（本小题共14分） 设函数 f(x)=x^ 3 -3 a…——2009 高考数学第 18 题答案解析

【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力。
（I）$f^{\prime}(x)=3 x^{2}-3 a$ ，
∵ 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(2, f(2))$ 处与直线 $y=8$ 相切，
$\therefore\left\{\begin{array}{l}f^{\prime}(2)=0 \\ f(2)=8\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}3(4-a)=0 \\ 8-6 a+b=8\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=4, \\ b=24 .\end{array}\right.\right.\right.$
（II）$\because^{f^{\prime}}(x)=3\left(x^{2}-a\right)(a \neq 0)$ ，
当 $a<0$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ，函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递增，此时函数 $f(x)$ 没有极值点．
当 $a>0$ 时，由 $f^{\prime}(x)=0 \Rightarrow x= \pm \sqrt{a}$ ，
当 $x \in(-\infty,-\sqrt{a})$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ，函数 $f(x)$ 单调递增，
当 $x \in(-\sqrt{a}, \sqrt{a})$ 时，$f^{\prime}(x)<0$ ，函数 $f(x)$ 单调递减，
当 $x \in(\sqrt{a},+\infty)$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ，函数 $f(x)$ 单调递增，
∴ 此时 $x=-\sqrt{a}$ 是 $f(x)$ 的极大值点，$x=\sqrt{a}$ 是 $f(x)$ 的极小值点．