（8） ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量 a ,…——2015 高考数学第 8 题答案解析

【答案】D
【解析】如图，

由题意， $\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}=(2 \vec{a}+\vec{b})-2 \vec{a}=\vec{b}$ ，则 $|\vec{b}|=2$ ，故 $A$ 错误；$|2 \vec{a}|=2|\vec{a}|=2$ ，所以 $|\vec{a}|=1$ ，又 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=2 \vec{a} \cdot(2 \vec{a}+\vec{b})=4|\vec{a}|^{2}+2 \vec{a} \vec{b}=2 \times 2 \cos 60^{\circ}=2$ ，所以 $\vec{a} \cdot \vec{b}=-1$ ，故 $B, C$ 错误；设 $B, C$ 中点为 $D$ ，则 $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{A D}$ ，且 $\overrightarrow{A D} \perp \overrightarrow{B C}$ ，而 $2 \overrightarrow{A D}=2 \vec{a}+(2 \vec{a}+\vec{b})=4 \vec{a}+\vec{b}$ ，所以 $(4 \vec{a}+\vec{b}) \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ ，故选 D ．

【考点定位】1．平面向量的线性运算；2．平面向量的数量积．
【名师点睛】平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点当出现线性运算问题时，注意两个向量的差 $\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{B A}$ ，这是一个易错点，两个向量的和 $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}=2 \overrightarrow{O D}$（ $D$ 点是 $A B$ 的中点）。另外，要选好基底向量，如本题就要灵活使用向量 $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$ ，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几何意义等