平面向量的数量积　·　历年高考数学真题与解析

14．在边长为 1 的正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为线段 $C D$ 的三等分点，$C E=\frac{1}{2} D E, \stackrel{\operatorname{ur}}{B E}=\lambda B A+\mu B C$ ，则 $\lambda+\mu=$ $\_\_\_\_$ ；若 $F$ 为线段 $B E$ 上的动点，$G$ 为 $A F$ 中点，则 $\overrightarrow{A F} \cdot \overrightarrow{D G}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．

14．在 $\triangle A B C$ 中，$\angle A=60^{\circ}, B C=1$ ，点 $D$ 为 $A B$ 的中点，点 $E$ 为 $C D$ 的中点，若设 $\overrightarrow{A B}=\vec{a}, \overrightarrow{A C}=\vec{b}$ ，则 $\overrightarrow{A E}$ 可用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示为 $\_\_\_\_$ ；若 $\overrightarrow{B F}=\frac{1}{3} \overrightarrow{B C}$ ，则 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{A F}$ 的最大值为 $\_\_\_\_$。

16．已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ．点 A 在 $C$ 上，点 $B$ 在 $y$ 轴上， $\overrightarrow{F_{1} A} \perp \overrightarrow{F_{1} B}, \overrightarrow{F_{2} A}=-\frac{2}{3} \overrightarrow{F_{2} B}$ ，则 $C$ 的离心率为 $\_\_\_\_$。

21．已知直线 $x-2 y+1=0$ 与抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 交于 $A, B$ 两点，$|A B|=4 \sqrt{15}$ ．
（1）求 $p$ ；
②设 $F$ 为 $C$ 的焦点，$M, N$ 为 $C$ 上两点，且 $\overrightarrow{F M} \cdot \overrightarrow{F N}=0$ ，求 $\triangle M F N$ 面积的最小值．

3．已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a}+\vec{b}=(2,3), \vec{a}-\vec{b}=(-2,1)$ ，则 $|\vec{a}|^{2}-|\vec{b}|^{2}=$（ ）

6．正方形 $A B C D$ 的边长是 $2, E$ 是 $A B$ 的中点，则 $\overrightarrow{E C} \cdot \overrightarrow{E D}=$

10．已知 $O$ 为坐标原点，过抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 焦点 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，其中 $A$ 在第一象限，点 $M(p, 0)$ ，若 $|A F|=|A M|$ ，则（ ）

10．在 $\triangle A B C$ 中，$A C=3, B C=4, \angle C=90^{\circ} . P$ 为 $\triangle A B C$ 所在平面内的动点，且 $P C=1$ ，则 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}$ 的取值范围是（）

11．已知随圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{1}{3}, A_{1}, A_{2}$ 分别为 $C$ 的左、右顶点，$B$ 为 $C$ 的上顶点．若 $\overrightarrow{B A_{1}} \cdot \overrightarrow{B A_{2}}=-1$ ，则 $C$ 的方程为

13．设向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，且 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=3$ ，则 $(2 \vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{b}=$ $\_\_\_\_$ ．

15．在边长为 1 的等边三角形 $A B C$ 中，$D$ 为线段 $B C$ 上的动点，$D E \perp A B$ 且交 $A B$ 于点 $E$ ． $D F / / A B$ 且交 $A C$ 于点 $F$ ，则 $|2 \overrightarrow{B E}+\overrightarrow{D F}|$ 的值为 $\_\_\_\_$ ；$(\overrightarrow{D E}+\overrightarrow{D F}) \cdot \overrightarrow{D A}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$。

13．已知正方形 $A B C D$ 的边长为 2 ，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{A P}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})$ ，则 $|\overrightarrow{P D}|=$ $\_\_\_\_$ ；
$\overrightarrow{P B} \cdot \overrightarrow{P D}=$ $\_\_\_\_$。

18．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $E: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $A$ 在椭圆 $E$ 上且在第一象限内，$A F_{2} \perp F_{1} F_{2}$ ，直线 $A F_{1}$ 与椭圆 $E$ 相交于另一点 $B$ ．

（1）求 $\triangle A F_{1} F_{2}$ 的周长；
（2）在 $x$ 轴上任取一点 $P$ ，直线 $A P$ 与椭圆 $E$ 的右准线相交于点 $Q$ ，求 $\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{Q P}$ 的最小值；
（3）设点 $M$ 在椭圆 $E$ 上，记 $\triangle O A B$ 与 $\triangle M A B$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，若 $S_{2}=3 S_{1}$ ，求点 $M$ 的坐标．

11．已知 $P$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$ 上任意一点，$Q$ 与 $P$ 关于 $x$ 轴
对称，$F_{1} , F_{2}$ 为椭圆的左右焦点，若有 $\overrightarrow{F_{1} P} \cdot \overrightarrow{F_{2} P} \leq 1$ ，则向量 $\overrightarrow{F_{1} P}$ 与 $\overrightarrow{F_{2} Q}$ 的夹角范围为 $\_\_\_\_$

9．（5 分）设向量 $\vec{a}=(1,0), \vec{b}=(-1, m)$ ．若 $\vec{a} \perp(m \vec{a}-\vec{b})$ ，则 $m=$ $\_\_\_\_$ －1 ．

9．（4分）已知 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{e}$ 是平面向量，$\vec{e}$ 是单位向量．若非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{e}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$ ，向量 $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 满足 $\overrightarrow{\mathrm{b}}^{2}-4 \overrightarrow{\mathrm{e}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}+3=0$ ，则 $|\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}|$ 的最小值是（）

21．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$，直线 $l$ 过 $F_{2}$ 且与双曲线交于
$A, B$ 两点．
（1）若 $l$ 的倾斜角为 $\frac{\pi}{2}, \Delta F_{1} A B$ 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
②设 $b=\sqrt{3}$，若 $l$ 的斜率存在，且 $\left(\overrightarrow{F_{1} A}+\overrightarrow{F_{1} B}\right) \cdot \overrightarrow{A B}=0$，求 $l$ 的斜率．

16．（本小题满分 12 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 $\boldsymbol{m}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right), \boldsymbol{n}=(\sin \mathrm{x}, \cos \mathrm{x}), \mathrm{x} \in(0$ ，

$\frac{\pi}{2}$ ）。
（1）若 $\boldsymbol{m} \perp \boldsymbol{n}$ ，求 $\tan \mathrm{x}$ 的值（2）若 $\boldsymbol{m}$ 与 $\boldsymbol{n}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$ ，求 x 的值。

## 17．（本小题满分12分）

某工厂 36 名工人的年龄数据如下表。

（1）用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为 44 ，列出样本的年龄数据；
（2）计算（1）中样本的平均值 $\bar{x}$ 和方差 $s^{2}$ ；
（3）36名工人中年龄在 $\bar{x}-s$ 与 $\bar{x}+s$ 之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到 $0.01 \%$ ）？

## 18．（本小题满分 14 分）

如图2，三角形 $P D C$ 所在的平面与长方形 $A B C D$ 所在的平面垂直，$P D=P C=4$ ， $A B=6, B C=3$ ．点 $E$ 是 $C D$ 边的中点，点 $F, G$ 分别在线段 $A B, B C$ 上，且 $A F=2 F B$ ， $C G=2 G B$ ．
（1）证明：$P E \perp F G$ ；
（2）求二面角 $P-A D-C$ 的正切值；
（3）求直线 $P A$ 与直线 $F G$ 所成角的余弦值．

图2

## 19．（本小题满分 14 分）

设 $\mathrm{a}>1$ ，函数 $f(x)=\left(1+x^{2}\right) e^{x}-a$ 。
（1）求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）证明：$f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上仅有一个零点；
（3）
若曲线 $y=f(x)$ 在点 $P$ 处的切线与 $x$ 轴平行，且在点 $M(m, n)$ 处的切线与直线 $O P$ 平行（ $O$ 是坐标原点），证明：$m \leq \sqrt[3]{a-\frac{2}{e}}-1$

## 20．（本小题满分 14 分）

已知过原点的动直线 $l$ 与圆 $C_{1}: x^{2}+y^{2}-6 x+5=0$ 相交于不同的两点 $A, B$ ．
（1）求圆 $C_{1}$ 的圆心坐标；
（2）求线段 $A B$ 的中点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；
（3）是否存在实数 $k$ ，使得直线 $L: y=k(x-4)$ 与曲线 $C$ 只有一个交点：若存在，求出 $k$ 的取值范围；若不存在，说明理由．

20．（12分）已知过点 $A(0,1)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与圆 $C:(x-2)^{2}+(y-3) { }^{2}=1$ 交于点 $M , N$ 两点。
（1）求 $k$ 的取值范围；
（2）若 $\overrightarrow{\mathrm{OM}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ON}}=12$ ，其中 O 为坐标原点，求 $|\mathrm{MN}|$ ．

10．已知 $F$ 是抛物线 $y^{2}=x$ 的焦点，点 $A, B$ 在该抛物线上且位于 $x$ 轴的两侧， $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=2$（其中 $O$ 为坐标原点），则 $\triangle A B O$ 与 $\triangle A F O$ 面积之和的最小值是（

12．（5分）已知抛物线 $C$ ：$y^{2}=8 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $M(-2,2)$ ，过点 $F$ 且斜率为 $k$的直线与 $C$ 交于 $A$ ，$B$ 两点，若 $\overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}=0$ ，则 $k=$

11．（5分）已知圆 O 的半径为 $1, \mathrm{PA} , \mathrm{~PB}$ 为该圆的两条切线， $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 为两切点，那么 $\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$ 的最小值为（）

（20）（本小题满分 12 分）
已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率 $e=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4 。
（1）求椭圆的方程；
②设直线 $l$ 与椭圆相交于不同的两点 $A, B$ ，已知点 $A$ 的坐标为 $(-a, 0)$ ，点 $Q\left(0, y_{0}\right)$ 在线段 $A B$ 的垂直平分线上，且 $\overrightarrow{Q A} \cdot \overrightarrow{Q B}=4$ ，求 $y_{0}$ 的值

21．（12分）已知抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $K(-1,0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A , B$ 两点，点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $D$ ．
（ I ）证明：点 F 在直线 BD 上；
（II）设 $\overrightarrow{F A} \cdot \overrightarrow{F B}=\frac{8}{9}$ ，求 $\triangle B D K$ 的内切圆 $M$ 的方程．

22．（12分）已知抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $K(-1,0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A , B$ 两点，点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $D$ ．
（I）证明：点 F 在直线 BD 上；
（II）设 $\overrightarrow{F A} \cdot \overrightarrow{F B}=\frac{8}{9}$ ，求 $\triangle B D K$ 的内切圆 $M$ 的方程．

7．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，其一条渐近线方程为 $y=x$ ，点 $P\left(\sqrt{3}, y_{0}\right)$ 在该双曲线上，则 $\overrightarrow{P F_{1}} \bullet \overrightarrow{P F_{2}}=$
A．-12
B．-2
C ． 0
D． 4

21．（12分）（2008•陕西）已知抛物线C：$y=2 x^{2}$ ，直线 $y=k x+2$ 交C于A，B两点，M是线段 $A B$ 的中点，过 $M$作 x 轴的垂线交 C 于点 N 。
（I）证明：抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行；
（II）是否存在实数 k 使 $\overrightarrow{\mathrm{NA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{NB}}=0$ ，若存在，求 k 的值；若不存在，说明理由．

21．（12 分）（2008 • 四川）设椭圆 $\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1,(\{\mathrm{a}>\mathrm{b}>0\})$ 的左右焦点分别为 $\mathrm{F}_{1}, \mathrm{~F}_{2}$ ，离心率 $\mathrm{e}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，右准线为 $1, \mathrm{M}, \mathrm{N}$ 是 1 上的两个动点， $\overrightarrow{\mathrm{F}_{1} \mathrm{M}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{F}_{2} \mathrm{~N}}=0$
（I）若 $\left|\overrightarrow{F_{1} M}\right|=\left|\overrightarrow{F_{2} N}\right|=2 \sqrt{5}$ ，求 $a, b$ 的值；
（II）证明：当 $|\mathrm{MN}|$ 取最小值时， $\overrightarrow{\mathrm{F}_{1} \mathrm{M}}+\overrightarrow{\mathrm{F}_{2} \mathrm{~N}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{F}_{1} \mathrm{~F}_{2}}$ 共线．