设椭圆 C: x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b^ 2…——2024 高考数学第 20 题答案解析

【答案】①$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$
（2）证明见解析

## 【解析】

【分析】①设 $F(c, 0)$ ，根据 $M$ 的坐标及 $M F \perp x$ 轴可求基本量，故可求椭圆方程．
（2）设 $A B: y=k(x-4), A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，联立直线方程和椭圆方程，用 $A, B$ 的坐标表示 $y_{1}-y_{Q}$ ，结合韦达定理化简前者可得 $y_{1}-y_{Q}=0$ ，故可证 $A Q \perp y$ 轴．

## 【小问 1 详解】

设 $F(c, 0)$ ，由题设有 $c=1$ 且 $\frac{b^{2}}{a}=\frac{3}{2}$ ，故 $\frac{a^{2}-1}{a}=\frac{3}{2}$ ，故 $a=2$ ，故 $b=\sqrt{3}$ ，

故椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ ．

## 【小问 2 详解】

直线 $A B$ 的斜率必定存在，设 $A B: y=k(x-4), A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，

由 $\left\{\begin{array}{l}3 x^{2}+4 y^{2}=12 \\ y=k(x-4)\end{array}\right.$ 可得 $\left(3+4 k^{2}\right) x^{2}-32 k^{2} x+64 k^{2}-12=0$ ，
故 $\Delta=1024 k^{4}-4\left(3+4 k^{2}\right)\left(64 k^{2}-12\right)>0$ ，故 $-\frac{1}{2}又 $x_{1}+x_{2}=\frac{32 k^{2}}{3+4 k^{2}}, x_{1} x_{2}=\frac{64 k^{2}-12}{3+4 k^{2}}$ ，
而 $N\left(\frac{5}{2}, 0\right)$ ，故直线 $B N: y=\frac{y_{2}}{x_{2}-\frac{5}{2}}\left(x-\frac{5}{2}\right)$ ，故 $y_{Q}=\frac{-\frac{3}{2} y_{2}}{x_{2}-\frac{5}{2}}=\frac{-3 y_{2}}{2 x_{2}-5}$ ，
所以 $y_{1}-y_{Q}=y_{1}+\frac{3 y_{2}}{2 x_{2}-5}=\frac{y_{1} \times\left(2 x_{2}-5\right)+3 y_{2}}{2 x_{2}-5}$
$=\frac{k\left(x_{1}-4\right) \times\left(2 x_{2}-5\right)+3 k\left(x_{2}-4\right)}{2 x_{2}-5}$
$=k \frac{2 x_{1} x_{2}-5\left(x_{1}+x_{2}\right)+8}{2 x_{2}-5}=k \frac{2 \times \frac{64 k^{2}-12}{3+4 k^{2}}-5 \times \frac{32 k^{2}}{3+4 k^{2}}+8}{2 x_{2}-5}$
$=k \frac{\frac{128 k^{2}-24-160 k^{2}+24+32 k^{2}}{3+4 k^{2}}}{2 x_{2}-5}=0$,
故 $y_{1}=y_{Q}$ ，即 $A Q \perp y$ 轴。
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
①设直线方程，设交点坐标为 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ；
②联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 $x$（或 $y$ ）的一元二次方程，注意 $\Delta$ 的判断；
③列出韦达定理；
④将所求问题或题中的关系转化为 $x_{1}+x_{2} , x_{1} x_{2}$（或 $y_{1}+y_{2} , y_{1} y_{2}$ ）的形式；
⑤代入韦达定理求解．