一个底面半径为 4 c m，高为9cm的封闭圆柱形容器内有…——2025 高考数学第 14 题答案解析

【答案】 $\frac { 5 } { 2 }$

【解答】

设铁球半径为r，两铁球位置如图所示，

竖直方向有， $h = O _ { 1 } H _ { 1 } + O _ { 1 } O _ { 2 } \cdot \sin \theta + O _ { 2 } H _ { 2 }$

即 $9 = 2 r + 2 r \sin \theta$

水平方向有， $2 R = A _ { 1 } O _ { 1 } + O _ { 1 } O _ { 2 } \cdot \cos \theta + A _ { 2 } O _ { 2 }$

即 $8 = 2 r + 2 r \cos \theta$

则 $( 9 - 2 r ) ^ { 2 } + ( 8 - 2 r ) ^ { 2 } = 4 r ^ { 2 }$

化简得： $4 r ^ { 2 } - 6 8 r + 1 4 5 = 0$

$2 r - 2 9 ) ( 2 r - 5 ) = 0$

解得： $r = { \frac { 5 } { 2 } } , r = { \frac { 2 9 } { 2 } }$ (舍)

故答案为： $\frac { 5 } { 2 }$