F_{1} F_{2}$ 为等腰三角形，则 $M$ 的坐标为 $\_\_\_\_$ ．

17．（本小题满分 14 分）
如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的焦点为 $F_{1}(-1 , 0)$ ， $F_{2}(1,0)$ ．过 $F_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$ ，在 $x$ 轴的上方，$l$ 与圆 $F_{2}:(x-1)^{2}+y^{2}=4 a^{2}$ 交于点 $A$ ，与椭圆 $C$ 交于点 $D$ ．连结 $A F_{1}$ 并延长交圆 $F_{2}$ 于点 $B$ ，连结 $B F_{2}$ 交椭圆 $C$ 于点 $E$ ，连结 $D F_{1}$ ．

已知 $D F_{1}=\frac{5}{2}$ ．
（1）求椭圆 $C$ 的标准方程；
（2）求点 $E$ 的坐标．

19.

设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F$ ，左顶点为 $A$ ，顶点为 $B$ 。已知 $\sqrt{3}|O A|=2|O B|$（ $O$ 为原点）
（I）求椭圆的离心率；
（II）设经过点 $F$ 且斜率为 $\frac{3}{4}$ 的直线 $l$ 与椭圆在 $x$ 轴上方的交点为 $P$ ，圆 $C$ 同时与 $x$ 轴和直线 $l$ 相切，圆心 $C$ 在直线 $x=4$ 上，且 $O C / / A P$ ，求椭圆的方程．

20．已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的两个焦点，$P$ 为 $C$ 上一点，$O$ 为坐标原点
（1）若 $\mathrm{V} P O F_{2}$ 为等边三角形，求 $C$ 的离心率；
（2）如果存在点 $P$ ，使得 $P F_{1} \perp P F_{2}$ ，且 $\triangle F_{1} P F_{2}$ 的面积等于 16 ，求 $b$ 的值和 $a$ 的取值范围．

22．［选修4－4：坐标系与参数方程］
在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}, \\ y=\frac{4 t}{1+t^{2}}\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为
$2 \rho \cos \theta+\sqrt{3} \rho \sin \theta+11=0$.
（1）求 $C$ 和 $l$ 的直角坐标方程；
（2）求 $C$ 上的点到 $l$ 距离的最小值．

22．［选修4－4：坐标系与参数方程］
在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}, \\ y=\frac{4 t}{1+t^{2}}\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为
$2 \rho \cos \theta+\sqrt{3} \rho \sin \theta+11=0$.
（1）求 $C$ 和 $l$ 的直角坐标方程；
（2）求 $C$ 上的点到 $l$ 距离的最小值．

4．（5 分）已知椭圆 $\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则（）

8．若抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点是椭圆 $\frac{x^{2}}{3 p}+\frac{y^{2}}{p}=1$ 的一个焦点，则 $p=$

11．（5分）已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C$ 的两个焦点，$P$ 是 $C$ 上的一点，若 $P F_{1} \perp P F_{2}$ ，且 $\angle P F_{2} F_{1}=60^{\circ}$ ，则 $C$ 的离心率为

12．（5分）已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点，$A$ 是 $C$的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ 的直线上，$\triangle \mathrm{PF}_{1} \mathrm{~F}_{2}$ 为等腰三角形，$\angle \mathrm{F}_{1} \mathrm{~F}_{2} \mathrm{P}= 120^{\circ}$ ，则 C 的离心率为

17．（4 分）已知点 $P(0,1)$ ，椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=m(m>1)$ 上两点 $A, B$ 满足 $\overrightarrow{\mathrm{AP}} =2 \overrightarrow{\mathrm{~PB}}$ ，则当 $\mathrm{m}=5$ 时，点 B 横坐标的绝对值最大．

4．（5分）已知椭圆C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 的一个焦点为 $(2,0)$ ，则C的离心率为（

6．已知平面上动点 P 到两个定点 $(1,0)$ 和 $(-1,0)$ 的距离之和等于 4 ，则动点 P 的轨迹方程为 $\_\_\_\_$

10．设椭圆 $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2}$ ，点 $P$ 在该椭圆上，则使得 $\triangle F_{1} F_{2} P$ 是等腰三角形的点 $P$ 的个数是 $\_\_\_\_$ ；

12．（5分）设 $A, B$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{m}=1$ 长轴的两个端点，若 $C$ 上存在点 $M$ 满足 $\angle A M B=120^{\circ}$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

17．（14 分）如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为 $\mathrm{F}_{1}, \mathrm{~F}_{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，两准线之间的距离为 8 ．点 P 在椭圆 E上，且位于第一象限，过点 $F_{1}$ 作直线 $P F_{1}$ 的垂线 $I_{1}$ ，过点 $F_{2}$ 作直线 $P F_{2}$ 的垂线 $I_{2}$ ．
（1）求椭圆 E 的标准方程；
（2）若直线 $\mathrm{I}_{1}, \mathrm{I}_{2}$ 的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标．

2．（5 分）椭圆 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 的离心率是（ ）

20．（12分）已知椭圆 $\mathrm{C}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ ，四点 $\mathrm{P}_{1}(1,1), \mathrm{P}_{2}(0,1$ ）， $\mathrm{P}_{3}\left(-1, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \mathrm{P}_{4}\left(1, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 中恰有三点在椭圆C上。
（1）求 C 的方程；
②设直线 $\mid$ 不经过 $P_{2}$ 点且与 $C$ 相交于 $A$ ，$B$ 两点．若直线 $P_{2} A$ 与直线 $P_{2} B$ 的斜率的和为 -1 ，证明：l过定点．

11．（5分）已知 $O$ 为坐标原点，$F$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点，$A$ ， B 分别为 C 的左，右顶点． P 为 C 上一点，且 $\mathrm{PF} \perp \mathrm{x}$ 轴，过点 A 的直线 $l$ 与线段 PF交于点 $M$ ，与 $y$ 轴交于点 $E$ ．若直线 $B M$ 经过 $O E$ 的中点，则 $C$ 的离心率为（

19．（14分）（2016•天津）设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{3}=1(a>\sqrt{3})$ 的右焦点为 $F$ ，右顶点为 $A$ ，已知 $\frac{1}{|O F|}+\frac{1}{|O A|}=\frac{3 e}{|F A|}$ ，其中 $O$ 为原点，$e$ 为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
②设过点 A 的直线 $l$ 与椭圆交于 B （ B 不在 x 轴上），垂直于 1 的直线与 1 交于点 M ，与 y 轴交于点 $H$ ，若 $B F \perp H F$ ，且 $\angle M O A=\angle M A O$ ，求直线 $l$ 的斜率．

7．（5 分）（2016•浙江）已知随圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{m^{2}}+y^{2}=1(m>1)$ 与双曲线 $C_{2}: \frac{x^{2}}{n^{2}}-y^{2}=1(n>0)$的焦点重合，$e_{1}, e_{2}$ 分别为 $C_{1}, C_{2}$ 的离心率，则（ ）

（20）（本小题满分 13 分）
设椭圆 E 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为 $(a, 0)$ ，点 B 的坐标为 $(0, b)$ ，点 M 在线段 AB 上，满足 $|B M|=2|M A|$ ，直线 OM 的斜率为 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ ．
（I）求 E 的离心率 e ；
（II）设点 C 的坐标为 $(0,-b), \mathrm{N}$ 为线段 AC 的中点，点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为 $\frac{7}{2}$ ，求 E 的方程．

20．（本小题满分 12 分）已知椭圆 $\mathrm{E}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的半焦距为 $c$，原点 O 到经过两点 $(c, 0)$,
$(0, b)$ 的直线的距离为 $\frac{1}{2} c$．
（I）求椭圆 E 的离心率；

（II）如图， AB 是圆 $\mathrm{M}:(x+2)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{5}{2}$ 的一条直径，若椭圆 E 经过 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，求椭圆 E 的方程。

21．（本小题满分 12 分，（1）小问 5 分，（2）小问 7 分）
如题（21）图，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$，过 $F_{2}$ 的直线交椭圆于 $P, Q$两点，且 $P Q \perp P F_{1}$

（1）若 $\left|P F_{1}\right|=2+\sqrt{2},\left|P F_{2}\right|=2-\sqrt{2}$，求椭圆的标准方程
（2）若 $\left|P F_{1}\right|=|P Q|$，求椭圆的离心率 $e$．

21、（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分．
已知椭圆 $x^{2}+2 y^{2}=1$ ，过原点的两条直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 分别于椭圆交于 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 和 $\mathrm{C} , \mathrm{D}$ ，记得到的平行四边形 ABCD 的面积为 $S$ ．
①设 $\mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right), \mathrm{C}\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，用 $\mathrm{A} , \mathrm{C}$ 的坐标表示点 C 到直线 $l_{1}$ 的距离，并证明 $S=2\left|x_{1} y_{1}-x_{2} y_{1}\right| ;$
②设 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的斜率之积为 $-\frac{1}{2}$ ，求面积 $S$ 的值．

5．（5分）已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为 $\frac{1}{2}$ ， E 的右焦点与抛物线 C ： $y^{2}=8 x$ 的焦点重合，$A, B$ 是 $C$ 的准线与 $E$ 的两个交点，则 $|A B|=$（）

8．（5分）（2015 • 广东）已知椭圆 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{m^{2}}=1(m>0$
）的左焦点为 $\mathrm{F}_{1}(-4,0)$ ，则 $\mathrm{m}=$

15．已知椭圆 $\mathrm{C}: \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ，点 M 与 C 的焦点不重合，若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ，线段 MN 的中点在 C 上，则 $|A N|+|B N|=$

15．已知椭圆 $\mathrm{C}: \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ，点 M 与 C 的焦点不重合，若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ，线段 MN 的中点在 C 上，则 $|A N|+|B N|=$ $\_\_\_\_$ ．

20．（12分）设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左，右焦点，$M$ 是C上一点且 $M F_{2}$ 与 $x$ 轴垂直，直线 $M F_{1}$ 与 $C$ 的另一个交点为 $N$ ．

（1）若直线 MN 的斜率为 $\frac{3}{4}$ ，求 C 的离心率；
（2）若直线 $M N$ 在 $y$ 轴上的截距为 2 ，且 $|M N|=5\left|F_{1} N\right|$ ，求 $a$ ，$b$ ．

6．（5分）已知椭圆C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点为 $F_{1} , F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A , B$ 两点，若 $\triangle A F_{1} B$ 的周长为 $4 \sqrt{3}$ ，则 $C$ 的方程为

9．（5分）已知椭圆C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点为 $F_{1} , F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $\triangle A F_{1} B$ 的周长为 $4 \sqrt{3}$ ，则 $C$ 的方程为

（15）已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F, C$ 与过原点的直线相交于 $A, B$ 两点，连接 $A F, B F$．若 $|A B|=10,|A F|=6, \cos \angle \mathrm{ABF}=\frac{4}{5}$，则 $C$ 的离心率 $e=$ $\_\_\_\_$．

20．（12分）已知圆M：$(x+1)^{2}+y^{2}=1$ ，圆 $N$ ：$(x-1)^{2}+y^{2}=9$ ，动圆 $P$ 与圆 $M$ 外切并与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C ．
（ I ）求 C 的方程；
（II） I 是与圆 P ，圆 M 都相切的一条直线， I 与曲线 C 交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，当圆 P 的半径最长时，求 $|\mathrm{AB}|$ ．

8．（5分）已知 $F_{1}(-1,0), F_{2}(1,0)$ 是椭圆 $C$ 的两个焦点，过 $F_{2}$ 且垂直于 $x$轴的直线交椭圆于 $A , B$ 两点，且 $|A B|=3$ ，则 $C$ 的方程为（ ）

9、从椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 上一点 $P$ 向 $x$ 轴作垂线，垂足恰为左焦点 $F_{1}, A$ 是椭圆与 $x$ 轴正半轴的交点，$B$ 是椭圆与 $y$ 轴正半轴的交点，且 $A B / / O P$（ $O$ 是坐标原点），则该椭圆的离心率是

21．（本小题满分 13 分）在直角坐标系 $x O y$ 中，已知中心在原点，离心率为 $\frac{1}{2}$ 的椭圆 $E$
的一个焦点为圆 $C: x^{2}+y^{2}-4 x+2=0$ 的圆心．
（1）求椭圆 $\boldsymbol{E}$ 的方程；
②设 $P$ 是椭圆 $E$ 上一点，过 $P$ 作两条斜率之积为 $\frac{1}{2}$ 的直线 $I_{1}, I_{2}$ 。当直线 $I_{1}, I_{2}$ 都与圆 $C$ 相切时，求 $P$ 的坐标．

3．（5分）椭圆的中心在原点，焦距为 4 ，一条准线为 $\mathrm{x}=-4$ ，则该椭圆的方程为（ ）

4．（5分）设 $F_{1} , F_{2}$ 是椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点，$P$ 为直线 $x= \frac{3 \mathrm{a}}{2}$ 上一点，$\triangle \mathrm{F}_{2} \mathrm{PF}_{1}$ 是底角为 $30^{\circ}$ 的等腰三角形，则 E 的离心率为（ ）

5．（5分）椭圆的中心在原点，焦距为 4 ，一条准线为 $\mathrm{x}=-4$ ，则该椭圆的方程为（ ）

14．（5分）在平面直角坐标系 xOy ，椭圆 C 的中心为原点，焦点 $\mathrm{F}_{1} \mathrm{~F}_{2}$ 在 x 轴上，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．过 $F_{1}$ 的直线交于 $A, B$ 两点，且 $\triangle A B F_{2}$ 的周长为 16 ，那么C的方程为 $-\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{8}=1$ ．

17．（本小题满分 12 分）
设椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 过点 $(0,4)$ ，离心率为 $\frac{3}{5}$ ．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）求过点（ $3, ~ 0$ ）且斜率为 $\frac{4}{5}$ 的直线被 $C$ 所截线段的中点坐标．

17、（2011•浙江）一个随圆的焦点将其准线间的距离三等分，则椭圆的离心率为 $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

考点：椭圆的简单性质。
专题：计算题。
分析：根据题意分别表示出椭圆的焦距和准线间的距离的三分之一，建立等式求得 a 和 c 的关系，则椭圆的离心率可得。

4．（5分）椭圆 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{8}=1$ 的离心率为（ ）

9．在直角坐标系 xOy 中，曲线 $\mathrm{C}_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \alpha, \\ y=\sqrt{3} \sin \alpha\end{array}\right.$（ $\alpha$ 为参数）．在极坐标系与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 的方程为 $\rho(\cos \theta-\sin \theta)+1=0$ ，则 $\mathrm{C}_{1}$ 与 $\mathrm{C}_{2}$ 的交点个数为 $\_\_\_\_$

12．（5分）已知椭圆 $C$ ：$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ 的右焦点为 $F$ ，右准线为 $I$ ，点 $A \in I$ ，线段 $A F$ 交 $C$于点 $B$ ，若 $\overrightarrow{F A}=3 \overrightarrow{F B}$ ，则 $|\overrightarrow{A F}|=$（ ）

12．（5分）已知椭圆 C ：$\frac{\mathrm{x}^{2}}{2}+\mathrm{y}^{2}=1$ 的右焦点为 F ，右准线为 I ，点 $\mathrm{A} \in \mathrm{I}$ ，线段 AF 交 C于点 B ，若 $\overrightarrow{\mathrm{FA}}=3 \overrightarrow{\mathrm{FB}}$ ，则 $|\overrightarrow{\mathrm{AF}}|=$（ ）

（20）（本小题满分 12 分）
已知椭圆 $C$ 的中心为直角坐标系 $x O y$ 的原点，焦点在 $x$ 轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是 7 和 1
（I）求椭圆 $C$ 的方程
（II）若 $P$ 为椭圆 $C$ 的动点，$M$ 为过 $P$ 且垂直于 $x$ 轴的直线上的点，$\frac{|O P|}{|O M|}=e$
（e为椭圆 C 的离心率），求点 $M$ 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

（10）如图， AB 是平面 $a$ 的斜线段， A 为斜足，若点 P 在平面 $a$ 内运动，使得 $\triangle \mathrm{ABP}$ 的面积为定值，则动点 P 的轨迹是

12．已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 F ，右准线为 $l$ ，离心率 $e=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．

过顶点 $A(0, b)$ 作 $\mathrm{AM} \perp l$ ，垂足为 M ，则直线 FM 的斜率等于 $\_\_\_\_$ ．

（13）已知 $F_{1} , F_{2}$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 的两个焦点，过 $F_{1}$ 的直线交椭圆于 $A , B$ 两点若 $\left|F_{2} A\right|+\left|F_{2} B\right|=12$ ，则 $|A B|=$

15．（5分）在 $\triangle A B C$ 中，$A B=B C, \cos B=-\frac{7}{18}$ ．若以 $A, B$ 为焦点的椭圆经过点 $C$ ，则该椭圆的离心率 $\mathrm{e}=$ $\_\_\_\_$ $\frac{3}{8}$ ．

5．设椭圆 $\frac{x^{2}}{m^{2}}+\frac{y^{2}}{m^{2}-1}=1(m>1)$ 上一点 $P$ 到其左焦点的距离为 3 ，到右焦点的距离为 1 ，则 $P$ 到右准线的距离为（）