箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球,若有放回地取三次，则…——2026 高考数学第 13 题答案解析

【答案】 $\frac { 8 } { 2 7 } , \frac { 3 7 } { 6 4 }$

【解析】本题考查独立重复试验概率计算、条件概率与对立事件应用.

第一空:策略中1+2+3=6个球，其中黄球有2个

从6个球中取一个球，取不到黄球的概率 $P = { \frac { 6 - 2 } { 6 } } = { \frac { 4 } { 6 } } = { \frac { 2 } { 3 } }$ 有放回的取三次，相当于三次独立重复试验

∴三次都没有取到红球的概率 $P _ { 1 } = ( \frac { 2 } { 3 } ) ^ { 3 } = \frac { 8 } { 2 7 }$

第二空:设A:三次都没取到黄球.

B:三次至少取到一次红球. 第二空要求的是 $P ( B | A )$ ，先求 $P ( { \overline { { B } } } | A )$

在“没取到黄球”的条件下，只能取到红球或白球，共1+3=4个球.

单次取到红球概率 $\frac { 1 } { 4 } ,$ 单次取到白球的概率 $\frac { 3 } { 4 }$

$P ( { \overline { { B } } } | A$ 即三次都没取到黄球的前提下，三次都没取到红 $P ( { \overline { { B } } } | A ) = ( { \frac { 3 } { 4 } } ) ^ { 3 } = { \frac { 2 7 } { 6 4 } }$
所以 $P ( B | A ) = 1 - P ( \overline { { B } } | A ) = 1 - \frac { 2 7 } { 6 4 } = \frac { 3 7 } { 6 4 }$ 答案为 $\frac { 3 7 } { 1 6 4 }$
故答案为：第一空 $\frac { 8 } { 2 7 }$ ;第二空 $\frac { 3 7 } { 6 4 }$