椭圆　·　历年高考数学真题与解析

16．已知 $A(0,3)$ 和 $P\left(3, \frac{3}{2}\right)$ 为椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 上两点．
（1）求 $C$ 的离心率；
（2）若过 $P$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于另一点 $B$ ，且 $\triangle A B P$ 的面积为 9 ，求 $l$ 的方程．

19．已知椭圆方程 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，焦点和短轴端点构成边长为 2 的正方形，过 $(0, t)(t>\sqrt{2})$
的直线 $l$ 与椭圆交于 $A, B, C(0,1)$ ，连接 $A C$ 交椭圆于 $D$ ．
（1）求椭圆方程和离心率；
（2）若直线 $B D$ 的斜率为 0 ，求 $t$ ．

12．己知椭圆 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{6}=1, F_{1}, F_{2}$ 为两个焦点，$O$ 为原点，$P$ 为椭圆上一点， $\cos \angle F_{1} P F_{2}=\frac{3}{5}$ ，则 $|P O|=$

5．设椭圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1(a>1), C_{2}: \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ．若 $e_{2}=\sqrt{3} e_{1}$ ，则 $a=()$

7．设 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $C: \frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$ 的两个焦点，点 $P$ 在 $C$ 上，若 $\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=0$ ，则 $\left|P F_{1}\right| \cdot\left|P F_{2}\right|=$

10．椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左顶点为 $A$ ，点 $P, Q$ 均在 $C$ 上，且关于 $y$ 轴对称．若直线 $A P, A Q$的斜率之积为 $\frac{1}{4}$ ，则 $C$ 的离心率为

11．已知随圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{1}{3}, A_{1}, A_{2}$ 分别为 $C$ 的左、右顶点，$B$ 为 $C$ 的上顶点．若 $\overrightarrow{B A_{1}} \cdot \overrightarrow{B A_{2}}=-1$ ，则 $C$ 的方程为

19．已知椭圆：$E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的一个顶点为 $A(0,1)$ ，焦距为 $2 \sqrt{3}$ ．
（1）求椭圆 $E$ 的方程；
（2）过点 $P(-2,1)$ 作斜率为 $k$ 的直线与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $B, C$ ，直线 $A B, A C$ 分别与 $x$ 轴交于点 $M, N$ ，当 $|M N|=2$ 时，求 $k$ 的值．

21．已知椭圆 $E$ 的中心为坐标原点，对称轴为 $x$ 轴、 $y$ 轴，且过 $A(0,-2), B\left(\frac{3}{2},-1\right)$ 两点．

（1）求 $E$ 的方程；
②设过点 $P(1,-2)$ 的直线交 $E$ 于 $M, N$ 两点，过 $M$ 且平行于 $x$ 轴的直线与线段 $A B$ 交于点 $T$ ，点 $H$ 满足 $\overrightarrow{M T}=\overrightarrow{T H}$ ．证明：直线 $H N$ 过定点．

11．设 $B$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$ 的上顶点，点 $P$ 在 $C$ 上，则 $|P B|$ 的最大值为

11．已知椭圆 $x^{2}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(0【思路分析】先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线 $P F_{1}$ 的方程并与抛物线联立，求出点 $P$ 的坐标，由此可得 $P F_{2} \perp F_{1} F_{2}$ ，进而可以求出 $P F_{1}, ~ P F_{2}$ 的长度 ，再由椭圆的定义即可求解。

16．已知随圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，焦点 $F_{1}(-c, 0), F_{2}(c, 0)(c>0)$ ，若过 $F_{1}$ 的直线和圆
$\left(x-\frac{1}{2} c\right)^{2}+y^{2}=c^{2}$ 相切，与椭圆在第一象限交于点 $P$ ，且 $P F_{2} \perp x$ 轴，则该直线的斜率是 $\_\_\_\_$

，椭圆的离心率是 $\_\_\_\_$。

18.

已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F$ ，上顶点为 $B$ ，离心率为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，且 $|B F|=\sqrt{5}$.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线 $l$ 与椭圆有唯一的公共点 $M$ ，与 $y$ 轴的正半轴交于点 $N$ ，过 $N$ 与 $B F$ 垂直的直线交 $x$ 轴于点 $P$ ．若 $M P / / B F$ ，求直线 $l$ 的方程．

15．已知椭圆 $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ ，作垂直于 $x$ 轴的垂线交椭圆于 $A , B$ 两点，作垂直于 $y$ 轴的垂线交椭圆于 $C , D$ 两点，且 $A B=C D$ ，两垂线相交于点 $P$ ，则点 $P$ 的轨迹是

19．已知随圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点 $F$ 与抛物线 $C_{2}$ 的焦点重合，$C_{1}$ 的中心与 $C_{2}$ 的顶点重合．过 $F$ 且与 $x$ 轴重直的直线交 $C_{1}$ 于 $A, B$ 两点，交 $C_{2}$ 于 $C, D$ 两点，且 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$ ．

（1）求 $C_{1}$ 的离心率；
（2）若 $C_{1}$ 的四个顶点到 $C_{2}$ 的准线距离之和为 12 ，求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的标准方程．

20．已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{m^{2}}=1(0（1）求 $C$ 的方程；
（2）若点 $P$ 在 $C$ 上，点 $Q$ 在直线 $x=6$ 上，且 $|B P|=|B Q|, B P \perp B Q$ ，求 $\triangle A P Q$ 的面积

20．已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 过点 $A(-2,-1)$ ，且 $a=2 b$ ．
（I）求椭圆 $C$ 的方程：
（ II）过点 $B(-4,0)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于点 $M, N$ ，直线 $M A, N A$ 分别交直线 $x=-4$ 于点 $P, Q$ ．求 $\frac{|P B|}{|B Q|}$ 的值．

21．已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 过点 $M(2,3)$ ，点 $A$ 为其左顶点，且 $A M$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，
（1）求 $C$ 的方程；

（2）点 $N$ 为椭圆上任意一点，求 $\triangle A M N$ 的面积的最大值．

21．已知 $A , B$ 分别为椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1(a>1)$ 的左、右顶点，$G$ 为 $E$ 的上顶点， $\overrightarrow{A G} \cdot \overrightarrow{G B}=8, P$ 为直线 $x=6$ 上的动点，$P A$ 与 $E$ 的另一交点为 $C, P B$ 与 $E$ 的另一交点为 $D$ ．
（1）求 $E$ 的方程；
（2）证明：直线 $C D$ 过定点．

21．已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{m^{2}}=1(0（1）求 $C$ 的方程；
（2）若点 $P$ 在 $C$ 上，点 $Q$ 在直线 $x=6$ 上，且 $|B P|=|B Q|, B P \perp B Q$ ，求 $\triangle A P Q$ 的面积

10．已知椭圆 C 的焦点为 $F_{1}(-1,0), F_{2}(1,0)$ ，过 $F_{2}$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点．若 $\left|A F_{2}\right|=2\left|F_{2} B\right|,|A B|=\left|B F_{1}\right|$ ，则 $C$ 的方程为

12．已知椭圆 C 的焦点为 $F_{1}(-1,0), F_{2}(1,0)$ ，过 $F_{2}$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点．若 $\left|A F_{2}\right|=2\left|F_{2} B\right|,|A B|=\left|B F_{1}\right|$ ，则 $C$ 的方程为

15．已知椭圆 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$ 的左焦点为 $F$ ，点 $P$ 在椭圆上且在 $x$ 轴的上方，若线段 $P F$ 的中点在以原点 $O$ 为圆心，$|O F|$ 为半径的圆上，则直线 $P F$ 的斜率是 $\_\_\_\_$ ．

15．设 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $C: \frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{20}=1$ 的两个焦点，$M$ 为 $C$ 上一点且在第一象限．若 $\triangle M F_{1} F_{2}$ 为等腰三角形，则 $M$ 的坐标为

15．设 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $C: \frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{20}=1$ 的两个焦点，$M$ 为 $C$ 上一点且在第一象限．若 $\triangle M F_{1} F_{2}$ 为等腰三角形，则 $M$ 的坐标为 $\_\_\_\_$ ．

17．（本小题满分 14 分）
如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的焦点为 $F_{1}(-1 , 0)$ ， $F_{2}(1,0)$ ．过 $F_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$ ，在 $x$ 轴的上方，$l$ 与圆 $F_{2}:(x-1)^{2}+y^{2}=4 a^{2}$ 交于点 $A$ ，与椭圆 $C$ 交于点 $D$ ．连结 $A F_{1}$ 并延长交圆 $F_{2}$ 于点 $B$ ，连结 $B F_{2}$ 交椭圆 $C$ 于点 $E$ ，连结 $D F_{1}$ ．

已知 $D F_{1}=\frac{5}{2}$ ．
（1）求椭圆 $C$ 的标准方程；
（2）求点 $E$ 的坐标．

19.

设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F$ ，左顶点为 $A$ ，顶点为 $B$ 。已知 $\sqrt{3}|O A|=2|O B|$（ $O$ 为原点）
（I）求椭圆的离心率；
（II）设经过点 $F$ 且斜率为 $\frac{3}{4}$ 的直线 $l$ 与椭圆在 $x$ 轴上方的交点为 $P$ ，圆 $C$ 同时与 $x$ 轴和直线 $l$ 相切，圆心 $C$ 在直线 $x=4$ 上，且 $O C / / A P$ ，求椭圆的方程．

4．（5 分）已知椭圆 $\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则（）

9．若抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点是椭圆 $\frac{x^{2}}{3 p}+\frac{y^{2}}{p}=1$ 的一个焦点，则 $p=$

11．（5分）已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C$ 的两个焦点，$P$ 是 $C$ 上的一点，若 $P F_{1} \perp P F_{2}$ ，且 $\angle P F_{2} F_{1}=60^{\circ}$ ，则 $C$ 的离心率为

12．（5分）已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点，$A$ 是 $C$的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ 的直线上，$\triangle \mathrm{PF}_{1} \mathrm{~F}_{2}$ 为等腰三角形，$\angle \mathrm{F}_{1} \mathrm{~F}_{2} \mathrm{P}= 120^{\circ}$ ，则 C 的离心率为

14．（5 分）已知椭圆 $M: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，双曲线 $N: \frac{x^{2}}{m^{2}}-\frac{y^{2}}{n^{2}}=1$ ．若双曲线 $N$ 的两条渐近线与椭圆 $M$ 的四个交点及椭圆 $M$ 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为 $\_\_\_\_$ $\sqrt{3}-1$ ；双曲线 N 的离心率为 $\_\_\_\_$ 2 ．

17．（4 分）已知点 $P(0,1)$ ，椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=m(m>1)$ 上两点 $A, B$ 满足 $\overrightarrow{\mathrm{AP}} =2 \overrightarrow{\mathrm{~PB}}$ ，则当 $\mathrm{m}=5$ 时，点 B 横坐标的绝对值最大．

18．（本小题满分 16 分）
如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C$ 过点 $\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ ，焦点 $F_{1}(-\sqrt{3}, 0), F_{2}(\sqrt{3}, 0)$ ，圆 $O$ 的直径为 $F_{1} F_{2}$ ．
（1）求椭圆 $C$ 及圆 $O$ 的方程；
②设直线 $/$ 与圆 $O$ 相切于第一象限内的点 $P$ ．
（1）若直线 $/$ 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 $P$ 的坐标；
（2）直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点．若 $\triangle O A B$ 的面积为 $\frac{2 \sqrt{6}}{7}$ ，

（第 18 题）

求直线 $/$ 的方程．

（19）（本小题满分 14 分）
设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右顶点为 $A$ ，上顶点为 $B$ ．已知椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3},|A B|=\sqrt{13}$ ．
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线 $l: y=k x(k<0)$ 与椭圆交于 $P, Q$ 两点，$l$ 与直线 $A B$ 交于点 $M$ ，且点 $P, M$ 均在第四象限．若 $\triangle B P M$ 的面积是 $\triangle B P Q$ 面积的 2 倍，求 $k$ 的值．

4．（5分）已知椭圆C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 的一个焦点为 $(2,0)$ ，则C的离心率为（

10．（5分）已知椭圆C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，且以线段 $A_{1} A_{2}$ 为直径的圆与直线 $b x-a y+2 a b=0$ 相切，则 $C$ 的离心率为（ ）

10．设椭圆 $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2}$ ，点 $P$ 在该椭圆上，则使得 $\triangle F_{1} F_{2} P$ 是等腰三角形的点 $P$ 的个数是 $\_\_\_\_$ ；

11．（5分）已知椭圆C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，且以线段 $A_{1} A_{2}$ 为直径的圆与直线 $b x-a y+2 a b=0$ 相切，则 $C$ 的离心率为（ ）

12．（5分）设 $A, B$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{m}=1$ 长轴的两个端点，若 $C$ 上存在点 $M$ 满足 $\angle A M B=120^{\circ}$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

17．（14 分）如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为 $\mathrm{F}_{1}, \mathrm{~F}_{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，两准线之间的距离为 8 ．点 P 在椭圆 E上，且位于第一象限，过点 $F_{1}$ 作直线 $P F_{1}$ 的垂线 $I_{1}$ ，过点 $F_{2}$ 作直线 $P F_{2}$ 的垂线 $I_{2}$ ．
（1）求椭圆 E 的标准方程；
（2）若直线 $\mathrm{I}_{1}, \mathrm{I}_{2}$ 的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标．

19．（14 分）已知椭圆 C 的两个顶点分别为 $\mathrm{A}(-2,0), \mathrm{B}(2,0)$ ，焦点在 x轴上，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．
（I）求椭圆 C 的方程；
（II）点 D 为 x 轴上一点，过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ ，过 D 作 AM 的垂线交 BN 于点 E ．求证：$\triangle \mathrm{BDE}$ 与 $\triangle \mathrm{BDN}$ 的面积之比为 4：5．

2．（5 分）椭圆 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 的离心率是（ ）

20．（14分）已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为F $(-c, 0)$，右顶点为 $A$，点 $E$ 的坐标为 $(0, c), \triangle E F A$ 的面积为 $\frac{b^{2}}{2}$．
（1）求椭圆的离心率；
（II）设点 Q 在线段 AE 上，$|\mathrm{FQ}|=\frac{3}{2} \mathrm{c}$，延长线段 FQ 与椭圆交于点 P，点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 在 x轴上，$P M / / Q N$，且直线 $P M$ 与直线 $Q N$ 间的距离为 $c$，四边形 $P Q N M$ 的面积为 $3 c$．
（i）求直线 $F P$ 的斜率；
（ii）求椭圆的方程．

# 2017年天津市高考数学试卷（文科）

7．（5 分）（2016•浙江）已知椭圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{m^{2}}+y^{2}=1(m>1)$ 与双曲线 $C_{2}: \frac{x^{2}}{n^{2}}-y^{2}=1(n>0)$的焦点重合，$e_{1}, e_{2}$ 分别为 $C_{1}, C_{2}$ 的离心率，则（）

10．（5分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$F$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0$ ）的右焦点，直线 $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{b}}{2}$ 与椭圆交于 $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ 两点，且 $\angle \mathrm{BFC}=90^{\circ}$ ，则该椭圆的离心率是 $\_\_\_\_$ ．

19．（14分）（2016•天津）设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{3}=1(a>\sqrt{3})$ 的右焦点为 $F$ ，右顶点为A．已知 $\frac{1}{|O F|}+\frac{1}{|O A|}=\frac{3 e}{|F A|}$ ，其中 $O$ 为原点，$e$ 为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
②设过点 A 的直线 $l$ 与椭圆交于点 B （ B 不在 x 轴上），垂直于 1 的直线与 1 交于点 M ，与 y 轴于点 $H$ ，若 $B F \perp H F$ ，且 $\angle M O A \leqslant \angle M A O$ ，求直线 $l$ 的斜率的取值范围．

19．（14分）（2016•天津）设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{3}=1(a>\sqrt{3})$ 的右焦点为 $F$ ，右顶点为 $A$ ，已知 $\frac{1}{|O F|}+\frac{1}{|O A|}=\frac{3 e}{|F A|}$ ，其中 $O$ 为原点，$e$ 为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
②设过点 A 的直线 $l$ 与椭圆交于 B （ B 不在 x 轴上），垂直于 1 的直线与 1 交于点 M ，与 y 轴交于点 $H$ ，若 $B F \perp H F$ ，且 $\angle M O A=\angle M A O$ ，求直线 $l$ 的斜率．

19．（14 分）已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 过点 $A(2,0), B(0,1)$ 两点．
（1）求椭圆 C 的方程及离心率；
②设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M ，直线 PB与 $x$ 轴交于点 $N$ ，求证：四边形 $A B N M$ 的面积为定值．

20、（本小题满分 13 分）
已知椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点 $P\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ 在椭圆 $E$ 上。
（I）求椭圆 $E$ 的方程；
（II）设不过原点 $O$ 且斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 E 交于不同的两点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ，线段 AB 的中点为 M ，直线 OM 与椭圆 E 交于 C，D，证明：$|M A| \cdot|M B|=|M C| \cdot|M D|$ 。

5．（5分）直线 $l$经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到I的距离为其短轴长的 $\frac{1}{4}$ ，则该椭圆的离心率为

7．（5 分）（2016•浙江）已知随圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{m^{2}}+y^{2}=1(m>1)$ 与双曲线 $C_{2}: \frac{x^{2}}{n^{2}}-y^{2}=1(n>0)$的焦点重合，$e_{1}, e_{2}$ 分别为 $C_{1}, C_{2}$ 的离心率，则（ ）

11．已知椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F$ 。短轴的一个端点为 $M$ ，直线 $l: 3 x-4 y=0$ 交椭圆 $E$ 于 $A, B$ 两点．若 $|A F|+|B F|=4$ ，点 $M$ 到直线 $l$ 的距离不小于 $\frac{4}{5}$ ，则椭圆 $E$ 的离心率的取值范围是

14．（5分）一个圆经过椭圆 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 的三个顶点．且圆心在 $x$ 轴的正半轴上．则该圆标准方程为 $-\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+y^{2}=\frac{25}{4}$ ．

19．已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F(-c, 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，点 $M$ 在椭圆上且位于第一象限，直线 $F M$ 被圆 $x^{2}+y^{2}=\frac{b^{2}}{4}$ 截得的线段的长为 $c,|F M|=\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ．
（I）求直线 $F M$ 的斜率；
（II）求椭圆的方程；
（III）设动点 $P$ 在椭圆上，若直线 FP 的斜率大于 $\sqrt{2}$ ，求直线 $O P$（ $O$ 为原点）的斜率的取值范围。

19．已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ 的上顶点为 B ，左焦点为 F ，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．
（I）求直线 BF 的斜率；
（II）设直线 BF 与椭圆交于点 $\mathrm{P}(\mathrm{P}$ 异于点 B$)$ ，故点 B 且垂直于 BF 的直线与椭圆交于点 $\mathrm{Q}(\mathrm{Q}$ 异于点
B）直线 PQ 与 x 轴交于点 $\mathrm{M},|\mathrm{PM}|=/|\mathrm{MQ}|$ 。
（i）求 $/$ 的值；
（ii）若 $|\mathrm{PM}| \sin Đ \mathrm{BQP}=\frac{7 \sqrt{5}}{9}$ ，求椭圆的方程．

19．（14 分）已知椭圆 $\mathrm{C}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $\mathrm{P}(0,1)$和点 $A(m, n)(m \neq 0)$ 都在椭圆 $C$ 上，直线 PA 交 $x$ 轴于点 $M$ ．
（I）求椭圆 C 的方程，并求点 M 的坐标（用 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 表示）；
（II）设 O 为原点，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，直线 PB 交 x 轴于点 N ，问： y轴上是否存在点 Q ，使得 $\angle \mathrm{OQM}=\angle \mathrm{ONQ}$ ？若存在，求点 Q 的坐标，若不存在，说明理由．

（20）（本小题满分 13 分）
设椭圆 E 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为 $(a, 0)$ ，点 B 的坐标为 $(0, b)$ ，点 M 在线段 AB 上，满足 $|B M|=2|M A|$ ，直线 OM 的斜率为 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ ．
（I）求 E 的离心率 e ；
（II）设点 C 的坐标为 $(0,-b), \mathrm{N}$ 为线段 AC 的中点，点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为 $\frac{7}{2}$ ，求 E 的方程．

20．如图，椭圆 $\mathrm{E}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过点 $\mathrm{P}(0,1)$ 的动直线 $l$ 与椭圆相交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$两点，当直线 $l$ 平行与 $x$ 轴时，直线 $l$ 被椭圆 E 截得的线段长为 $2 \sqrt{2}$ ．
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，是否存在与点 P 不同的定点 Q ，使得 $\frac{|Q A|}{|Q B|}=\frac{|P A|}{|P B|}$ 恒成立？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分 12 分）已知椭圆 $\mathrm{E}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的半焦距为 $c$，原点 O 到经过两点 $(c, 0)$,
$(0, b)$ 的直线的距离为 $\frac{1}{2} c$．
（I）求椭圆 E 的离心率；

（II）如图， AB 是圆 $\mathrm{M}:(x+2)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{5}{2}$ 的一条直径，若椭圆 E 经过 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，求椭圆 E 的方程。

21、（本小题满分 12 分，（I）小问 5 分，（II）小问 7 分）
如题（21）图，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，且过 $F_{2}$ 的直线交椭圆于 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 两点，且 $\mathrm{PQ} \perp P F_{1}$ ．
（I）若 $\left|P F_{1}\right|=2+\sqrt{2},\left|P F_{2}\right|=2-\sqrt{2}$ ，求椭圆的标准方程．
（II）若 $|\mathrm{PQ}|=\lambda\left|P F_{1}\right|$ ，且 $\frac{3}{4} \leq \lambda \leq \frac{4}{3}$ ，试确定椭圆离心率的取值范围．

21．（本小题满分 12 分，（1）小问 5 分，（2）小问 7 分）
如题（21）图，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$，过 $F_{2}$ 的直线交椭圆于 $P, Q$两点，且 $P Q \perp P F_{1}$

（1）若 $\left|P F_{1}\right|=2+\sqrt{2},\left|P F_{2}\right|=2-\sqrt{2}$，求椭圆的标准方程
（2）若 $\left|P F_{1}\right|=|P Q|$，求椭圆的离心率 $e$．

21、（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分．
已知椭圆 $x^{2}+2 y^{2}=1$ ，过原点的两条直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 分别于椭圆交于 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 和 $\mathrm{C} , \mathrm{D}$ ，记得到的平行四边形 ABCD 的面积为 $S$ ．
①设 $\mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right), \mathrm{C}\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，用 $\mathrm{A} , \mathrm{C}$ 的坐标表示点 C 到直线 $l_{1}$ 的距离，并证明 $S=2\left|x_{1} y_{1}-x_{2} y_{1}\right| ;$
②设 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的斜率之积为 $-\frac{1}{2}$ ，求面积 $S$ 的值．

22．（本小题满分 14 分）
一种画椭圆的工具如图 1 所示。 $O$ 是滑槽 $A B$ 的中点，短杆 $O N$ 可绕 $O$ 转动，长杆 $M N$ 通过 $N$ 处较链与 $O N$ 连接，$M N$ 上的栓子 $D$ 可沿滑槽 $A B$ 滑动，且 $D N=O N=1, M N=3$ 。当栓子 $D$ 在滑槽 $A B$ 内作往复运动时，带动 $N$ 绕 $O$ 转动，$M$ 处的笔尖画出的椭圆记为 $C$ 。以 $O$ 为原点，$A B$ 所在的直线为 $x$ 轴建立如图2所示的平面直角坐标系。
（I）求椭圆 $C$ 的方程；
（II）设动直线 $l$ 与两定直线 $l_{1}: x-2 y=0$ 和 $l_{2}: x+2 y=0$ 分别交于 $P, Q$ 两点．若直线 $l$ 总与椭圆 $C$ 有且只有一个公共点，试探究：$\triangle O P Q$ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

第 22 题图 1

第22题图2

20．设椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，点 $O$ 为坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $(a, 0)$ ，点 $B$ 的坐标为（ 0 ，
$b)$ ，点 $M$ 在线段 $A B$ 上，满足 $|B M|=2|M A|$ ，直线 $O M$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ ．
（I）求 $E$ 的离心率 $e$ ；
（II）设点 $C$ 的坐标为 $(0,-b), N$ 为线段 $A C$ 的中点，证明：$M N \perp A B$ ．

8．（5分）（2015 • 广东）已知椭圆 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{m^{2}}=1(m>0$
）的左焦点为 $\mathrm{F}_{1}(-4,0)$ ，则 $\mathrm{m}=$

15．已知椭圆 $\mathrm{C}: \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ，点 M 与 C 的焦点不重合，若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ，线段 MN 的中点在 C 上，则 $|A N|+|B N|=$

14．设椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左右焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，作 $F_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，$F_{1} B$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ，若 $A D \perp F_{1} B$ ，则椭圆 $C$ 的离心率等于

15．已知椭圆 $\mathrm{C}: \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ，点 M 与 C 的焦点不重合，若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ，线段 MN 的中点在 C 上，则 $|A N|+|B N|=$ $\_\_\_\_$ ．

17．（本小题满分 14 分）
如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{3}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点 ，顶点 $B$ 的坐标为 $(0, b)$ ，连结 $B F_{2}$ 并延长交椭圆于点 $A$ ，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于另一点 $C$ ，连结 $F_{1} C$ 。
（1）若点 C 的坐标为 $\left(\frac{4}{3}, \frac{1}{3}\right)$ ，且 $B F_{2}=\sqrt{2}$ ，求椭圆的方程；
（2）若 $F_{1} C \perp A B$ ，求椭圆离心率 $e$ 的值．

（第17题）

20．（本小题满分 14 分）
已知椭圆 $\mathrm{C}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的一个焦点为 $(\sqrt{5}, 0)$ ，离心率 $\mathrm{e}=\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，且椭圆 C 上的点到 $\mathrm{Q}(0,2)$ 的距离的最大值为 3 ．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）若动点 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为椭圆C外一点，且点 $P$ 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 $P$ 的轨迹方程。

18．（本小题满分 13 分）
设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2}$ ，右顶点为 $A$ ，上顶点为 $B$ ．
已知 $|A B|=\frac{\sqrt{3}}{2}\left|F_{1} F_{2}\right|$ ．
（1）求椭圆的离心率；
②设 $P$ 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 $P B$ 为直径的圆经过点 $F_{1}$ ，经过原点 $O$ 的直线 $l$ 与该圆相切，求直线 $l$ 的斜率．

19．（14 分）已知椭圆 $C: x^{2}+2 y^{2}=4$ ．
（ I ）求椭圆 C 的离心率；
（II）设 O 为原点，若点 A 在直线 $\mathrm{y}=2$ 上，点 B 在椭圆 C 上，且 $\mathrm{OA} \perp \mathrm{OB}$ ，求线段 AB 长度的最小值．

20．（12分）设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左，右焦点，$M$ 是C上一点且 $M F_{2}$ 与 $x$ 轴垂直，直线 $M F_{1}$ 与 $C$ 的另一个交点为 $N$ ．

（1）若直线 MN 的斜率为 $\frac{3}{4}$ ，求 C 的离心率；
（2）若直线 $M N$ 在 $y$ 轴上的截距为 2 ，且 $|M N|=5\left|F_{1} N\right|$ ，求 $a$ ，$b$ ．

20．（本小题满分 13 分）如图 5，$O$ 为坐标原点，双曲线 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}}-\frac{y^{2}}{b_{1}^{2}}=1\left(a_{1}>0, b_{1}>0\right)$ 和椭圆 $C_{2}: \frac{x^{2}}{a_{2}{ }^{2}}+\frac{y^{2}}{b_{2}{ }^{2}}=1\left(a_{2}>b_{2}>0\right)$ 均过点 $P\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, 1\right)$ ，且以 $C_{1}$ 的两个顶点和 $C_{2}$ 的两个焦点为顶点的四边形是面积为 2 的正方形。
（1）求 $C_{1}, C_{2}$ 的方程；
（2）是否存在直线 $l$ ，使得 $l$ 与 $C_{1}$ 交于 $A, B$ 两点，与 $C_{2}$ 只有一个公共点，且 $|\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}|=|\overrightarrow{A B}|$ ？证明你的结论．

－图 5

20．（本小题满分 14 分）已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的一个焦点为 $(\sqrt{5}, 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）若动点 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为椭圆外一点，且点 $P$ 到椭圆 $C$ 的两条切线相互垂直，求点 $P$ 的轨迹方程。

20．已知椭圆 $\mathrm{C}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的焦距为 4 ，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。
（1）求椭圆 C 的标准方程；
②设 F 为椭圆 C 的左焦点， T 为直线 $x=-3$ 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ ．
（i）证明： OT 平分线段 PQ （其中 O 为坐标原点）；
（ii）当 $\frac{|T F|}{|P Q|}$ 最小时，求点 T 的坐标．

20．（12分）设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左，右焦点，$M$ 是 $C$ 上一点且 $M F_{2}$ 与 $x$ 轴垂直，直线 $M F_{1}$ 与 $C$ 的另一个交点为 $N$ ．
（1）若直线 MN 的斜率为 $\frac{3}{4}$ ，求 C 的离心率；

（2）若直线 $M N$ 在 $y$ 轴上的截距为 2 ，且 $|M N|=5\left|F_{1} N\right|$ ，求 $a$ ，$b$ ．

21．如图 7，$O$ 为坐标原点，椭圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $e_{1}$ ；双曲线 $C_{2}: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的左右焦点分别为 $F_{3}, F_{4}$ ，离心率为 $e_{2}$ ，已知 $e_{1} e_{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且 $\left|F_{2} F_{4}\right|=\sqrt{3}-1$ ．
（1）求 $C_{1}, C_{2}$ 的方程；
（2）过 $F_{1}$ 点作 $C_{1}$ 的不垂直于 $y$ 轴的弦 $A B, M$ 为 $A B$ 的中点，当直线 $O M$ 与 $C_{2}$ 交于 $P, Q$ 两点时，求四边形 $A P B Q$ 面积的最小值．

｜ 17

21．（本小题满分 12 分，（I）小问 5 分，（II）小问 7 分）
如题（21）图，设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $D$ 在椭圆上，
$D F_{1} \perp F_{1} F_{2}, \frac{\left|F_{1} F_{2}\right|}{\left|D F_{1}\right|}=2 \sqrt{2}, \Delta D F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
（I）求该椭圆的标准方程；
（II）设圆心在 $y$ 轴上的圆与椭圆在 $x$ 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．．

## 题（21）图

21．（本小题满分 12 分，（I）小问 5 分，（II）小问 7 分）
如题（21）图，设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$，点 $D$ 在椭圆上， $D F_{1} \perp F_{1} F_{2}, \frac{\left|F_{1} F_{2}\right|}{\left|D F_{1}\right|}=2 \sqrt{2}, \Delta D F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（I）求该椭圆的标准方程；
（II）是否存在圆心在 $y$ 轴上的圆，使圆在 $x$ 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由．

## 题（21）图

6．（5分）已知椭圆C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点为 $F_{1} , F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A , B$ 两点，若 $\triangle A F_{1} B$ 的周长为 $4 \sqrt{3}$ ，则 $C$ 的方程为

9．（5分）已知椭圆C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点为 $F_{1} , F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $\triangle A F_{1} B$ 的周长为 $4 \sqrt{3}$ ，则 $C$ 的方程为

10．（5分）已知陏圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F(3,0)$ ，过点 $F$ 的直线交椭圆 $E$ 于 $A , B$ 两点．若 $A B$ 的中点坐标为 $(1,-1)$ ，则 $E$ 的方程为

（11）已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 F $F, C$ 与过原点的直线相交于 $A, B$ 两点，连接 $A F, B F$．若 $|A B|=10,|B| F=8, \cos \angle \mathrm{ABF}=\frac{4}{5}$，则 $C$ 的离心率为

14．椭圆 $\Gamma: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$，焦距为 $2 c$，若直线 $y=\sqrt{3}(x+c)$ 与椭圆的一个交点满足 $\angle M F_{1} F_{2}=2 \angle M F_{2} F_{1}$，则该椭圆的离心率等于 $\_\_\_\_$

15．椭圆 $r: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$，焦距为 $2 c$．若直线 $y=\sqrt{3}(x+c)$ 与椭圆 r 的一个交点 $M$ 满足 $\angle M F_{1} F_{2}=2 \angle M F_{2} F_{1}$，则该椭圆的离心率等于

16．（选修 4－4：坐标系与参数方程）
在直线坐标系 $x o y$ 中，椭圆 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=a \cos \varphi \\ y=b \sin \varphi\end{array}\right.$（ $\varphi$ 为参数，$a>b>0$ ）。在极坐标系（与直角坐标系 $x o y$ 取相同的长度单位，且以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴为正半轴 为极轴）中，直线 $l$ 与圆 $O$ 的极坐标分别为 $\rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} m$（ $m$ 为非零常数）与 $\rho=b$．若直线 $l$ 经过椭圆 $C$ 的焦点，且与圆 $O$ 相切，则椭圆的离心率为 $\_\_\_\_$．

（15）已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F, C$ 与过原点的直线相交于 $A, B$ 两点，连接 $A F, B F$．若 $|A B|=10,|A F|=6, \cos \angle \mathrm{ABF}=\frac{4}{5}$，则 $C$ 的离心率 $e=$ $\_\_\_\_$．

（18）（本小题满分 12 分）
设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{1-a^{2}}=1$ 的焦点在 $x$ 轴上
（I）若椭圆 $E$ 的焦距为 1，求椭圆 $E$ 的方程；
（II）设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆的左、右焦点，$P$ 为椭圆 $E$ 上第一象限内的点，直线 $F_{2} P$ 交 $y$ 轴与点 $Q$，并且 $F_{1} P \perp F_{1} Q$，证明：当 $a$ 变化时，点 $P$ 在某定直线上．

（21）（本小题满分 13 分）
已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的焦距为 4，且过点 $P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$．
（I）求椭圆 $C$ 的方程；
（II）设 $Q\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(x_{0} y_{0} \neq 0\right)$ 为椭圆 $C$ 上一点，过点 $Q$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $E$。取点 $A(0,2 \sqrt{2})$，连接 $A E$，过点 $A$ 作 $A E$ 的垂线交 $x$ 轴于点 $D$。点 $G$ 是点 $D$ 关于 $y$ 轴的对称点，作直线 $Q G$，问这样作出的直线 $Q G$ 是否与椭圆 $C$ 一定有唯一的公共点？并说明理由．

19．（14 分）直线 $y=k x+m(m \neq 0)$ 与椭圆W：$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 相交于 $A, C$ 两点，$O$ 是坐标原点．
（I）当点 B 的坐标为 $(0,1)$ ，且四边形 OABC 为菱形时，求 AC 的长；
（II）当点 $B$ 在 $W$ 上且不是 $W$ 的顶点时，证明：四边形 $O A B C$ 不可能为菱形。

19．（14 分）已知 $A, B, C$ 是椭圆 $W: \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 上的三个点，$O$ 是坐标原点．
（I）当点 B 是 W 的右顶点，且四边形 OABC 为菱形时，求此菱形的面积；
（II）当点 B 不是 W 的顶点时，判断四边形 OABC 是否可能为菱形，并说明理由。

22、（本小题满分 13 分）
椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过 $F_{1}$ 且垂直于 $x$ 轴
的直线被椭圆 $C$ 截得的线段长为 1 ．
（I）求椭圆 $C$ 的方程；
（II）点 $P$ 是椭圆 $C$ 上除长轴端点外的任一点，连接 $P F_{1}, P F_{2}$ 。设 $\angle F_{1} P F_{2}$ 的角平分线 $P M$ 交 $C$的长轴于点 $M(m, 0)$ ，求 $m$ 的取值范围；
（III）在（II）的条件下，过点 $P$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l$ ，使得 $l$ 与椭圆 $C$ 有且只有一个公共点。设直线第4页｜共20页

## $P F_{1}, P F_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，若 $k \neq 0$ ，试证明 $\frac{1}{k k_{1}}+\frac{1}{k k_{2}}$ 为定值，并求出这个定值．

5．（5分）设栯圆C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2}, P$ 是C上的点 $P F_{2} \perp F_{1} F_{2}, \angle P F_{1} F_{2}=30^{\circ}$ ，则 $C$ 的离心率为

8．（5分）已知 $F_{1}(-1,0), F_{2}(1,0)$ 是椭圆 $C$ 的两个焦点，过 $F_{2}$ 且垂直于 $x$轴的直线交椭圆于 $A , B$ 两点，且 $|A B|=3$ ，则 $C$ 的方程为（ ）

9、从椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 上一点 $P$ 向 $x$ 轴作垂线，垂足恰为左焦点 $F_{1}, A$ 是椭圆与 $x$ 轴正半轴的交点，$B$ 是椭圆与 $y$ 轴正半轴的交点，且 $A B / / O P$（ $O$ 是坐标原点），则该椭圆的离心率是

（10）已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心学率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．双曲线 $x^{2}-y^{2}=1$ 的渐近线与椭圆 $C$ 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为 16 ，则椭圆 $C$ 的方程为

19．。（本小题满分 13 分）
如图，椭圆 $\mathrm{E}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 F 1 ，右焦点为 F 2 ，离心率 $e=\frac{1}{2}$ 。过 F 1 的直线交椭圆于 $A , B$ 两点，且 $\triangle A B F 2$ 的周长为 8

（I）求椭圆 E 的方程。
（II）设动直线 I： $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+\mathrm{m}$ 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ，且与直线 $\mathrm{x}=4$ 相较于点 Q 。试探究：在坐标平面内是否存在定点 $M$ ，使得以 $P Q$ 为直径的圆恒过点 $M$ ？若存在，求出点 $M$的坐标；若不存在，说明理由

19．（14 分）已知椭圆 $\mathrm{C}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ 的一个长轴顶点为 $\mathrm{A}(2,0)$ ，

离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，直线 $y=k(x-1)$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M, N$ ，
（I）求椭圆 C 的方程；
（II）当 $\triangle \mathrm{AMN}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ 时，求 k 的值．

19．（2012•天津）已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 ~(a>b>0), ~$ 点P $\left(\frac{\sqrt{5}}{5} a, \frac{\sqrt{2}}{2} a\right)$ 在椭圆上．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设 A 为椭圆的左顶点， O 为坐标原点．若点 Q 在椭圆上且满足 $|\mathrm{AQ}|=|\mathrm{AO}|$ ，求直线 OQ 的斜率的值．

19．（本小题满分 16 分）
如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}(-c, 0), F_{2}(c, 0)$ ．已知 $(1, e)$ 和 $\left(e, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 都在椭圆上，其中 $e$ 为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的离心率；
②设 $A, B$ 是椭圆上位于 $x$ 轴上方的两点，且直线 $A F_{1}$

与直线 $B F_{2}$ 平行，$A F_{2}$ 与 $B F_{1}$ 交于点 $P$ ．
（i）若 $A F_{1}-B F_{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求直线 $A F_{1}$ 的斜率；
（ii）求证：$P F_{1}+P F_{2}$ 是定值．

19．（14 分）已知曲线 $C:(5-m) x^{2}+(m-2) y^{2}=8(m \in R)$
（1）若曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆，求 m 的取值范围；
②设 $\mathrm{m}=4$ ，曲线 c 与 y 轴的交点为 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$（点 A 位于点 B 的上方），直线 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+4$与曲线 c 交于不同的两点 $\mathrm{M} , \mathrm{~N}$ ，直线 $\mathrm{y}=1$ 与直线 BM 交于点 G ．求证： A ， $G, N$ 三点共线。

21．（本小题满分 13 分）在直角坐标系 $x O y$ 中，已知中心在原点，离心率为 $\frac{1}{2}$ 的椭圆 $E$
的一个焦点为圆 $C: x^{2}+y^{2}-4 x+2=0$ 的圆心．
（1）求椭圆 $\boldsymbol{E}$ 的方程；
②设 $P$ 是椭圆 $E$ 上一点，过 $P$ 作两条斜率之积为 $\frac{1}{2}$ 的直线 $I_{1}, I_{2}$ 。当直线 $I_{1}, I_{2}$ 都与圆 $C$ 相切时，求 $P$ 的坐标．

3．（5分）椭圆的中心在原点，焦距为 4 ，一条准线为 $\mathrm{x}=-4$ ，则该椭圆的方程为（ ）

4．（5分）设 $F_{1} , F_{2}$ 是椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点，$P$ 为直线 $x= \frac{3 \mathrm{a}}{2}$ 上一点，$\triangle \mathrm{F}_{2} \mathrm{PF}_{1}$ 是底角为 $30^{\circ}$ 的等腰三角形，则 E 的离心率为（ ）

4．（5分）设 $F_{1} , F_{2}$ 是椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点，$P$ 为直线 $x= \frac{3 a}{2}$ 上一点，$\triangle F_{2} P F_{1}$ 是底角为 $30^{\circ}$ 的等腰三角形，则 $E$ 的离心率为（ ）

5．（5分）椭圆的中心在原点，焦距为 4 ，一条准线为 $\mathrm{x}=-4$ ，则该椭圆的方程为（ ）

14．（5分）在平面直角坐标系 xOy ，椭圆 C 的中心为原点，焦点 $\mathrm{F}_{1} \mathrm{~F}_{2}$ 在 x 轴上，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．过 $F_{1}$ 的直线交于 $A, B$ 两点，且 $\triangle A B F_{2}$ 的周长为 16 ，那么C的方程为 $-\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{8}=1$ ．

17．（本小题满分 12 分）
设椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 过点 $(0,4)$ ，离心率为 $\frac{3}{5}$ ．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）求过点（ $3, ~ 0$ ）且斜率为 $\frac{4}{5}$ 的直线被 $C$ 所截线段的中点坐标．

17、（2011•浙江）一个随圆的焦点将其准线间的距离三等分，则椭圆的离心率为 $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

考点：椭圆的简单性质。
专题：计算题。
分析：根据题意分别表示出椭圆的焦距和准线间的距离的三分之一，建立等式求得 a 和 c 的关系，则椭圆的离心率可得。

18．（本小题满分 13 分）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P(a, b)(a>b>0)$ 为动点，$F_{1}, F_{2}$

分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的左右焦点．已知 $\triangle F_{1} P F_{2}$ 为等腰三角形．
（I）求椭圆的离心率 $e$ ；
（II）设直线 $P F_{2}$ 与椭圆相交于 $A, B$ 两点，$M$ 是直线 $P F_{2}$ 上的点，满足 $\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{B M}=-2$ ，求点 $M$ 的轨迹方程．

18．（本小题满分 13 分）
设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $\mathrm{F}_{1}, \mathrm{~F}_{2}$ 。点 $P(a, b)$ 满足

$ \left|P F_{2}\right|=\left|F_{1} F_{2}\right| $

（I）求椭圆的离心率 $e$ ；
（II）设直线 $\mathrm{PF}_{2}$ 与椭圆相交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，若直线 $\mathrm{PF}_{2}$ 与圆 $(x+1)^{2}+(y-\sqrt{3})^{2}=16$ 相交于 M ，N两点，且 $|M N|=\frac{5}{8}|A B|$ ，求椭圆的方程

19．（本小题共14分）
已知椭圆 $G: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，右焦点为 $(2 \sqrt{2}, 0)$ ，斜率为 I 的直线 $l$ 与椭圆 G 交与 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为 $\mathrm{P}(-3,2)$ ．
（I）求椭圆 $G$ 的方程；
（II）求 $\triangle P A B$ 的面积．

19．（14分）（2011•北京）已知随圆 $G: \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ ．过点 $(m, 0)$ 作圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 的切线 $I$交椭圆G于A，B两点。
（I）求椭圆 G 的焦点坐标和离心率；
（II）将 $|\mathrm{AB}|$ 表示为 m 的函数，并求 $|\mathrm{AB}|$ 的最大值．

20．（12分）（2011 •辽宁）如图，已知椭圆 $C_{1}$ 的中心在原点 0 ，长轴左、右端点 $M$ ，$N$ 在 $x$ 轴上．椭圆 $\mathrm{C}_{2}$ 的短轴为 MN ，且 $\mathrm{C}_{1}, \mathrm{C}_{2}$ 的离心率都为 e ．直线 $1 \perp \mathrm{MN}$ ． 1 与 $\mathrm{C}_{1}$ 交于两点，与 $\mathrm{C}_{2}$ 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 $\mathrm{A} , \mathrm{~B} , \mathrm{C} , \mathrm{D}$ ．
（I） $\mathrm{e}=\frac{1}{2}$ ，求 $|\mathrm{BC}|$ 与 $|\mathrm{AD}|$ 的比值；
（II）当 e 变化时，是否存在直线 1 ，使得 $\mathrm{BO} / / \mathrm{AN}$ ，并说明理由．

4．（5分）椭圆 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{8}=1$ 的离心率为（ ）

8、（2011•浙江）已知椭圆 $\frac{x^{2}}{k+8}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 的离心率 $\mathrm{e}=\frac{1}{2}$ ，则 k 的值为（ ）

12．（5分）已知椭圆 $\mathrm{T}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过右焦点 F 且斜率为 $k(k>0)$ 的直线与 $T$ 相交于 $A$ ，$B$ 两点，若 $\overline{\mathrm{AF}}=3 \overline{\mathrm{FB}}$ ，则 $k=$（ ）

12．（5分）已知椭圆T：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过右焦点 $F$ 且斜率为 $k ~(k>0) ~$ 的直线与 $T$ 相交于 $A$ ，$B$ 两点，若 $\overline{\mathrm{AF}}=3 \overline{\mathrm{FB}}$ ，则 $k=$（）

16．（5分）已知 F 是椭圆 C 的一个焦点， B 是短轴的一个端点，线段 BF 的延长线交 C 于点 D ，且 $\overrightarrow{\mathrm{BF}}=2 \overrightarrow{\mathrm{FD}}$ ，则 C 的离心率为 $\_\_\_\_$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$。

16．（5分）已知 F 是椭圆 C 的一个焦点， B 是短轴的一个端点，线段 BF 的延长线交 C 于点 D ，且 $\overrightarrow{\mathrm{BF}}=2 \overrightarrow{\mathrm{FD}}$ ，则 C 的离心率为 $\_\_\_\_$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$。

（20）（本小题满分 12 分）
设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $\mathrm{E}: x^{2}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(0<\mathrm{b}<1)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线 $l$与 E 相交于 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两点，且 $\left|A F_{2}\right|,|A B|,\left|B F_{2}\right|$ 成等差数列。
（I）求 $|A B|$
（II）若直线 $l$ 的斜率为 1 ，求 b 的值。

21．（本小题满分 12 分）
设椭圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，抛物线 $C_{2}: x^{2}+b y=b^{2}$ 。
（1）若 $C_{2}$ 经过 $C_{1}$ 的两个焦点，求 $C_{1}$ 的离心率；
②设 $\mathrm{A}(0, \mathrm{~b}), Q\left(3 \sqrt{3}, \frac{5}{4}\right)$ ，又 $\mathrm{M} , \mathrm{~N}$ 为 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 不在 y 轴上的两个交点，若 $\triangle \mathrm{AMN}$ 的垂心为 $B\left(0, \frac{3}{4} b\right)$ ，且 $\triangle \mathrm{QMN}$ 的重心在 $C_{2}$ 上，求椭圆 $C_{1}$ 和抛物线 $C_{2}$ 的方程。

7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是

12．（5分）已知椭圆 $C$ ：$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ 的右焦点为 $F$ ，右准线为 $I$ ，点 $A \in I$ ，线段 $A F$ 交 $C$于点 $B$ ，若 $\overrightarrow{F A}=3 \overrightarrow{F B}$ ，则 $|\overrightarrow{A F}|=$（ ）

13．如图，在平面直角坐标系 $x O y_{\text {中，}} A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$

的四个顶点，$F$ 为其右焦点，直线
$A_{1} B_{2}$ 与直线 $B_{1} F$ 相交于点 T ，线段 $O T$ 与椭圆的交点 $M$ 恰为线段 $O T$ 的中点，则该椭圆的离心率为 $\_\_\_\_$ ．

12．（5分）已知椭圆 C ：$\frac{\mathrm{x}^{2}}{2}+\mathrm{y}^{2}=1$ 的右焦点为 F ，右准线为 I ，点 $\mathrm{A} \in \mathrm{I}$ ，线段 AF 交 C于点 B ，若 $\overrightarrow{\mathrm{FA}}=3 \overrightarrow{\mathrm{FB}}$ ，则 $|\overrightarrow{\mathrm{AF}}|=$（ ）

19．（本小题满分 14 分）

已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 $x$ 轴上，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，两个焦点分别为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ，椭圆 G 上一点到 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 的距离之和为 12 。圆 $C_{k}: x^{2}+y^{2}+2 k y-4 y-21=0(k \in R)$ 的圆心为点 $A_{k}$ 。
（1）求椭圆 G 的方程；
（2）求 $\Delta A_{k} F_{1} F_{2}$ 面积；
（3）问是否存在圆 $C_{k}$ 包围椭圆 G ？请说明理由。

（20）（本小题满分 12 分）
已知椭圆 $C$ 的中心为直角坐标系 $x O y$ 的原点，焦点在 $x$ 轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是 7 和 1
（I）求椭圆 $C$ 的方程
（II）若 $P$ 为椭圆 $C$ 的动点，$M$ 为过 $P$ 且垂直于 $x$ 轴的直线上的点，$\frac{|O P|}{|O M|}=e$
（e为椭圆 C 的离心率），求点 $M$ 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1 。
（I）求椭圆 C 的方程；
（II）若 P 为椭圆 C 上的动点， M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点，$\frac{|O P|}{|O M|}=\lambda$ ，求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

（21）（本小题满分 12 分）
已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2}$ ，离心率 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，右准线方程为 $\mathrm{x}=2$ ．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与该椭圆相交于 $\mathrm{M} , \mathrm{~N}$ 两点，且 $\left|\overrightarrow{F_{2} M}+\overrightarrow{F_{2} N}\right|=\frac{2 \sqrt{26}}{3}$ ，求直线 $l$ 的方程式．

22．（12分）已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，过右焦点 $F$ 的直线 $l$ 与 C 相交于 A 、 B 两点，当 I 的斜率为 1 时，坐标原点 O 到 I 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，
（I）求 a ， b 的值；
（II） C 上是否存在点 P ，使得当绕 F 转到某一位置时，有 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ 成立？若存在，求出所有的 P 的坐标与 $l$ 的方程；若不存在，说明理由．

6．过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点 $F_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于点 $P, F_{2}$ 为右焦点，若 $\angle F_{1} P F_{2}=60^{\circ}$ ，则椭圆的离心率为

7．（5分）（2009 •陕西）＂$m>n>0$＂是＂方程 $m x^{2}+n y^{2}=1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆＂的 ）

7．（5分）（2009•陕西）＂$m>n>0$＂是＂方程 $m x^{2}+n y^{2}=1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆＂的 ）

12．已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 F ，右准线为 $l$ ，离心率 $e=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．

过顶点 $A(0, b)$ 作 $\mathrm{AM} \perp l$ ，垂足为 M ，则直线 FM 的斜率等于 $\_\_\_\_$ ．

（13）已知 $F_{1} , F_{2}$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 的两个焦点，过 $F_{1}$ 的直线交椭圆于 $A , B$ 两点若 $\left|F_{2} A\right|+\left|F_{2} B\right|=12$ ，则 $|A B|=$

15．（5分）在 $\triangle A B C$ 中，$\angle A=90^{\circ}, \tan B=\frac{3}{4}$ ．若以 $A , B$ 为焦点的椭圆经过点 $C$ ，则该椭圆的离心率 $\mathrm{e}=-\frac{1}{2}$ — ．

（19）（本小题共14分）
已知 $\triangle A B C$ 的顶点 $A, B$ 在椭圆 $x^{2}+3 y^{2}=4$ 上， C 在直线 $l: y=x+2$ 上，且 $A B / / l$ ．
（I）当 $A B$ 边通过坐标原点 $O$ 时，求 $A B$ 的长及 $\triangle A B C$ 的面积；
（II）当 $\angle A B C=90^{\circ}$ ，且斜边 $A C$ 的长最大时，求 $A B$ 所在直线的方程．

21．（12 分）（2008 • 四川）设椭圆 $\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1,(\{\mathrm{a}>\mathrm{b}>0\})$ 的左右焦点分别为 $\mathrm{F}_{1}, \mathrm{~F}_{2}$ ，离心率 $\mathrm{e}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，右准线为 $1, \mathrm{M}, \mathrm{N}$ 是 1 上的两个动点， $\overrightarrow{\mathrm{F}_{1} \mathrm{M}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{F}_{2} \mathrm{~N}}=0$
（I）若 $\left|\overrightarrow{F_{1} M}\right|=\left|\overrightarrow{F_{2} N}\right|=2 \sqrt{5}$ ，求 $a, b$ 的值；
（II）证明：当 $|\mathrm{MN}|$ 取最小值时， $\overrightarrow{\mathrm{F}_{1} \mathrm{M}}+\overrightarrow{\mathrm{F}_{2} \mathrm{~N}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{F}_{1} \mathrm{~F}_{2}}$ 共线．

22．（12分）设栯圆中心在坐标原点，$A(2,0), B(0,1)$ 是它的两个顶点 ，直线 $y=k x(k>0)$ 与 $A B$ 相交于点 $D$ ，与椭圆相交于 $E , F$ 两点．

（I）若 $\overrightarrow{\mathrm{ED}}=6 \overrightarrow{\mathrm{DF}}$ ，求 k 的值；
（II）求四边形AEBF面积的最大值．

5．设椭圆 $\frac{x^{2}}{m^{2}}+\frac{y^{2}}{m^{2}-1}=1(m>1)$ 上一点 $P$ 到其左焦点的距离为 3 ，到右焦点的距离为 1 ，则 $P$ 到右准线的距离为（）

（7）设椭圆 $\frac{x^{2}}{m^{2}}+\frac{y^{2}}{n^{2}}=1(m>0, n>0)$ 的右焦点与抛物线 $y^{2}=8 x$ 的焦点相同，离心

率为 $\frac{1}{2}$ ，则此椭圆的方程为

7．已知 $F_{1} , F_{2}$ 是椭圆的两个焦点．满足 $\overrightarrow{M F_{1}} \cdot \overrightarrow{M F_{2}}=0$ 的点 $M$ 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是