（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)= k x+1…——2008 高考数学第 21 题答案解析

【解答】
解：（ I ）$f^{\prime}(x)=\frac{k\left(x^{2}+c\right)-2 x(k x+1)}{\left(x^{2}+c\right)^{2}}=\frac{-k x^{2}-2 x+c k}{\left(x^{2}+c\right)^{2}}$ ，由题意知 $f^{\prime}(-c)=0$ ，

即得 $c^{2} k-2 c-c k=0, ~(*) \because c \neq 0, \therefore k \neq 0$ ．
由 $f^{\prime}(x)=0$ 得 $-k x^{2}-2 x+c k=0$ ，

由韦达定理知另一个极值点为 $x=1$（或 $x=c-\frac{2}{k}$ ）．
（II）由（＊）式得 $k=\frac{2}{c-1}$ ，即 $c=1+\frac{2}{k}$ ．
当 $c>1$ 时，$k>0$ ；当 $0<c<1$ 时，$k<-2$ ．
（i）当 $k>0$ 时，$f(x)$ 在 $(-\infty,-c)$ 和 $(1,+\infty)$ 内是减函数，在 $(-c, 1)$ 内是增函数．
$\therefore M=f(1)=\frac{k+1}{c+1}=\frac{k}{2}>0$ ，
$m=f(-c)=\frac{-k c+1}{c^{2}+c}=\frac{-k^{2}}{2(k+2)}<0$,
由 $M-m=\frac{k}{2}+\frac{k^{2}}{2(k+2)} \geqslant 1$ 及 $k>0$ ，解得 $k \geqslant \sqrt{2}$ 。
（ii）当 $k<-2$ 时，$f(x)$ 在 $(-\infty,-c)$ 和 $(1,+\infty)$ 内是增函数，在 $(-c, 1)$ 内是减函数．
$\therefore M=f(-c)=\frac{-k^{2}}{2(k+2)}>0, \quad m=f(1)=\frac{k}{2}<0$
$M-m=\frac{-k^{2}}{2(k+2)}-\frac{k}{2}=1-\frac{(k+1)^{2}+1}{k+2} \geqslant 1$ 恒成立．
综上可知，所求 $k$ 的取值范围为 $(-\infty,-2) \cup[\sqrt{2},+\infty)$ ．