空间几何体的表面积与体积　·　历年高考数学真题与解析

14.三棱锥A-BCD中， $A D = A B = A C = 2 \sqrt { 2 } , B D = B C = 2 , D C = 2 \sqrt { 3 }$ ，则其底面BCD的面积为体积为

5. 已知棱台上下底面均为有一个角是 $6 0 ^ { \circ }$ 的菱形，且上下底面边长分别为2和3，若该棱台的高为 $\sqrt { 3 }$ ，则该棱台的体积为（ )

5． 棱台上下底面均为有一个内角是 $60^{\circ}$ 的菱形，且上下底面边长分别为2和3，该棱台的高为 $\sqrt{3}$ ，则该棱台体积为

14. 一个底面半径为 $4 c m$ ，高为9cm的封闭圆柱形容器内有两个半径相等的铁球.则铁球半径的最大值为 cm

14．某科技兴趣小组用 3D 打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中 $A B C D E F$ 是一个平面多边形，平面 $A F R \perp$ 平面 $A B C$ ，平面 $C D T \perp$ 平面 $A B C, A B \perp B C, A B / / E F / / R S / / C D$ ，

$B C / / D E / / S T / / A F$ 。若 $A B=B C=8, A F=C D=4, R A=R F=T C=T D=\frac{5}{2}$ ，则该多面体的体积为
$\_\_\_\_$．

14． 一个底面半径为 4 cm ，高为 9 cm 的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 $\_\_\_\_$cm．

14.某科技兴趣小组通过3D打印机的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平行多边形,平面 ARF⊥平面 ABC,平面 TCD⊥平面ABC, AB⊥BC,AB∥RS∥EF∥CD,AF∥ST∥/$B C / / E D$ ,若 AB= BC= 8, AF= CD = 4, $A R = R F = T C = T D = \frac { 5 } { 2 }$ ，则该多面体的体积为

7．如图，在正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$B D=4 \sqrt{2}, D B_{1}=9$ ，则该正四棱柱的体积为 $\_\_\_\_$．

7. 如图，在正四棱柱 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 中， $B D = 4 \sqrt { 2 } , D B _ { 1 } = 9$ ，则该正四棱柱的体积为

14．已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ ，母线长分别为 $2\left(r_{2}-r_{1}\right)$ 和 $3\left(r_{2}-r_{1}\right)$ ，则两个圆台的体积之比 $\frac{V_{\text {甲 }}}{V_{乙}}=$ $\_\_\_\_$ ．

14．已知三个圆柱的体积为公比为 10 的等比数列．第一个圆柱的直径为 65 mm ，第二、三个圆柱的直径为 325 mm ，第三个圆柱的高为 230 mm ，求前两个圆柱的高度分别为 $\_\_\_\_$ ．

5．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 $\sqrt{3}$ ，则圆锥的体积为（）

7．已知正三棱台 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $\frac{52}{3}, A B=6, A_{1} B_{1}=2$ ，则 $A_{1} A$ 与平面 $A B C$ 所成角的正切值为

9．一个五面体 $A B C-D E F$ ．已知 $A D / / B E / / C F$ ，且两两之间距离为 1 ．并已知 $A D=1, B E=2, C F=3$ ．则该五面体的体积为（）

10．在三棱锥 $P-A B C$ 中，$\triangle A B C$ 是边长为 2 的等边三角形，$P A=P B=2, P C=\sqrt{6}$ ，则该棱锥的体积为（

14．在正四棱台 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A B=2, A_{1} B_{1}=1, A A_{1}=\sqrt{2}$ ，则该棱台的体积为 $\_\_\_\_$。

14．底面边长为 4 的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为 2 ，高为 3 的正四棱锥，所得棱台的体积为

3．如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为 1 ，则该零件的表面积为

3．如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为 1 ，则该零件的表面积为（）

8．在三棱锥 $P-A B C$ 中，线段 $P C$ 上的点 $M$ 满足 $P M=\frac{1}{3} P C$ ，线段 $P B$ 上的点 $N$ 满足 $P N=\frac{2}{3} P B$ ，则三棱锥 $P-A M N$ 和三棱锥 $P-A B C$ 的体积之比为

8．已知圆锥 $P O$ 的底面半径为 $\sqrt{3}, O$ 为底面圆心，$P A, P B$ 为圆锥的母线，$\angle A O B=120^{\circ}$ ，若 $\triangle P A B$ 的面积等于 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ ，则该圆锥的体积为

9．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美。如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形。若 $A B=25 \mathrm{~m}, B C=A D=10 \mathrm{~m}$ ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面 $A B C D$ 的夹角的正切值均为 $\frac{\sqrt{14}}{5}$ ，则该五面体的所有棱长之和为（ ）

10．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 $2 \pi$ ，侧面积分别为 $S_{\text {甲 }}$ 和 $S_{\text {乙 }}$ ，体积分别为 $V_{\text {甲 }}$ 和 $V_{\text {乙 }}$ ．若 $\frac{S_{\text {甲 }}}{S_{\text {乙 }}}=2$ ，则 $\frac{V_{\text {甲 }}}{V_{\text {乙 }}}=$（ ）

19．小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面 $A B C D$ 是边长为 8 （单位： cm ）的正方形，$\triangle E A B, \triangle F B C, \triangle G C D, \triangle H D A$ 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 $A B C D$ 垂直。

（1）证明：$E F / /$ 平面 $A B C D$ ；
（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．

4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为 1 ，则该多面体的体积为

4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为 1 ，则该多面体的体积为

4．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库。已知该水库水位为海拔 148.5 m 时，相应水面的面积为 $140.0 \mathrm{~km}^{2}$ ；水位为海拔 157.5 m 时，相应水面的面积为 $180.0 \mathrm{~km}^{2}$ ，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 148.5 m 上升到 157.5 m 时，增加的水量约为 $(\sqrt{7} \approx 2.65) ~()$

5．某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的体积（单位： $\mathrm{cm}^{3}$ ）是（）

9．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 $2 \pi$ ，侧面积分别为 $S_{\text {甲 }}$ 和 $S_{\text {乙，体积分别为 }} V_{\text {甲和 } V_{\text {乙 }} \text { ．若 } \frac{S_{\text {甲 }}}{S_{\text {乙 }}}=2 \text { ，则 } \frac{V_{\text {甲 }}}{V_{\text {乙 }}}=}$

12．在正三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A B=A A_{1}=1$ ，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{B P}=\lambda \overrightarrow{B C}+\mu \overrightarrow{B B_{1}}$ ，其中 $\lambda \in[0,1]$ ， $\mu \in[0,1]$ ，则（ ）

14．已知一个圆锥的底面半径为 6 ，其体积为 $30 \pi$ 则该圆锥的侧面积为

3．已知圆柱的底面半径为 1 ，高为 2 ，则圆柱的侧面积为 $\_\_\_\_$ $4 \pi$ $\_\_\_\_$ ．
【思路分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可。

3．已知圆锥的底面半径为 $\sqrt{2}$ ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）

4．某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）

4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

正视图

侧视图

俯视图

6.

两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 $\frac{32 \pi}{3}$ ，两个圆锥的高之比为 $1: 3$ ，则这两个圆锥的体积之和为（ ）

8．定义： 24 小时内降水在平地上积水厚度（ mm ）来判断降雨程度．其中小雨（ {{QUESTIONS_HTML}}lt;10 \mathrm{~mm}$ ），中雨 $10 \mathrm{~mm}-25 \mathrm{~mm}$ ），大雨（ $25 \mathrm{~mm}-50 \mathrm{~mm}$ ），暴雨（ $50 \mathrm{~mm}-100 \mathrm{~mm}$ ），小明用一个圆锥形容器接了 24 小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）

14．已知圆锥展开图的侧面积为 $2 \pi$ ，且为半圆，则底面半径为 $\_\_\_\_$ 1 ．

17．已知四棱锥 $P-A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形，边长为 $3, P D \perp$ 平面 $A B C D$ ．
（1）若 $P C=5$ ，求四棱锥 $P-A B C D$ 的体积；
（2）若直线 $A D$ 与 $B P$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，求 $P D$ 的长．

19．如图，$D$ 为圆锥的顶点，$O$ 是圆锥底面的圆心，$\triangle A B C$ 是底面的内接正三角形，$P$ 为 $D O$ 上一点，$\angle A P C=90^{\circ}$ ．

（1）证明：平面 $P A B \perp$ 平面 $P A C$ ；
（2）设 $D O=\sqrt{2}$ ，圆锥的侧面积为 $\sqrt{3} \pi$ ，求三棱锥 $P-A B C$ 的体积．

3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为

4．某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为 ．

正（主）视图

侧（左）视图

俯视图

5．某几何体的三视图（单位： cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位： $\mathrm{cm}^{3}$ ）是（）

主视图

侧视图

俯视图

8．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）

9．如图，六角螺帽毛坏是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为 2 cm ，高为 2 cm ，内孔半轻为 0.5 cm ，则此六角螺帽毛坏的体积是 $\_\_\_\_$ cm．

11．（5 分）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为 1 ，那么该几何体的体积为 $\_\_\_\_$ 40 ．

12．（5 分）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为 1 ，那么该几何体的体积为 $\_\_\_\_$ 40 ．

12．已知四棱锥的底面是边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形，侧棱长均为 $\sqrt{5}$ ．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 $\_\_\_\_$ ．

16．学生到工厂劳动实践，利用 $3 D$ 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 挖去四棱锥 $O-E F G H$ 后所得的几何体，其中 $O$ 为长方体的中心， $E, F, G, H$ 分别为所在棱的中点，$A B=B C=6 \mathrm{~cm}, A A_{1}=4 \mathrm{~cm}, 3 D$ 打印所用原料密

度为 $0.9 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}$ ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 $\_\_\_\_$ $g$ ．

16．学生到工厂劳动实践，利用 $3 D$ 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 挖去四棱锥 $O-E F G H$ 后所得的几何体，其中 $O$ 为长方体的中心， $E, F, G, H$ 分别为所在棱的中点，$A B=B C=6 \mathrm{~cm}, A A_{1}=4 \mathrm{~cm}, 3 D$ 打印所用原料密度为 $0.9 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}$ ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 $\_\_\_\_$ $g$ ．

17．如图，正三棱锥 $P-A B C$ 中，侧棱长为 2 ，底面边长为 $\sqrt{3}, M , N$ 分别是 $P B$ 和 $B C$的中点。
（1）求异面直线 $M N$ 与 $A C$ 所成角的大小；
（2）求三棱锥 $P-A B C$ 的体积．

17．如图，长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是正方形，点 $E$ 在棱 $A A_{1}$ 上，$B E \perp E C_{1}$ ．

（1）证明：$B E \perp$ 平面 $E B_{1} C_{1}$ ；
（2）若 $A E=A_{1} E, A B=3$ ，求四棱锥 $E-B B_{1} C_{1} C$ 的体积．

4．祖晅是我国南北朝时代的伟大科学家。他提出的＂幂势既同，则积不容易＂称为祖晅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式 $V_{\text {柱体 }}=S h$ ，其中 $S$ 是柱体的底面积，是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是

正家国

9．如图，长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积是 $120, E$ 为 $C C_{1}$ 的中点，则三棱锥 $E-B C D$ 的体积是 －

10．如图所示，正方体的棱长为 2 ，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 $\_\_\_\_$ A ．

（第 10 题）

（11）如图，已知正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 1 ，则四棱柱 $A_{1}-B B_{1} D_{1} D$ 的体积为 $\_\_\_\_$ ．

第（11）题图

12．（5分）已知正方体的棱长为 1 ，每条棱所在直线与平面 $\alpha$ 所成的角都相等，则 $\alpha$ 截此正方体所得截面面积的最大值为（）

12．（5分）设 $A, B, C, D$ 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，$\triangle A B C$ 为等边三角形且面积为 $9 \sqrt{3}$ ，则三棱锥D -ABC 体积的最大值为（）

16．（5分）已知圆锥的顶点为 $S$ ，母线 $S A, S B$ 互相垂直，$S A$ 与圆锥底面所成角为 $30^{\circ}$ ．若 $\triangle S A B$ 的面积为 8 ，则该圆锥的体积为 $\_\_\_\_$ $8 \pi$ ．

3．（4 分）某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的体积（单位： $\mathrm{cm}^{3}$ ）是

正视图

侧视图

俯视图

5．（5分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为 $O_{1}, O_{2}$ ，过直线 $O_{1} O_{2}$ 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为

7．如图，在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\mathrm{AB}=3, \mathrm{BC}=4, A A_{1}=5, \mathrm{O}$ 是 $A_{1} C_{1}$ 的中点，则三棱锥 $A-A_{1} O B_{1}$的体积为 $\_\_\_\_$

（第7题）

9．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为 A ，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B ，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为
$A$

11．（6 分）（2016•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 $\mathrm{cm}^{2}$ ，体积是 $\_\_\_\_$ $\mathrm{cm}^{3}$ 。

正视图

侧视图

俯视图

13．（5分）由一个长方体和两个 $\frac{1}{4}$
圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 $\_\_\_\_$。

俯视图

侧视图（左视图）

14．（4分）（2016•浙江）如图，在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=2, \angle \mathrm{ABC}=120^{\circ}$ ．若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC 上的点 D ，满足 $\mathrm{PD}=\mathrm{DA}, ~ \mathrm{~PB}=\mathrm{BA}$ ，则四面体 PBCD 的体积的最大值是 $\_\_\_\_$。

15．（5分）长方体的长、宽、高分别为 $3,2,1$ ，其顶点都在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 的表面积为 $\_\_\_\_$ $14 \pi$ ．

3．（5 分）某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的体积（单位： $\mathrm{cm}^{2}$ ）是

俯视图

4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）

6．（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）

正（主）视图

俯视图

则（左）视图

6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为

6．（5 分）如图，在圆柱 $\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2}$ 内有一个球 O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱 $\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2}$ 的体积为 $\mathrm{V}_{1}$ ，球 O 的体积为 $\mathrm{V}_{2}$ ，则 $\frac{\mathrm{V}_{1}}{\mathrm{~V}_{2}}$ 的值是 $\_\_\_\_$ ．

7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2 ，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为

8．（5分）已知圆柱的高为 1 ，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）

11．（6 分）（2016•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的表面积是 $\mathrm{cm}^{2}$ ，体积是 $\_\_\_\_$ $\mathrm{cm}^{3}$ ．

正视图

侧视图

俯视图

11．（5 分）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为 $\_\_\_\_$ $\frac{3}{2}$ ．

俯视图

11．（5分）（2016•天津）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：$m$ ），则该四棱锥的体积为
$\_\_\_\_$ $\mathrm{m}^{3}$

正视图

俯视图

侧视图

12．已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积

俯视图

侧视图

13．已知三棱锥的四个面都是腰长为 2 的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 $\_\_\_\_$ ．

正视图

14．（4分）（2016•浙江）如图，在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=2, \angle \mathrm{ABC}=120^{\circ}$ ．若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC 上的点 D ，满足 $\mathrm{PD}=\mathrm{DA}, \mathrm{PB}=\mathrm{BA}$ ，则四面体 PBCD 的体积的最大值是 $\_\_\_\_$。

19．（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第一小题满分 6 分，第二小题满分 6 分．
将边长为 1 的正方形 $A A_{1} O_{1} O$（及其内部）绕的 $O O_{1}$ 旋转一周形成圆柱，如图，$\overparen{A C}$ 长为 $\frac{2}{3} \pi, \widehat{A_{1} B_{1}}$ 长为 $\frac{\pi}{3}$ ，其中 $B_{1}$ 与 $C$ 在平面 $A A_{1} O_{1} O$ 的同侧．
（1）求三棱锥 $C-O_{1} A_{1} B_{1}$ 的体积；
（2）求异面直线 $B_{1} C$ 与 $A A_{1}$ 所成的角的大小．

6．（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）

正视图

侧视图

俯视图

6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互

垂直的半径．若该几何体的体积是 $\frac{28 \pi}{3}$ ，则它的表面积是

6．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

7．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是 $\frac{28 \pi}{3}$ ，则它的表面积是

9．（6 分）（2016•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 $\_\_\_\_$ 80 $\mathrm{cm}^{2}$ ，体积是 $\_\_\_\_$ 40 $\mathrm{cm}^{3}$ ．

正视图

侧视图

俯视图

9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）

10、某工作的三视图如图 3 所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率＝新工件的体积／原工件的体积）
A、 $\frac{8 \pi}{9}$
B、 $\frac{8}{27 \pi}$
C $, \frac{24(\sqrt{2}-1)^{2}}{\pi}$
D、 $\frac{8(\sqrt{2}-1)^{2}}{\pi}$

正视图

侧视图

俯视图

11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 $\mathbf{r}$ ）组成一个几何体 ，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为 16 $+20 \pi$ ，则 $\mathrm{r}=$（ ）

正视图

俯视图

11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 $r$ ）组成一个几何体 ，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为 16 $+20 \pi$ ，则 $\mathrm{r}=$（ ）

正视图

俯视图

14、在三棱住 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$\angle B A C=90^{\circ}$，其正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是直角边长为 1 的等腰直角三角形，设点 $M, N, P$ 分别是 $A B, B C, B_{1} C_{1}$ 的中点，则三棱锥 $P-A_{1} M N$ 的体积是
$\_\_\_\_$．

19．（12分）如图，长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A B=16, B C=10, A A_{1}=8$ ，点 $E, F$分别在 $A_{1} B_{1}, D_{1} C_{1}$ 上，$A_{1} E=D_{1} F=4$ ．过 $E$ ，$F$ 的平面 $\alpha$ 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形
（I）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）
（II）求平面 $\alpha$ 把该长方体分成的两部分体积的比值．

20、（本小题满分 12 分，（I）小问 5 分，（II）小问 7 分）

如题（20）图，三棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABC}$ 中，平面 $\mathrm{PAC} \perp$ 平面 $\mathrm{ABC}, ~ \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$ ，点 $\mathrm{D} , \mathrm{E}$ 在线段 AC 上，且 $\mathrm{AD}=\mathrm{DE}=\mathrm{EC}=2, \mathrm{PD}=\mathrm{PC}=4$ ，点 F 在线段 AB 上，且 $\mathrm{EF} / / \mathrm{BC}$ ．
（ I ）证明： $\mathrm{AB} \perp$ 平面 PFE ．
（II）若四棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{DFBC}$ 的体积为 7 ，求线段 BC 的长．

4、若正三棱柱的所有棱长均为 $a$ ，且其体积为 $16 \sqrt{3}$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$。

5．（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）

正（主）视图

侧（左）视图

俯视图

5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

正视图

左视图

俦视图

題（5）图

5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

正视图

侧视图

俯视图

5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为

6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）

6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：＂今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问：积及为米几何？＂其意思为：＂在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？＂已

知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有

6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：＂今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问：积及为米几何？＂其意思为：＂在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？＂已知1斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3 ，估算出堆放的米约有

6、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 $2 \pi$ ，则其母线与轴的夹角的大小为 $\_\_\_\_$

6．若正三棱柱的所有棱长均为 $a$ ，且其体积为 $16 \sqrt{3}$ ，则 $a=$

9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于

9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为 5 ，高为 4 的圆锥和底面半径为 2 ，高为 8 的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 $\_\_\_\_$。

（13）
一个六棱锥的体积为 $2 \sqrt{3}$ ，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等 ，则该六棱锥的侧面积为 $\_\_\_\_$。

3．以边长为 1 的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于

4．某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（锥体体积公式：$V=\frac{1}{3} S h$，其中 $S$为底面面积，$h$ 为高）

5．将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为

6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为 1 （表示 1 cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3 cm ，高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）

6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为 1 （表示 1 cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3 cm ，高为 6 cm 的圆柱体毛坏切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坏体积的比值为

7．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为

7.

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

正衩園

左溗園

满根園

7．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为

（7）【2014年上海，文7，5分】若圆锥的侧面积是底面积的三倍，则其母线与轴所成的角大小为 $\_\_\_\_$。（结果用反三角函数值表示）

7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

正视齐

左嵊图

施杪图

7．（5分）正三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面边长为 2 ，侧棱长为 $\sqrt{3}$ ，$D$ 为 $B C$ 中点，则三棱锥 $\mathrm{A}-\mathrm{B}_{1} \mathrm{DC}_{1}$ 的体积为（ ）

8．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求＂盖＂的术：置如其周，令相承也。又以高乘之，三十六成一。该术相当于给出了有圆锥的底面周长 $L$ 与高 $h$ ，计算其体积 $V$ 的近似公式 $v \approx \frac{1}{36} L^{2} h$ ．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 $\pi$ 近似取为 3．那么近似公式 $v \approx \frac{2}{75} L^{2} h$ 相当于将圆锥体积公式中的 $\pi$ 近似取为（ ）

10．（5 分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为 $\_\_\_\_$ 3 ．

正（主）视图

侧（左）视图

俯视图

11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

（13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 $\_\_\_\_$．

15．（5分）已知 $H$ 是球 $O$ 的直径 $A B$ 上一点，$A H$ ：$H B=1: 2, A B \perp$ 平面 $\alpha, H$ 为垂足，$\alpha$ 截球 $O$ 所得截面的面积为 $\pi$ ，则球 $O$ 的表面积为 $\_\_\_\_$ $\frac{9 \pi}{2}$。

15．（4分）已知正四棱锥 $\mathrm{O}-\mathrm{ABCD}$ 的体积为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，底面边长为 $\sqrt{3}$ ，则以 O 为球心，$O A$ 为半径的球的表面积为 $\_\_\_\_$ $24 \pi$ ．

16．（5分）已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球 O 的半径， $\mathrm{OK}=\frac{3}{2}$ ，且圆 0 与圆 K 所在的平面所成角为 $60^{\circ}$ ，则球 O 的表面积等于 $16 \pi$

16．我国古代数学名著《数书九章》中有＂天池盆测雨＂题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水。天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸。若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 $\_\_\_\_$寸。
（注：（1）平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；（2）一尺等于十寸）

17．（本小题满分 12 分）
如图 2．在直棱柱 $\mathrm{ABC}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 中，$\angle \mathrm{BAC}=90^{\circ}, \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\sqrt{2}, \mathrm{AA}_{1}=3, \mathrm{D}$ 是 BC 的中点，点 E 在菱 $\mathrm{BB}_{1}$ 上运动。
（I）证明： $\mathrm{AD} \perp \mathrm{C}_{1} \mathrm{E}$；
（II）当异面直线 $\mathrm{AC}, \mathrm{C}_{1} \mathrm{E}$ 所成的角为 $60^{\circ}$ 时，求三棱锥 $\mathrm{C}_{1}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{E}$ 的体积

19、（本小题满分 12 分）

如图，在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C$ 中，侧棱 $A A_{1} \perp$ 底面 $A B C, A B=A C=2 A A_{1}=2$， $\angle B A C=120^{\circ}, D, D_{1}$ 分别是线段 $B C, B_{1} C_{1}$ 的中点，$P$是线段 $A D$ 上异于端点的点。
（I）在平面 $A B C$ 内，试作出过点 $P$ 与平面 $A_{1} B C$平行的直线 $l$，说明理由，并证明直线 $l \perp$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$；
（II）设（I）中的直线 $l$ 交 $A C$ 于点 $Q$，求三棱锥

$A_{1}-Q C_{1} D$ 的体积．（锥体体积公式：$V=\frac{1}{3} S h$，其中 $S$ 为底面面积，$h$ 为高）

19．（12分）如图，三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$C A=C B, A B=A A_{1}, ~ \angle B A A_{1}=60^{\circ}$
（I）证明： $\mathrm{AB} \perp \mathrm{A}_{1} \mathrm{C}$ ；
（II）若 $A B=C B=2, A_{1} C=\sqrt{6}$ ，求三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积．

20．（本小题满分 13 分）
如图，某地质队自水平地面 $A, B, C$ 三处垂直向地下钻探，自 $A$ 点向下钻到 $A_{1}$ 处发现矿藏，再继续下钻到 $A_{2}$ 处后下面已无矿，从而得到在 $A$ 处正下方的矿层厚度为 $A_{1} A_{2}=d_{1}$。同样可

得在 $B, C$ 处正下方的矿层厚度分别为 $B_{1} B_{2}=d_{2}, C_{1} C_{2}=d_{3}$，且 $d_{1}<d_{2}<d_{3}$．过 $A B, A C$的中点 $M, N$ 且与直线 $A A_{2}$ 平行的平面截多面体 $A_{1} B_{1} C_{1}-A_{2} B_{2} C_{2}$ 所得的截面 $D E F G$ 为该多面体的一个中截面，其面积记为 $S_{\text {中 }}$．
（I）证明：中截面 $D E F G$ 是梯形；
（II）在 $\triangle A B C$ 中，记 $B C=a, B C$ 边上的高为 $h$，面积为 $S$．在估测三角形 $A B C$ 区域内正下方的矿藏储量（即多面体 $A_{1} B_{1} C_{1}-A_{2} B_{2} C_{2}$ 的体积 $V$ ）时，可用近似公式 $V_{\text {估 }}=S_{\text {中 }} \cdot h$ 来估算．已知 $V=\frac{1}{3}\left(d_{1}+d_{2}+d_{3}\right) S$，试判断 $V_{\text {估 }}$ 与 $V$ 的大小关系，并加以证明．

第 20 题图

5．（5分）（2013•广东）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是

正视图

侧视图

俯视图

A 4
B $\frac{14}{3}$
C $\frac{16}{3}$
D 6

6．（2013广东，文6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 $\_\_\_\_$ ）．

正视图

侧视图

俯视图

6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm ，将

一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm ，如不计容器的厚度，则球的体积为（）

8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

10．（2012•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 $\_\_\_\_$ $\mathrm{m}^{3}$ ．

正视图

侧视图

（12）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 $\_\_\_\_$ ．

（14）如图，正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1, E, F$ 分别为线段 $A A_{1}, B_{1} C$ 上的点，则三棱锥 $D_{1}-E D F$ 的体积为 $\_\_\_\_$。

7．（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是

正（主）视图

侧（左）视图

7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）

7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）

7．（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）

正（主）视图

侧（左）视图

7．如图，在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A B=A D=3 \mathrm{~cm}, A A_{1}=2 \mathrm{~cm}, D_{1}$则四棱锥 $A-B B_{1} D_{1} D$ 的体积为 $\_\_\_\_$ A $\mathrm{cm}^{3}$ ．

（9）过抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点 F 的直线交该抛物线于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点， O 为坐标原点。若 $|A F|=3$ ，则 $\triangle \mathrm{AOB}$ 的面积为（ ）

10．一个几何体的三视图如图所示（单位：$m$ ），则该几何体的体积为 $\_\_\_\_$ $m^{3}$

5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是

5．（5分）（2011•陕西）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是

主视图

左视图

俯视图

（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 $\_\_\_\_$

俯视图

13．图3中的三个直角三角形是一个体积为 $20 \mathrm{~cm}^{3}$ 的几何体的三视图，则 $h=$ $\_\_\_\_$ cm ．

图3

（13）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线方程是 $y=\sqrt{3} x$ ，它的一个焦点与抛物线 $y^{2}=16 x$ 的焦点相同。则双曲线的方程为 $\_\_\_\_$。

16．如图，在三棱锥 $O-A B C$ 中，三条棱 $O A, O B, O C$ 两两垂直，且 $O A>O B>O C$ ，分别经过三条棱 $O A, O B, O C$ 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ ，则 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ 的大小关系为 $\_\_\_\_$。

8．（5分）（2010•北京）如图，正方体 $\mathrm{ABCD}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}$ 的棱长为 2 ，动点 $\mathrm{E} , \mathrm{~F}$ 在棱 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1}$上，动点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 分别在棱 $\mathrm{AD}, \mathrm{CD}$ 上，若 $\mathrm{EF}=1, \mathrm{~A}_{1} \mathrm{E}=\mathrm{x}, \mathrm{DQ}=\mathrm{y}, \mathrm{DP}=\mathrm{z} ~(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ 大于零），则四面体 PEFQ 的体积（ ）

10．（5分）（2009•陕西）若正方体的棱长为 $\sqrt{2}$ ，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（）

（11）正六棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABCDEF}$ 中， G 为 PB 的中点，则三棱锥 $\mathrm{D}-\mathrm{GAC}$ 与三棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{GAC}$ 体积之比为

11．（5分）（2009•陕西）若正方体的棱长为 $\sqrt{2}$ ，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为

12．（2009 浙江理 12）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 $c m^{3}$ ．

正视图

侧视图

14．体积为 8 的一个正方体，其全面积与球 $O$ 的表面积相等，则球 $O$ 的体积等于 $\_\_\_\_$。

（15）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。

则该几何体的体积为 $\_\_\_\_$ $m^{3}$

15．（4分）（2008 • 四川）已知正四棱柱的对角线的长为 $\sqrt{6}$ ，且对角线与底面所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则该正四棱柱的体积等于 2 ．

6．（5 分）（2008 • 山东）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是

俯视图 正（主）视图 侧（左）视图

6．（5 分）（2008•四川）一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为（）