平面向量的数量积　·　历年高考数学真题与解析

10．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$|\overrightarrow{O A}|=|\overrightarrow{O B}|=\sqrt{2},|\overrightarrow{A B}|=2$ 。设 $C(3,4)$ ，则 $|2 \overrightarrow{C A}+\stackrel{\text { en }}{\text { AB }}|$ 的取值范围是

3．已知向量 $\vec{a}=(0,1), \vec{b}=(2, x)$ ，若 $\vec{b} \perp(\vec{b}-4 \vec{a})$ ，则 $x=$（ ）

3．已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1,|\vec{a}+2 \vec{b}|=2$ ，且 $(\vec{b}-2 \vec{a}) \perp \vec{b}$ ，则 $|\vec{b}|=$（）

5．已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，则＂$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=0$＂是＂$\vec{a}=\vec{b}$ 或 $\vec{a}=-\vec{b}$＂的（ ）条件。

9．已知向量 $\vec{a}=(x+1, x), \vec{b}=(x, 2)$ ，则（ ）

12．已知 $\odot O$ 的半径为 1 ，直线 $P A$ 与 $\odot O$ 相切于点 $A$ ，直线 $P B$ 与 $\odot O$ 交于 $B, C$ 两点，$D$ 为 $B C$ 的中点，若 $|P O|=\sqrt{2}$ ，则 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P D}$ 的最大值为（）

13．已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{3},|\vec{a}+\vec{b}|=|2 \vec{a}-\vec{b}|$ ，则 $|\vec{b}|=$

3．已知向量 $\vec{a}=(1,1), \vec{b}=(1,-1)$ ，若 $(\vec{a}+\lambda \vec{b}) \perp(\vec{a}+\mu \vec{b})$ ，则（）

3．已知向量 $\vec{a}=(3,1), \vec{b}=(2,2)$ ，则 $\cos \langle\vec{a}+\vec{b}, \vec{a}-\vec{b}\rangle=$（）

3．已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a}+\vec{b}=(2,3), \vec{a}-\vec{b}=(-2,1)$ ，则 $|\vec{a}|^{2}-|\vec{b}|^{2}=$（ ）

4．向量 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1,|\vec{c}|=\sqrt{2}$ ，且 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}$ ，则 $\cos \langle\vec{a}-\vec{c}, \vec{b}-\vec{c}\rangle=$（）

6．正方形 $A B C D$ 的边长是 $2, E$ 是 $A B$ 的中点，则 $\overrightarrow{E C} \cdot \overrightarrow{E D}=$

10．在 $\triangle A B C$ 中，$A C=3, B C=4, \angle C=90^{\circ} . P$ 为 $\triangle A B C$ 所在平面内的动点，且 $P C=1$ ，则 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}$ 的取值范围是（）

13．已知向量 $\vec{a}=(m, 3), \vec{b}=(1, m+1)$ ．若 $\vec{a} \perp \vec{b}$ ，则 $m=$ $\_\_\_\_$ ．

13．设向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，且 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=3$ ，则 $(2 \vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{b}=$ $\_\_\_\_$ ．

4．已知向量 $\overrightarrow{\boldsymbol{a}}=(3,4), \overrightarrow{\boldsymbol{b}}=(1,0), \overrightarrow{\boldsymbol{c}}=\overrightarrow{\boldsymbol{a}}+t \overrightarrow{\boldsymbol{b}}$ ，若 $\langle\overrightarrow{\boldsymbol{a}}, \overrightarrow{\boldsymbol{c}}\rangle=\langle\overrightarrow{\boldsymbol{b}}, \overrightarrow{\boldsymbol{c}}\rangle$ ，则 $t=$（ ）

10．已知 $O$ 为坐标原点，点 $P_{1}(\cos \alpha, \sin \alpha), P_{2}(\cos \beta,-\sin \beta), P_{3}(\cos (\alpha+\beta), \sin (\alpha+\beta))$ ， $A(1,0)$ ，则

13．若向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=3,|\vec{a}-\vec{b}|=5, \vec{a} \cdot \vec{b}=1$ ，则 $|\vec{b}|=$

13．$\vec{a}=(2,1), \vec{b}=(2,-1), \vec{c}=(0,1)$ ，则 $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{c}=$ $\_\_\_\_$ ；$\vec{a} \cdot \vec{b}=$ $\_\_\_\_$ ．

14．已知向量 $\vec{a}=(1,3), \vec{b}=(3,4)$ ，若 $(\vec{a}-\lambda \vec{b}) \perp \vec{b}$ ，则 $\lambda=$

15．已知向量 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0},|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=|\vec{c}|=2, \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}=$

15．在边长为 1 的等边三角形 $A B C$ 中，$D$ 为线段 $B C$ 上的动点，$D E \perp A B$ 且交 $A B$ 于点 $E$ ． $D F / / A B$ 且交 $A C$ 于点 $F$ ，则 $|2 \overrightarrow{B E}+\overrightarrow{D F}|$ 的值为 $\_\_\_\_$ ；$(\overrightarrow{D E}+\overrightarrow{D F}) \cdot \overrightarrow{D A}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$。

3．已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，则＂$\vec{a} \cdot \vec{c}=\vec{b} \cdot \vec{c}$＂是＂$\vec{a}=\vec{b}$＂的（ ）

13．已知单位向量 $a, b$ 的夹角为 $45^{\circ}, k a-b$ 与 $a$ 垂直，则 $k=$

14．设 $a, b$ 为单位向量，且 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=1$ ，则 $|a-b|=$

17．设 $\overrightarrow{\mathrm{e}_{1}}, \overrightarrow{\mathrm{e}_{2}}$ 为单位向量，满足 $\left|2 \overrightarrow{\mathrm{e}_{1}}-\overrightarrow{\mathrm{e}_{2}}\right| \leqslant \sqrt{2}, \overrightarrow{\mathrm{a}}=\overrightarrow{\mathrm{e}_{1}}+\overrightarrow{\mathrm{e}_{2}}, \overrightarrow{\mathrm{~b}}=3 \overrightarrow{\mathrm{e}_{1}}+\overrightarrow{\mathrm{e}_{2}}$ ，设 $\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}$的夹角为 $\theta$ ，则 $\cos ^{2} \theta$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ $\frac{28}{29}$ ．

5．已知单位向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，则在下列向量中，与 $\boldsymbol{b}$ 垂直的是

6．已知向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 满足 $|a|=5,|b|=6, a \cdot b=-6$ ，则 $\cos \langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\rangle=$（）

6．在平面内，$A, B$ 是两个定点，$C$ 是动点，若 $\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B C}=1$ ，则点 $C$ 的轨迹为（ ）

7．已知 $P$ 是边长为 2 的正六边形 $A B C D E F$ 内的一点，则 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{A B}$ 的取值范用是

7．已知 $P$ 是边长为2的正六边形 $A B C D E F$ 内的一点，则 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{A B}$ 的取值范用是（ ）

9．三角形 $A B C$ 中，$D$ 是 $B C$ 中点，$A B=2, B C=3, A C=4$ ，则 $A \vec{D} \cdot \vec{A} B$ $\_\_\_\_$

12．如图，在 $\triangle A B C$ 中，$D$ 是 $B C$ 的中点，$E$ 在边 $A B$ 上，$B E=2 E A, A D$ 与 $C E$ 交于点 $O$ ．若 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=6 \overrightarrow{A O} \cdot \overrightarrow{E C}$ ，则 $\frac{A B}{A C}$ 的值是 $\underline{\Delta}$ ．

13．已知向量 $\vec{a}=(2,2), \vec{b}=(-8,6)$ ，则 $\cos \langle\vec{a}, \vec{b}\rangle=$ $\_\_\_\_$ ．

13．已知 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 为单位向量，且 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0$ ，若 $\boldsymbol{c}=2 \boldsymbol{a}-\sqrt{5} \boldsymbol{b}$ ，则 $\cos \langle\vec{a}, \vec{c}\rangle=$

14．在四边形 $A B C D$ 中，$A D / / B C, A B=2 \sqrt{3}, A D=5, \angle A=30^{\circ}$ ，点 $E$ 在线段 $C B$ 的延长线上，且 $A E=B E$ ，则 $\overrightarrow{B D} \cdot \overrightarrow{A E}=$ $\_\_\_\_$ ．

三．

3．已知 $\overrightarrow{A B}=(2,3), \overrightarrow{A C}=(3, t), \overrightarrow{B C}=1$ ，则 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}=$

7．已知非零向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 满足 $|a|=2|b|$ ，且 $(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{b}$ ，则 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为

8．已知非零向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 满足 $|a|=2|b|$ ，且 $(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{b}$ ，则 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为

9．（5 分）已知向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}=(-4,3), \overrightarrow{\mathrm{b}}=(6, m)$ ，且 $\overrightarrow{\mathrm{a}} \perp \overrightarrow{\mathrm{b}}$ ，则 $m=$ $\_\_\_\_$ 8 ．

16．已知 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 为平面上的两个定点，且 $|\overrightarrow{A B}|=2$ ，该平面上的动线段 PQ 的端点 $\mathrm{P} , \mathrm{Q}$ ，满足 $|\overrightarrow{A P}| \leq 5$ ， $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{A B}=6, \overrightarrow{A Q}=-2 \overrightarrow{A P}$ ，则动线段 PQ 所形成图形的面积为

4．（5分）已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1, \vec{a} \cdot \vec{b}=-1$ ，则 $\vec{a} \bullet(2 \vec{a}-\vec{b})=$（ ）

4．（5分）已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1, \vec{a} \cdot \vec{b}=-1$ ，则 $\vec{a} \bullet(2 \vec{a}-\vec{b})=$（）

9．（5 分）设向量 $\vec{a}=(1,0), \vec{b}=(-1, m)$ ．若 $\vec{a} \perp(m \vec{a}-\vec{b})$ ，则 $m=$ $\_\_\_\_$ －1 ．

9．（4分）已知 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{e}$ 是平面向量，$\vec{e}$ 是单位向量．若非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{e}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$ ，向量 $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 满足 $\overrightarrow{\mathrm{b}}^{2}-4 \overrightarrow{\mathrm{e}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}+3=0$ ，则 $|\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}|$ 的最小值是（）

10．（5 分）如图，已知平面四边形 $A B C D, A B \perp B C, A B=B C=A D=2, C D=3, A C$与 BD 交于点 O ，记 $\mathrm{I}_{1}=\overrightarrow{\mathrm{OA}} \bullet \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \mathrm{I}_{2}=\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}, \mathrm{I}_{3}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}$ ，则（ ）

12．（5分）已知 $\triangle A B C$ 是边长为2的等边三角形，$P$ 为平面 $A B C$ 内一点，则 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}})$ 的最小值是

12．（5 分）已知点 P 在圆 $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=1$ 上，点 A 的坐标为 $(-2,0), \mathrm{O}$ 为原点，则 $\overrightarrow{\mathrm{AO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 6 ．

12．（5分）已知 $\overrightarrow{\mathrm{e}_{1}}, \overrightarrow{\mathrm{e}_{2}}$ 是互相垂直的单位向量，若 $\sqrt{3} \overrightarrow{\mathrm{e}_{1}}-\overrightarrow{\mathrm{e}_{2}}$与 $\overrightarrow{\mathrm{e}_{1}}+\lambda \overrightarrow{\mathrm{e}_{2}}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，则实数 $\lambda$ 的值是 $\_\_\_\_$ ．

13．（5分）已知向量 $\vec{a}=(-2,3), \vec{b}=(3, m)$ ，且 $\vec{a} \perp \vec{b}$ ，则 $m=$ $\_\_\_\_$ 2 ．

13．（5分）已知向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}$ 的夹角为 $60^{\circ},|\overrightarrow{\mathrm{a}}|=2,|\overrightarrow{\mathrm{~b}}|=1$ ，则 $|\overrightarrow{\mathrm{a}}+2 \overrightarrow{\mathrm{~b}}|=2 \sqrt{3}-$

13．（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中， $\mathrm{A}(-12,0), \mathrm{B}(0,6)$ ，点 P 在圆 O ： $x^{2}+y^{2}=50$ 上．若 $\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}} \leqslant 20$ ，则点 P 的横坐标的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

13．（5分）已知向量 $\vec{a}=(-1,2), \vec{b}=(m, 1)$ ，若向量 $\vec{a}+\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 垂直，则 $m =$ $\_\_\_\_$ 7。

14．（5分）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，$\angle \mathrm{A}=60^{\circ}, \mathrm{AB}=3, \mathrm{AC}=2$ ．若 $\overrightarrow{\mathrm{BD}}=2 \overrightarrow{\mathrm{DC}}, \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}(\lambda \in$

R），且 $\overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AE}}=-4$ ，则 $\lambda$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

15．（6 分）已知向量 $\vec{a} , \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2$ ，则 $|\vec{a}+\vec{b}|+|\vec{a}-\vec{b}|$ 的最小值是
$\_\_\_\_$ ，最大值是 $\_\_\_\_$ $2 \sqrt{5}$ ．

15．（4分）（2016•浙江）已知向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}},|\overrightarrow{\mathrm{a}}|=1,|\overrightarrow{\mathrm{~b}}|=2$ ，若对任意单位向量 $\overrightarrow{\mathrm{e}}$ ，均有 $|\overrightarrow{\mathrm{a}} \bullet \overrightarrow{\mathrm{e}}|+\mid \overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{e}} \mid \leq \sqrt{6}$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}$ 的最大值是 $\_\_\_\_$ ．

4．（5分）设非零向量 $\vec{a}$ ，鬲满足 $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|$ 则

6．（5分）设 $\vec{\pi}, \vec{n}$ 为非零向量，则＂存在负数 $\lambda$ ，使得 $\vec{\pi}=\lambda \vec{n}$＂是＂$\vec{\pi} \cdot \vec{n}<0$＂的（）

7．（5分）设 $\vec{\pi}, \vec{n}$ 为非零向量，则＂存在负数 $\lambda$ ，使得 $\vec{\pi}=\lambda \vec{n}$＂是＂$\vec{\pi} \bullet \vec{n}<0$＂的

10．在平面内，定点 $A, B, C, D$ 满足 $|\overrightarrow{D A}|=|\overrightarrow{D B}|=|\overrightarrow{D C}|, \overrightarrow{D A} \cdot \overrightarrow{D B}=\overrightarrow{D B} \cdot \overrightarrow{D C}=\overrightarrow{D C} \cdot \overrightarrow{D A}=-2$ ，动点 $P$ ， $M$ 满足 $|\overrightarrow{A P}|=1, \overrightarrow{P M}=\overrightarrow{M C}$ ，则 $|\overrightarrow{B M}|^{2}$ 的最大值是

12．在平面直角坐标系中，已知 $A(1,0), B(0,-$
1），$P$ 是曲线 $y=\sqrt{1-x^{2}}$ 上一个动点，则 $\overrightarrow{B P} \cdot \overrightarrow{B A}$ 的取值范围是

12．如图，已知点 $O(0,0), A(1.0), B(0,-1), P$ 是曲线 $y=\sqrt{1-x^{2}}$ 上一个动点，则 $O P \times B A$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

13．（5分）设向量 $\vec{a}=(m, 1), \vec{b}=(1,2)$ ，且 $|\vec{a}+\vec{b}|^{2}=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}$ ，则 $m=$

13．（5分）设向量 $\vec{a}=(x, x+1), \vec{b}=(1,2)$ ，且 $\vec{a} \perp \vec{b}$ ，则 $x=$ $\_\_\_\_$ $-\frac{2}{3}$ ．

13．（5分）（2016•江苏）如图，在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， D 是 BC 的中点， $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ 是 AD 上的两个三等分点， $\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}=4, \overrightarrow{\mathrm{BF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}=-1$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{BE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CE}}$ 的值是 $\_\_\_\_$。

15．（4分）（2016•浙江）已知向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}},|\overrightarrow{\mathrm{a}}|=1,|\overrightarrow{\mathrm{~b}}|=2$ ，若对任意单位向量 $\overrightarrow{\mathrm{e}}$ ，均有 $|\overrightarrow{\mathrm{a}} \bullet \overrightarrow{\mathrm{e}}|+\mid \overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{e}} \mid \leq \sqrt{6}$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}$ 的最大值是

3．（5分）已知向量 $\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ ，则 $\angle \mathrm{ABC}=$（）

3．（5分）已知向量 $\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ ，则 $\angle \mathrm{ABC}=$

3．（5分）已知向量 $\vec{a}=(1, m), \vec{b}=(3,-2)$ ，且 $(\vec{a}+\vec{b}) \perp \vec{b}$ ，则 $m=($

7．（5分）（2016 • 天津）已知 $\triangle \mathrm{ABC}$ 是边长为 1 的等边三角形，点 $\mathrm{D} , \mathrm{E}$ 分别是边 $\mathrm{AB} , \mathrm{BC}$的中点，连接 DE 并延长到点 F ，使得 $\mathrm{DE}=2 \mathrm{EF}$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ 的值为（）

7．（5分）（2016•天津）已知 $\triangle \mathrm{ABC}$ 是边长为 1 的等边三角形，点 $\mathrm{D} , \mathrm{E}$ 分别是边 $\mathrm{AB} , \mathrm{BC}$的中点，连接 DE 并延长到点 F ，使得 $\mathrm{DE}=2 \mathrm{EF}$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ 的值为（）

8．（5 分）（2016 • 山东）已知非零向量 $\vec{\Pi}, \vec{n}$ 满足 $4|\vec{\Pi}|=3|\vec{n}|, \cos <\vec{\Pi}, \vec{n}>=\frac{1}{3}$ 。若 $\vec{n} \perp (t \vec{\pi}+\vec{n})$ ，则实数 $t$ 的值为

9．（5 分）已知向量 $\vec{a}=(1, \sqrt{3}), \vec{b}=(\sqrt{3}, 1)$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的大小为一 $\frac{\pi}{6}$ —。

11．已知向量 $\overrightarrow{O A} \perp \overrightarrow{A B},|\overrightarrow{O A}|=3$ ，则 $\overrightarrow{O A} \bullet \overrightarrow{O B}=$

11．已知向量 $\overrightarrow{O A} \perp \overrightarrow{A B},|\overrightarrow{O A}|=3$ ，则 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=$

13．已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $\vec{a} \perp \vec{b}$，且 $\{|\vec{a}|,|\vec{b}|,|\vec{c}|\}=\{1,2,3\}$，则 $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|$ 的最大值是 $\_\_\_\_$．

14、在锐角三角形 ABC 中， $\tan \mathrm{A}=\frac{1}{2}, \mathrm{D}$ 为边 BC 上的点，$\triangle \mathrm{ABD}$ 与 $\triangle \mathrm{ACD}$ 的面积分别为 2 和 4 。过 D 作 $\mathrm{DE} \perp \mathrm{AB}$ 于 $\mathrm{E}, ~ \mathrm{DF} \perp \mathrm{AC}$ 于 F ，则 $\overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DF}}=$ $\_\_\_\_$ ．

4．（5分）$\vec{a}=(1,-1), \vec{b}=(-1,2)$ 则 $(2 \vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{a}=()$

6．若非零向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 满足 $|\boldsymbol{a}|=\frac{2 \sqrt{2}}{3}|\boldsymbol{b}|$ ，且 $(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) \perp(\mathbf{3} \boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b})$ ，则 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为

6．（5分）设 $\vec{a}, \vec{b}$ 是非零向量，＂$\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|$＂是＂$\vec{a} / / \vec{b}$＂的（）

7．设四边形 ABCD 为平行四边形，$|\overrightarrow{A B}|=6,|\overrightarrow{A D}|=4$ 。若点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 满足 $\overrightarrow{B M}=3 \overrightarrow{M C}, \overrightarrow{D N}=2 \overrightarrow{N C}$ ，则 $\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{N M}=$

7．对任意向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，下列关系式中不恒成立的是

7．已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{b}|=4|\vec{a}|$ ，且 $\vec{a} \perp(2 \vec{a}+\vec{b})$ 则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为

7．设 $\vec{a}=(1,2), \vec{b}=(1,1), \vec{c}=\vec{a}+k \vec{b}$ ．若 $\vec{b} \perp \vec{c}$ ，则实数 $k$ 的值等于

（8）$\triangle \mathrm{ABC}$ 是边长为2的等边三角形，已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=2 \vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}=2 \vec{a}+\vec{b}$ ，则下列结论正确的是（ ）

8．对任意向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，下列关系式中不恒成立的是（ ）

9．已知 $\overrightarrow{A B} \perp \overrightarrow{A C},|\overrightarrow{A B}|=\frac{1}{t},|\overrightarrow{A C}|=t$ ，若 $P$ 点是 $\triangle A B C$ 所在平面内一点，且 $\overrightarrow{A P}=\frac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}|}+\frac{4 \overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A C}|}$ ，则 $\overrightarrow{P B} \cdot \overrightarrow{P C}$ 的最大值等于

11．设向量 $\mathbf{a}=(3,3), \quad \mathbf{b}=(1,-1)$，若 $(\mathbf{a}+\lambda \mathbf{b}) \perp(\mathbf{a}-\lambda \mathbf{b})$，则实数 $\lambda=$ $\_\_\_\_$．

12．若向量 $\overrightarrow{O A}=(1,-3),|\overrightarrow{O A}|=|\overrightarrow{O B}|, \overrightarrow{O A} \bullet \overrightarrow{O B}=0$ ，则 $|\overrightarrow{A B}|=$ $\_\_\_\_$ ．

12．已知单位向量 $\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}$ 的夹角为 $\alpha$ ，且 $\cos \alpha=\frac{1}{3}$ ，若向量 $\vec{a}=3 \vec{e}_{1}-2 \vec{e}_{2}$ ，则 $|\vec{a}|=$ $\_\_\_\_$ ．

13．将函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)\left(\omega>0,-\frac{\pi}{2} \leq \varphi<\frac{\pi}{2}\right)$ 图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度得到 $y=\sin x$ 的图像，则 $f\left(\frac{\pi}{6}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

13．设 $0<\theta<\frac{\pi}{2}$ ，向量 $\vec{a}=(\sin 2 \theta, \cos \theta), \vec{b}(\cos \theta, 1)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\tan \theta=$ $\_\_\_\_$ ．

13．设 $0<\theta<\frac{\pi}{2}$ ，向量 $\vec{a}=(\sin 2 \theta, \cos \theta), \vec{b}=(1,-\cos \theta)$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$ ，则 $\tan \theta=$ $\_\_\_\_$ ．

14．平面向量 $\vec{a}=(1,2), \vec{b}=(4,2), \vec{c}=m \vec{a}+\vec{b} \quad(m \in R)$ ，且 $\vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角等于 $\vec{c}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角，则 $m=$ $\_\_\_\_$ ．

15．（5分）已知 $A, B, C$ 为圆 $O$ 上的三点，若 $\overrightarrow{A O}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})$ ，则 $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{A C}$ 的夹角为 $\_\_\_\_$ $90^{\circ}$ ．

（17）【2014年上海，文 17 ， 5 分】如图，四个边长为 1 的小正方形排成一个大正方形， $A B$ 是大正方形的一条边，$P_{i}(i=1,2,3, \cdots, 7)$ 是小正方形的其余顶点，则 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A P}_{i}(i=1,2, \cdots, 7)$ 的不同值的个数为

3．（5分）设向量 $\vec{a}$ ，$\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{10}$ ，$|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{6}$ ，则 $\vec{a} \bullet \vec{b}=$

4．（5分）设向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ ， $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 满足 $|\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}|=\sqrt{10}$ ，$|\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}|=\sqrt{6}$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{a}} \bullet \overrightarrow{\mathrm{b}}=$

4．（5分）若向量 $\vec{a} , \vec{b}$ 满足：$|\vec{a}|=1,(\vec{a}+\vec{b}) \perp \vec{a},(2 \vec{a}+\vec{b}) \perp \vec{b}$ ，则 $|\vec{b}|=($

4．已知向量 $\vec{a}=(k, 3), \vec{b}=(1,4), \vec{c}=(2,1)$ ，且 $(2 \vec{a}-3 \vec{b}) \perp \vec{c}$ ，则实数 $k=$（ ）

5．设 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是非零向量，已知命题 $\mathrm{P}:$ 若 $\vec{a} \cdot \vec{b}=0, \vec{b} \cdot \vec{c}=0$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{c}=0$ ；命题 $\mathrm{q}: ~$ 若 $\vec{a} / / \vec{b}, \vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ ，则下列命题中真命题是

5．设 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是非零向量，已知命题 $P$ ：若 $\vec{a} \bullet \vec{b}=0, \vec{b} \bullet \vec{c}=0$ ，则 $\vec{a} \bullet \vec{c}=0$ ；命题 $q$ ：若 $\vec{a} / / \vec{b}, \vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ ，则下列命题中真命题是

6．（5分）已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 为单位向量，其夹角为 $60^{\circ}$ ，则 $(2 \vec{a}-\vec{b}) \cdot \vec{b}=$（）

7．平面向量 $\vec{a}=(1,2), \vec{b}=(4,2), \vec{c}=m \vec{a}+\vec{b}(m \in R)$ ，且 $\vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角等于 $\vec{c}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角，则 $m=$（）

（7）已知向量 $\vec{a}=(1, \sqrt{3}), \vec{b}=(3, m)$ ．若向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{6}$ ，则实数 $m=$

（9）已知点 $O(0,0), A(0, b), B\left(a, a^{3}\right)$。若 $\Delta \mathrm{ABC}$ 为直角三角形，则必有

（9）已知点 $O(0,0), A(0, b), B\left(a, a^{3}\right)$．若 $\Delta \mathrm{ABC}$ 为直角三角形，则必有

10．在四边形 $A B C D$ 中， $\overrightarrow{A C}=(1,2), \overrightarrow{B D}=(-4,2)$，则该四边形的面积为

（13）若非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=3|\vec{b}|=|\vec{a}+2 \vec{b}|$，则 $\vec{a}, \vec{b}$ 夹角的余弦值为 $\_\_\_\_$．

15、已知向量 $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{A C}$ 的夹角为 $120^{\circ}$ ，
且 $\overrightarrow{A B}=3, \overrightarrow{A C}=2$ ．若 $\overrightarrow{A P}=\lambda \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}$ ，且 $\overrightarrow{A P} \perp \overrightarrow{B C}$ ，则实数 $\lambda$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

3．（5分）已知向量 $\vec{\Pi}=(\lambda+1,1), \vec{n}=(\lambda+2,2)$ ，若 $(\vec{\Pi}+\vec{n}) \perp(\vec{\Pi}-\vec{n})$ ，则 $\lambda=$（ ）

3．（5分）已知向量 $\vec{\pi}=(\lambda+1,1), \vec{n}=(\lambda+2,2)$ ，若 $(\vec{\pi}+\vec{n}) \perp(\vec{\pi}-\vec{n})$ ，则 $\lambda=$（ ）

6．已知 $a, b$ 是单位向量，$a \cdot b=0$．若向量 $c$ 满足 $|c-a-b|=1$，则 $|c|$ 的取值范围是

6．已知点 $\mathrm{A}(-1,1), \mathrm{~B}(1,2), \mathrm{C}(-2,1), \mathrm{D}(3,4)$，则向量 $\overrightarrow{A B}$ 和 $\overrightarrow{C D}$ 方向上的投影为

7．已知点 $A(-1,1), B(1,2), C(-2,-1), D(3,4)$，则向量 $\overrightarrow{A B}$ 在 $\overrightarrow{C D}$ 方向上的投影为

7．在四边形 $A B C D$ 中， $\overrightarrow{A C}=(1,2), \overrightarrow{B D}=(-4,2)$，则该四边形的面积为

8．已知 $a, b$ 是单位向量，$a \cdot b=0$．若向量 $c$ 满足 $|c-a-b|=1$，则 $|c|$ 的最大值为

（11）若 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x \geq 0 \\ x+2 y \geq 3 \\ 2 x+y \leq 3\end{array}\right.$ ，则 $x-y$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$。

（11）设向量 $a=(1,2 m), b=(m+1,1), c=(2, m)$ ．若 $(a+c) \perp b$ ，则 $|a|=$
$b$ ，则 $|a|=$ $\_\_\_\_$ ．

13．（5分）已知向量 $\vec{a}$ ，$\vec{b}$ 夹角为 $45^{\circ}$ ，且 $|\vec{a}|=1,|2 \vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{10}$ ，则 $|\vec{b}|=\underline{3}$ 근 ．

13．（5 分）已知正方形 ABCD 的边长为 1 ，点 E 是 AB 边上的动点．则 $\overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}$ 的值为 $\_\_\_\_$ 1 ．

13．已知向量 $\vec{a}=(1,0), \vec{b}=(1,1)$ ，则
（I）与 $2 \vec{a}+\vec{b}$ 同向的单位向量的坐标表示为 $\_\_\_\_$ ；
（．II ）向量 $\vec{b}-3 \vec{a}$ 与向量 $\vec{a}$ 夹角的余弦值为 $\_\_\_\_$。

13．（5 分）已知正方形 ABCD 的边长为 1 ，点 E 是 AB 边上的动点．则 $\overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}$ 的值为 $\_\_\_\_$ 1。

15．（5分）已知向量 $\vec{a}$ ，$\vec{b}$ 夹角为 $45^{\circ}$ ，且 $|\vec{a}|=1,|2 \vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{10}$ ，则 $|\vec{b}|=\underline{3}$
$\_\_\_\_$
$\underline{\sqrt{2}}$。

15．在 $\triangle A B C$ 中，$M$ 是 $B C$ 的中点，$A M=3, B C=10$ ，则 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}=$

15．如图 4，在平行四边形 $A B C D$ 中，$A P^{\wedge} B D$ ，垂足为 $P$ ，且 $A P=3$ ，则
$\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{A C}=$ $\_\_\_\_$ ．

图4

（6）设 $x \in R$ ，向量 $\vec{a}=(x, 1), \vec{b}=(1,-2)$ ，且 $\vec{a} \perp \vec{b}$ ，则 $|\vec{a}+\vec{b}|=$

9．如图，在矩形 $A B C D$ 中，$A B=\sqrt{2}, B C=2$ ，点 $E$ 为 $B C$ 的中点，点 $F$ 在边 $C D$ 上，若 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A F}=\sqrt{2}$ ，则 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{B F}$ 的值是 $\_\_\_\_$ ．

10．已知 $\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}$ 是夹角为 $\frac{2}{3} \pi$ 的两个单位向量，$\vec{a}=\overrightarrow{e_{1}}-2 \overrightarrow{e_{2}}, \vec{b}=k \overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$ ，则实数 $k$ 的值为 $\_\_\_\_$ A ．

10．（5分）已知 $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 均为单位向量，其夹角为 $\theta$ ，有下列四个命题 $\mathrm{p}_{1}:|\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}| >1 \Leftrightarrow \theta \in\left[0, \frac{2 \pi}{3}\right) ; P_{2}:|\vec{a}+\vec{b}|>1 \Leftrightarrow \theta \in\left(\frac{2 \pi}{3}, \pi\right] ; P_{3}:|\vec{a}-\vec{b}|>1 \Leftrightarrow \theta \in[ \left.0, \frac{\pi}{3}\right) ; P_{4}:|\vec{a}-\vec{b}|>1 \Leftrightarrow \theta \in\left(\frac{\pi}{3}, \pi\right]$ ；其中的真命题是（ ）

12．（5分）设向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}, \overrightarrow{\mathrm{c}}$ 满足 $|\overrightarrow{\mathrm{a}}|=|\overrightarrow{\mathrm{b}}|=1, \overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}=-\frac{1}{2},\langle\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{c}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}-\overrightarrow{\mathrm{c}}\rangle=6 0^{\circ}$ ，则 $|\overrightarrow{\mathrm{c}}|$ 的最大值等于（ ）

13．（5分）已知 $a$ 与 $b$ 为两个垂直的单位向量，$k$ 为实数，若向量 $\vec{a}+\vec{b}$ 与向量 $k \vec{a} -\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 垂直，则 $\mathrm{k}=$ $\_\_\_\_$ 1 ．

14．（5分）（2011•湖南）在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设 $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=2 \overrightarrow{\mathrm{BD}}, \overrightarrow{\mathrm{CA}}=3 \overrightarrow{\mathrm{CE}}$ 则
$\overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}=$ $\_\_\_\_$ ．

14、（2011•浙江）若平面向量 $\alpha$ ，$\beta$ 满足 $|\alpha|=1,|\beta| \leq 1$ ，且以向量 $\alpha, \beta$ 为邻边的平行四边形的面积为 $\frac{1}{2}$ ，则 $\alpha$ 和 $\beta$的夹角 $\theta$ 的范围是 $\left[30^{\circ}, 150^{\circ}\right]$

考点：数量积表示两个向量的夹角。
专题：计算题。
分析：根据平行四边形的面积，得到对角线分成的两个三角形的面积，利用正弦定理写出三角形面积的表示式，表示出要求角的正弦值，根据角的范围写出符合条件的角。

3．（5分）设向量 $\vec{a} , \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1, \vec{a} \bullet \vec{b}=-\frac{1}{2},|\vec{a}+2 \vec{b}|=$（）

11．（5分）已知圆 O 的半径为 $1, \mathrm{PA} , \mathrm{~PB}$ 为该圆的两条切线， $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 为两切点，那么 $\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$ 的最小值为（）

11．（5分）已知圆 O 的半径为 $1, \mathrm{PA} , \mathrm{~PB}$ 为该圆的两条切线， $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 为两切点，那么 $\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$ 的最小值为（）

13．已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2, \vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，则 $|\vec{a}-\vec{b}|=$ $\_\_\_\_$

6．若非零向量 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 满足 $|a|=|b|,(2 a+b) \cdot b=0$ ，则 a 与 b 的夹角为

7． $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ 是等腰直角 $\triangle \mathrm{ABC}$ 斜边 AB 上的三等分点，则 $\tan \angle E C F=$

（3）平面向量 a 与 b 的夹角为 $60^{0}, a=(2,0),|b|=1$ 则 $|a+2 b|=$

6．（5分）已知向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}=(2,1), \overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}=10,|\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}|=5 \sqrt{2}$ ，则 $|\overrightarrow{\mathrm{b}}|=$（ ）

6．（5分）已知向量 $\vec{a}=(2,1), \vec{a} \cdot \vec{b}=10,|\vec{a}+\vec{b}|=5 \sqrt{2}$ ，则 $|\vec{b}|=$（ ）

6．（5分）设 $\vec{a} , \vec{b} , \vec{c}$ 是单位向量，且 $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$ ，则 $(\vec{a}-\vec{c}) \bullet(\vec{b}-\vec{c})$ 的最小值为

7．（2009 浙江理 7）设向量 $\boldsymbol{a}, ~ \boldsymbol{b}$ 满足：$|\boldsymbol{a}|=3,|\boldsymbol{b}|=4, ~ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0$ 。以 $\boldsymbol{a}, ~ \boldsymbol{b}, ~ \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$ 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为（ ）．

8．（5分）设非零向量 $\vec{a} , \vec{b} , \vec{c}$ 满足 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|, \vec{a}+\vec{b}=\vec{c}$ ，则 {{QUESTIONS_HTML}}lt;\vec{a}, \vec{b}>=$（ ）

（11）已知向量 $a$ 与 $b$ 的夹角为 $120^{\circ}$ ，且 $|a|=|b|=4$ ，那么 $a \cdot b$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

13．直角坐标平面内三点 $A(1,2) , B(3,-2) , C(9,7)$ ，若 $E , F$ 为线段 $B C$ 的三等分点，则 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{A F}=$ $\_\_\_\_$。

14．如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $\overrightarrow{A C}=(1,2), \overrightarrow{B D}=(-3,2)$ ，则 $\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{A C}=$ $\_\_\_\_$ ．

（16）已知 $a$ 是平面内的单位向量，若向量 $b$ 满足 $b \cdot(a-b)=0$ ，则 $|b|$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$。

5．（5分）（2008•江苏）已知向量 和 的夹角为120°， ，则=　_________　．

7．在 $\triangle A B C$ 中， $\mathrm{AB}=3, \mathrm{AC}=2, \mathrm{BC}=\sqrt{10}$ ，则 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=$

（9）已知 $a, \mathrm{~b}$ 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 $c$ 满足 $(a-c) \cdot(b-c)=0$ ，则 $|c|$

的最大值是