直线与圆锥曲线的位置关系　·　历年高考数学真题与解析

12．$(x-1)^{2}+y^{2}=25$ 的圆心与抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点 $F$ 重合， A 为两曲线的交点，则原点到直线 $A F$ 的距离为 $\_\_\_\_$ ．

12．设双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} , F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作平行于 $y$ 轴的直线交 $\boldsymbol{C}$ 于 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$两点，若 $\left|F_{1} A\right|=13,|A B|=10$ ，则 $\boldsymbol{C}$ 的离心率为

13．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$ ，则过 $(3,0)$ 且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为 $\_\_\_\_$ ．

16．已知 $A(0,3)$ 和 $P\left(3, \frac{3}{2}\right)$ 为椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 上两点．
（1）求 $C$ 的离心率；
（2）若过 $P$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于另一点 $B$ ，且 $\triangle A B P$ 的面积为 9 ，求 $l$ 的方程．

18．设椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $M\left(1, \frac{3}{2}\right)$ 在 $C$ 上，且 $M F \perp x$ 轴．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）过点 $P(4,0)$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，$N$ 为线段 $F P$ 的中点，直线 $N B$ 交直线 $M F$ 于点 $Q$ ，证明：$A Q \perp y$ 轴．

19．已知双曲线 $C: x^{2}-y^{2}=m(m>0)$ ，点 $P_{1}(5,4)$ 在 $C$ 上，$k$ 为常数， $0

记 $P_{n}$ 的坐标为 $\left(x_{n}, y_{n}\right)$ ．
（1）若 $k=\frac{1}{2}$ ，求 $x_{2}, y_{2}$ ；
（2）证明：数列 $\left\{x_{n}-y_{n}\right\}$ 是公比为 $\frac{1+k}{1-k}$ 的等比数列；
③设 $S_{n}$ 为 $\Delta P_{n} P_{n+1} P_{n+2}$ 的面积，证明：对任意的正整数 $n, S_{n}=S_{n+1}$ ．

19．已知椭圆方程 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，焦点和短轴端点构成边长为 2 的正方形，过 $(0, t)(t>\sqrt{2})$
的直线 $l$ 与椭圆交于 $A, B, C(0,1)$ ，连接 $A C$ 交椭圆于 $D$ ．
（1）求椭圆方程和离心率；
（2）若直线 $B D$ 的斜率为 0 ，求 $t$ ．

10．设 $O$ 为坐标原点，直线 $y=-\sqrt{3}(x-1)$ 过抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点，且与 $C$ 交于 $M, N$ 两点，$l$ 为 $C$ 的准线，则（ ）．

11．设 $A, B$ 为双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{9}=1$ 上两点，下列四个点中，可为线段 $A B$ 中点的是（ ）

12．过原点的一条直线与圆 $C:(x+2)^{2}+y^{2}=3$ 相切，交曲线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 于点 $P$ ，若 $|O P|=8$ ，则 $p$的值为 $\_\_\_\_$ ．

12．设 $A, B$ 为双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{9}=1$ 上两点，下列四个点中，可为线段 $A B$ 中点的是（ ）

20．已知直线 $x-2 y+1=0$ 与抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 交于 $A, B$ 两点，且 $|A B|=4 \sqrt{15}$ ．
（1）求 $p$ ；
②设 $C$ 的焦点为 $F, M, N$ 为 $C$ 上两点， $\overrightarrow{M F} \cdot \overrightarrow{N F}=0$ ，求 $\triangle M N F$ 面积的最小值．

20．已知椭圆 $C: \frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，点 $A(-2,0)$ 在 $C$ 上．
（1）求 $C$ 的方程；

（2）过点（－2，3）的直线交 $C$ 于点 $P, Q$ 两点，直线 $A P, A Q$ 与 $y$ 轴的交点分别为 $M, N$ ，证明：线段 $M N$ 的中点为定点．

22．在直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P$ 到 $x$ 轴的距离等于点 $P$ 到点 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 的距离，记动点 $P$ 的轨迹为 $W$ ．
（1）求 $W$ 的方程；
（2）已知矩形 $A B C D$ 有三个顶点在 $W$ 上，证明：矩形 $A B C D$ 的周长大于 $3 \sqrt{3}$ ．

5．已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，直线 $y=x+m$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，若 $\triangle F_{1} A B$ 面积是 $\triangle F_{2} A B$ 面积的 2 倍，则 $m=$（ ）．

10．已知 $O$ 为坐标原点，过抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 焦点 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，其中 $A$ 在第一象限，点 $M(p, 0)$ ，若 $|A F|=|A M|$ ，则（ ）

15．记双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $e$ ，写出满足条件＂直线 $y=2 x$ 与 $C$ 无公共点＂的 $e$ 的一个值 $\_\_\_\_$ ．

16．已知直线 $l$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 在第一象限交于 $A, B$ 两点，$l$ 与 $x$ 轴，$y$ 轴分别交于 $M, N$ 两点，且 $|M A|=|N B|,|M N|=2 \sqrt{3}$ ，则 $l$ 的方程为

16．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左焦点为 $F$ ，过 $F$ 且斜率为 $\frac{b}{4 a}$ 的直线交双曲线于点 $A\left(x_{1}, y_{1}\right)$ ，交双曲线的渐近线于点 $B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 且 $x_{1}<0

19．已知椭圆：$E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的一个顶点为 $A(0,1)$ ，焦距为 $2 \sqrt{3}$ ．
（1）求椭圆 $E$ 的方程；
（2）过点 $P(-2,1)$ 作斜率为 $k$ 的直线与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $B, C$ ，直线 $A B, A C$ 分别与 $x$ 轴交于点 $M, N$ ，当 $|M N|=2$ 时，求 $k$ 的值．

20．设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $D(p, 0)$ ，过 $F$ 的直线交 $C$ 于 $M, N$ 两点．当直线 $M D$垂直于 $x$ 轴时，$|M F|=3$ ．
（1）求 $C$ 的方程；
②设直线 $M D, N D$ 与 $C$ 的另一个交点分别为 $A, B$ ，记直线 $M N, A B$ 的倾斜角分别为 $\alpha, \beta$ 。当 $\alpha-\beta$取得最大值时，求直线 $A B$ 的方程．

21．设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $D(p, 0)$ ，过 $F$ 的直线交 $C$ 于 $M, N$ 两点．当直线 $M D$垂直于 $x$ 轴时，$|M F|=3$ ．
（1）求 $C$ 的方程；
②设直线 $M D, N D$ 与 $C$ 的另一个交点分别为 $A, B$ ，记直线 $M N, A B$ 的倾斜角分别为 $\alpha, \beta$ 。当 $\alpha-\beta$取得最大值时，求直线 $A B$ 的方程．

21．如图，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{12}+y^{2}=1$ ．设 $A, B$ 是椭圆上异于 $P(0,1)$ 的两点，且点 $Q\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 在线段 $A B$ 上，直线 $P A, P B$ 分别交直线 $y=-\frac{1}{2} x+3$ 于 $C, D$ 两点．

（1）求点 $P$ 到椭圆上点的距离的最大值；
（2）求 $|C D|$ 的最小值．

19．（14分）（1）团队在 $O$ 点西侧、东侧 20 千米处设有 $A , B$ 两站点，测量距离发现一点 $P$ 满足 $|P A|-|P B|=20$ 千米，可知 $P$ 在 $A , B$ 为焦点的双曲线上，以 $O$ 点为原点，东侧为 $x$ 轴正半轴，北侧为 $y$ 轴正半轴，建立平面直角坐标系，$P$ 在北偏东 $60^{\circ}$ 处，求双曲线标准方程和 $P$ 点坐标。
（2）团队又在南侧、北侧 15 千米处设有 $C , D$ 两站点，测量距离发现 $|Q A|-|Q B|=30$ 千米，$|Q C|-|Q D|=10$ 千米，求 $|O Q|$（精确到1米）和 $Q$ 点位置（精确到1米， $1^{\circ}$ ）
【思路分析】（1）求出 $a, ~ c, ~ b$ 的值即可求得双曲线方程，求出直线 $O P$ 的方程，与双曲线方程联立，即可求得 $P$ 点坐标；
（2）分别求出以 $A , B$ 为焦点，以 $C, ~ D$ 为焦点的双曲线方程，联立即可求得点 $Q$ 的坐标，从而求得 $|O Q|$ ，及 $Q$ 点位置。

20．已知椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 过点 $A(0,-2)$ ，以四个顶点围成的四边形面积为 $4 \sqrt{5}$ ．
（1）求椭圆 $E$ 的标准方程；
（2）过点 $P(0,-3)$ 的直线 $l$ 斜率为 $k$ ，交椭圆 $E$ 于不同的两点 $B, C$ ，直线 $A B, A C$ 交 $y=-$ 3于点 $M , N$ ，直线 $A C$ 交 $y=-3$ 于点 $N$ ，若 $|P M|+|P N| \leqslant 15$ ，求 $k$ 的取值范围．

21．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $F_{1}(-\sqrt{17}, 0) , F_{2}(\sqrt{17}, 0)\left|M F_{1}\right|-\left|M F_{2}\right|=2$ ，点 $M$ 的轨迹为 $C$ ．
（1）求 $C$ 的方程；
②设点 $T$ 在直线 $x=\frac{1}{2}$ 上，过 $T$ 的两条直线分别交 $C$ 于 $\mathrm{A} , B$ 两点和 $P, Q$ 两点，且 $|T A| \cdot|T B|=|T P| \cdot|T Q|$ ，求直线 $A B$ 的斜率与直线 $P Q$ 的斜率之和．

13．斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线过抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点，且与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|=$

20．已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 过点 $A(-2,-1)$ ，且 $a=2 b$ ．
（I）求椭圆 $C$ 的方程：
（ II）过点 $B(-4,0)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于点 $M, N$ ，直线 $M A, N A$ 分别交直线 $x=-4$ 于点 $P, Q$ ．求 $\frac{|P B|}{|B Q|}$ 的值．

20．已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{m^{2}}=1(0（1）求 $C$ 的方程；
（2）若点 $P$ 在 $C$ 上，点 $Q$ 在直线 $x=6$ 上，且 $|B P|=|B Q|, B P \perp B Q$ ，求 $\triangle A P Q$ 的面积

20．已知抛物线 $y^{2}=x$ 上的动点 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，过 $M$ 分别作两条直线交抛物线于 $P , Q$ 两点，交直线 $x=t$ 于 $A , B$ 两点．
（1）若点 $M$ 纵坐标为 $\sqrt{2}$ ，求 $M$ 与焦点的距离；
（2）若 $t=-1, P(1,1), Q(1,-1)$ ，求证：$y_{A} \cdot y_{B}$ 为常数；
（3）是否存在 $t$ ，使得 $y_{A} \cdot y_{B}=1$ 且 $y_{P} \cdot \underline{y}$ 为常数？若存在，求出 $t$ 的所有可能值，若不存在，请说明理由．

20．已知 $A , B$ 分别为椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1(a>1)$ 的左、右顶点，$G$ 为 $E$ 的上顶点，
$\overrightarrow{A G} \cdot \overrightarrow{G B}=8, P$ 为直线 $x=6$ 上的动点，$P A$ 与 $E$ 的另一交点为 $C, P B$ 与 $E$ 的另一交点为 $D$ ．
（1）求 $E$ 的方程；
（2）证明：直线 $C D$ 过定点．

21．如图，已知椭圆 $C_{1}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{2}+y^{2}=1$ ，抛物线 $C_{2}: y^{2}=2 p x(p>0)$ ，点 $A$ 是椭圆 $C_{1}$ 与抛物线 $C_{2}$ 的交点，过点 $A$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C_{1}$ 于点 $B$ ，交抛物线 $C_{2}$ 于 $M(B, M$ 不同于 $A)$ ．
（I）若 $p=\frac{1}{16}$ ，求抛物线 $C_{2}$ 的焦点坐标；
（II）若存在不过原点的直线 $I$ 使 $M$ 为线段 $A B$ 的中点，求 $p$ 的最大值．

21．已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 过点 $M(2,3)$ ，点 $A$ 为其左顶点，且 $A M$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，
（1）求 $C$ 的方程；

（2）点 $N$ 为椭圆上任意一点，求 $\triangle A M N$ 的面积的最大值．

21．已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{m^{2}}=1(0（1）求 $C$ 的方程；
（2）若点 $P$ 在 $C$ 上，点 $Q$ 在直线 $x=6$ 上，且 $|B P|=|B Q|, B P \perp B Q$ ，求 $\triangle A P Q$ 的面积

5．设 $O$ 为坐标原点，直线 $x=2$ 与抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 交于 $D, E$ 两点，若 $O D \perp O E$ ，则 $C$ 的焦点坐标为（ ）

7．设 $O$ 为坐标原点，直线 $x=2$ 与抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 交于 $D, E$ 两点，若 $O D \perp O E$ ，则 $C$ 的焦点坐标为（ ）

17．（本小题满分 14 分）
如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的焦点为 $F_{1}(-1 , 0)$ ， $F_{2}(1,0)$ ．过 $F_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$ ，在 $x$ 轴的上方，$l$ 与圆 $F_{2}:(x-1)^{2}+y^{2}=4 a^{2}$ 交于点 $A$ ，与椭圆 $C$ 交于点 $D$ ．连结 $A F_{1}$ 并延长交圆 $F_{2}$ 于点 $B$ ，连结 $B F_{2}$ 交椭圆 $C$ 于点 $E$ ，连结 $D F_{1}$ ．

已知 $D F_{1}=\frac{5}{2}$ ．
（1）求椭圆 $C$ 的标准方程；
（2）求点 $E$ 的坐标．

18．（14分）已知抛物线 $C: x^{2}=-2 p y$ 经过点（2，－1）．
（I）求抛物线 $C$ 的方程及其准线方程；
（II）设 $O$ 为原点，过抛物线 $C$ 的焦点作斜率不为 0 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于两点 $M, N$ ，直线 $y=-1$ 分别交直线 $O M, O N$ 于点 $A$ 和点 $B$ ．求证：以 $A B$ 为直径的圆经过 $y$ 轴上的两个定点．

19．已知抛物线 $C: y^{2}=3 x$ 的焦点为 $F$ ，斜率为 $\frac{3}{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的交点为 $A, B$ ，与 $x$ 轴的交点为 $P$
（1）若 $|A F|+|B F|=4$ ，求 $l$ 的方程；
（2）若 $\overrightarrow{A P}=3 \overrightarrow{P B}$ ，求 $|A B|$ ．

19.

设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F$ ，左顶点为 $A$ ，顶点为 $B$ 。已知 $\sqrt{3}|O A|=2|O B|$（ $O$ 为原点）
（I）求椭圆的离心率；
（II）设经过点 $F$ 且斜率为 $\frac{3}{4}$ 的直线 $l$ 与椭圆在 $x$ 轴上方的交点为 $P$ ，圆 $C$ 同时与 $x$ 轴和直线 $l$ 相切，圆心 $C$ 在直线 $x=4$ 上，且 $O C / / A P$ ，求椭圆的方程．

20．已知抛物线 $y^{2}=4 x, F$ 为焦点，$P$ 为准线 $l$ 上一动点，线段 $P F$ 与抛物线交于点 $Q$ ，定义 $d(P)=\frac{|F P|}{|F Q|}$ ．
（1）若点 $P$ 坐标为 $\left(-1,-\frac{8}{3}\right)$ ，求 $d(P)$ ；
（2）求证：存在常数 $a$ ，使得 $2 d(P)=|F P|+a$ 恒成立；
③设 $P_{1} , P_{2} , P_{3}$ 为准线 $l$ 上的三点，且 $\left|P_{1} P_{2}\right|=\left|P_{2} P_{3}\right|$ ，试比较 $d\left(P_{1}\right)+d\left(P_{3}\right)$ 与 $2 d\left(P_{2}\right)$ 的大小。

21．已知曲线 $C: y=\frac{x^{2}}{2}, D$ ，为直线 $y=-\frac{1}{2}$ 上的动点，过 $D$ 作 $C$ 的两条切线，切点分别为 $A, B$ ．
（1）证明：直线 $A B$ 过定点：
（2）若以 $E\left(0, \frac{5}{2}\right)$ 为圆心的圆与直线 $A B$ 相切，且切点为线段 $A B$ 的中点，求该圆的方程。

18．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）

已知 $a \in R$ ，双曲线 $\Gamma: \frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1$ ．
（1）若点 $(2,1)$ 在 $\Gamma$ 上，求 $\Gamma$ 的焦点坐标；
（2）若 $a=1$ ，直线 $y=k x+1$ 与 $\Gamma$ 相交于 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两点，且线段 AB 中点的横坐标为 1 ，求实数 $k$ 的值．

18．（本小题满分 16 分）
如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C$ 过点 $\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ ，焦点 $F_{1}(-\sqrt{3}, 0), F_{2}(\sqrt{3}, 0)$ ，圆 $O$ 的直径为 $F_{1} F_{2}$ ．
（1）求椭圆 $C$ 及圆 $O$ 的方程；
②设直线 $/$ 与圆 $O$ 相切于第一象限内的点 $P$ ．
（1）若直线 $/$ 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 $P$ 的坐标；
（2）直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点．若 $\triangle O A B$ 的面积为 $\frac{2 \sqrt{6}}{7}$ ，

（第 18 题）

求直线 $/$ 的方程．

19．（12分）设抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 且斜率为 $k(k>0)$ 的直线 $l$ 与 $C$交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，$|\mathrm{AB}|=8$ ．
（1）求$l$的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

（19）（本小题满分 14 分）
设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右顶点为 $A$ ，上顶点为 $B$ ．已知椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3},|A B|=\sqrt{13}$ ．
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线 $l: y=k x(k<0)$ 与椭圆交于 $P, Q$ 两点，$l$ 与直线 $A B$ 交于点 $M$ ，且点 $P, M$ 均在第四象限．若 $\triangle B P M$ 的面积是 $\triangle B P Q$ 面积的 2 倍，求 $k$ 的值．

21．（15 分）如图，已知点 $P$ 是 $y$ 轴左侧（不含 $y$ 轴）一点，抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 上存在不同的两点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 满足 $\mathrm{PA}, \mathrm{PB}$ 的中点均在 C 上。
（ I ）设 AB 中点为 M ，证明： PM 垂直于 y 轴；
（II）若 $P$ 是半椭圆 $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1 \quad(x<0)$ 上的动点，求 $\triangle P A B$ 面积的取值范围．

12．（5分）过抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点 $F$ ，且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线交 $C$ 于点 $M$（ $M$ 在 $x$轴上方）， $\mid$ 为 $C$ 的准线，点 $N$ 在 $I$ ，且 $M N \perp I$ ，则 $M$ 到直线 $N F$ 的距离为（ ）

17．（14 分）如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为 $\mathrm{F}_{1}, \mathrm{~F}_{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，两准线之间的距离为 8 ．点 P 在椭圆 E上，且位于第一象限，过点 $F_{1}$ 作直线 $P F_{1}$ 的垂线 $I_{1}$ ，过点 $F_{2}$ 作直线 $P F_{2}$ 的垂线 $I_{2}$ ．
（1）求椭圆 E 的标准方程；
（2）若直线 $\mathrm{I}_{1}, \mathrm{I}_{2}$ 的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标．

18．（14 分）已知抛物线 $C: y^{2}=2 p x$ 过点 $P(1,1)$ ．过点 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 作直线 $l$ 与抛物线 C 交于不同的两点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ ，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 $\mathrm{OP} , \mathrm{ON}$ 交于点 $A$ ，$B$ ，其中 $O$ 为原点。
（1）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）求证：$A$ 为线段 $B M$ 的中点．

20．已知双曲线 $\Gamma: x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ ，直线 $l: y=k x+m(k m \neq 0), l$ 与 $\Gamma$ 交于 $P$ 、 $Q$ 两点，$P^{\prime}$ 为 $P$ 关于 $y$ 轴的对称点，直线 $P^{\prime} Q$ 与 $y$ 轴交于点 $N(0, n)$ ；
（1）若点 $(2,0)$ 是 $\Gamma$ 的一个焦点，求 $\Gamma$ 的渐近线方程；
（2）若 $b=1$ ，点 $P$ 的坐标为 $(-1,0)$ ，且 $\overrightarrow{N P^{\prime}}=\frac{3}{2} \overrightarrow{P^{\prime} Q}$ ，求 $k$ 的值；
（3）若 $m=2$ ，求 $n$ 关于 $b$ 的表达式；

20．（14分）已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为F $(-c, 0)$，右顶点为 $A$，点 $E$ 的坐标为 $(0, c), \triangle E F A$ 的面积为 $\frac{b^{2}}{2}$．
（1）求椭圆的离心率；
（II）设点 Q 在线段 AE 上，$|\mathrm{FQ}|=\frac{3}{2} \mathrm{c}$，延长线段 FQ 与椭圆交于点 P，点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 在 x轴上，$P M / / Q N$，且直线 $P M$ 与直线 $Q N$ 间的距离为 $c$，四边形 $P Q N M$ 的面积为 $3 c$．
（i）求直线 $F P$ 的斜率；
（ii）求椭圆的方程．

# 2017年天津市高考数学试卷（文科）

（21）（本小题满分14分）
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $\mathrm{C}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，椭圆 C截直线 $\mathrm{y}=1$ 所得线段的长度为 $2 \sqrt{2}$ ．
（I）求椭圆 C 的方程；
（II）动直线 $l: y=k x+m(m \neq 0)$ 交椭圆 C 于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，交 y 轴于点 M ．点 N 是 M 关于 0 的对称点，圆 N 的半径为 $|N O|$ ．

设 D 为 AB 的中点， DE ， DF 与圆 N 分别相切于点 $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ ，求 $\angle E D F$ 的最小值．

10．（5分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$F$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0$ ）的右焦点，直线 $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{b}}{2}$ 与椭圆交于 $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ 两点，且 $\angle \mathrm{BFC}=90^{\circ}$ ，则该椭圆的离心率是 $\_\_\_\_$ ．

19．（14分）（2016•天津）设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{3}=1(a>\sqrt{3})$ 的右焦点为 $F$ ，右顶点为A．已知 $\frac{1}{|O F|}+\frac{1}{|O A|}=\frac{3 e}{|F A|}$ ，其中 $O$ 为原点，$e$ 为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
②设过点 A 的直线 $l$ 与椭圆交于点 B （ B 不在 x 轴上），垂直于 1 的直线与 1 交于点 M ，与 y 轴于点 $H$ ，若 $B F \perp H F$ ，且 $\angle M O A \leqslant \angle M A O$ ，求直线 $l$ 的斜率的取值范围．

19．（15分）（2016•浙江）如图，设抛物线 $\mathrm{y}^{2}=2 \mathrm{px}(\mathrm{p}>0)$ 的焦点为 F ，抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于 $|\mathrm{AF}|-1$ ，
（I）求 p 的值；
（II）若直线 AF 交抛物线于另一点 B ，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 $N$ ，$A N$ 与 $x$ 轴交于点 $M$ ，求 $M$ 的横坐标的取值范围。

19．（14分）（2016•天津）设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{3}=1(a>\sqrt{3})$ 的右焦点为 $F$ ，右顶点为 $A$ ，已知 $\frac{1}{|O F|}+\frac{1}{|O A|}=\frac{3 e}{|F A|}$ ，其中 $O$ 为原点，$e$ 为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
②设过点 A 的直线 $l$ 与椭圆交于 B （ B 不在 x 轴上），垂直于 1 的直线与 1 交于点 M ，与 y 轴交于点 $H$ ，若 $B F \perp H F$ ，且 $\angle M O A=\angle M A O$ ，求直线 $l$ 的斜率．

20．（12分）已知椭圆 $\mathrm{E}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{t}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{3}=1$ 的焦点在 x 轴上， A 是 E 的左顶点，斜率为 k $(k>0)$ 的直线交 $E$ 于 $A, M$ 两点，点 $N$ 在 $E$ 上，$M A \perp N A$ ．
（I）当 $t=4,|A M|=|A N|$ 时，求 $\triangle A M N$ 的面积；
（II）当 $2|A M|=|A N|$ 时，求 $k$ 的取值范围。

20、（本小题满分 13 分）
已知椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点 $P\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ 在椭圆 $E$ 上。
（I）求椭圆 $E$ 的方程；
（II）设不过原点 $O$ 且斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 E 交于不同的两点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ，线段 AB 的中点为 M ，直线 OM 与椭圆 E 交于 C，D，证明：$|M A| \cdot|M B|=|M C| \cdot|M D|$ 。

20．（本小题满分 13 分）
已知椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线

$l: y=-x+3$ 与椭圆 $E$ 有且只有一个公共点 $T$．
（I）求椭圆 E 的方程及点 $T$ 的坐标；
（II）设 $O$ 是坐标原点，直线 $l$＇平行于 $O T$，与椭圆 E 交于不同的两点 $A, B$，且与直线 $l$ 交于点 $P$．证明：存在常数 $\lambda$，使得 $|P T|^{2}=\lambda|P A| \cdot|P B|$，并求 $\lambda$ 的值．

21．（14 分）（2016 • 山东）平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，抛物线 $\mathrm{E}: \mathrm{x}^{2}=2 \mathrm{y}$ 的焦点 F 是 C 的一个顶点．
（I）求椭圆 C 的方程；
（II）设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限， E 在点 P 处的切线 1 与 C 交与不同的两点 A， B，线段 AB 的中点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M．
（i）求证：点 $M$ 在定直线上；
（ii）直线 $l$ 与 y 轴交于点 G，记 $\triangle \mathrm{PFG}$ 的面积为 $\mathrm{S}_{1}, \triangle \mathrm{PDM}$ 的面积为 $\mathrm{S}_{2}$，求 $\frac{\mathrm{S}_{1}}{\mathrm{~S}_{2}}$ 的最大值及取得最大值时点 P 的坐标．

## 2016年山东省高考数学试卷（理科）

21．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2}$ ，直线 $l$ 过 $F_{2}$ 且与双曲线交于 $A , B$ 两点．
（1）若 7 的倾斜角为 $\frac{\pi}{2}, \triangle F_{1} A B$ 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
②设 $b=\sqrt{3}$ ，若 $l$ 的斜率存在，且 $|A B|=4$ ，求 $l$ 的斜率．

21．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$，直线 $l$ 过 $F_{2}$ 且与双曲线交于
$A, B$ 两点．
（1）若 $l$ 的倾斜角为 $\frac{\pi}{2}, \Delta F_{1} A B$ 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
②设 $b=\sqrt{3}$，若 $l$ 的斜率存在，且 $\left(\overrightarrow{F_{1} A}+\overrightarrow{F_{1} B}\right) \cdot \overrightarrow{A B}=0$，求 $l$ 的斜率．

23．（2016•江苏）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线 $l$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2} t \\ y=\frac{\sqrt{3}}{2} t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），椭圆 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$（ $\theta$ 为参数），设直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$ ，$B$ 两点，求线段 AB 的长．

25．（10分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 $1: \mathrm{x}-\mathrm{y}-2=0$ ，抛物线C： $\mathrm{y}^{2}=2 \mathrm{px} \quad(\mathrm{p}>0)$ 。
（1）若直线 $l$ 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程；
（2）已知抛物线 C 上存在关于直线 I 对称的相异两点 P 和 Q ．
（1）求证：线段 PQ 的中点坐标为 $(2-\mathrm{p}, ~-\mathrm{p})$ ；
（2）求 $p$ 的取值范围．

10．设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点为 1，过 $F$ 作 $A F$ 的垂线与双曲线交于 $B, C$ 两点，过 $B, C$ 分别作 $A C, A B$ 的垂线交于点 $D$．若 $D$ 到直线 $B C$ 的距离小于 $a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是

16．（5分）已知 F 是双曲线 $\mathrm{C}: \mathrm{x}^{2}-\frac{\mathrm{y}^{2}}{8}=1$ 的右焦点， P 是 C 的左支上一点， $\mathrm{A}(0$ ， $6 \sqrt{6}$ ）．当 $\triangle A P F$ 周长最小时，该三角形的面积为 $\_\_\_\_$ $12 \sqrt{6}$。

20、（本小题满分 13 分）
如图，椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $P(0,1)$ 在短轴 $C D$ 上，且 $\overrightarrow{P C} \cdot \overrightarrow{P D}=-1$
（I）求椭圆 $E$ 的方程；
（II）设 $O$ 为坐标原点，过点 $P$ 的动直线与椭圆交于 $A , B$ 两点。是否存在常数 $\lambda$ ，使得 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}+\lambda \overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}$ 为定值？若存在，求 $\lambda$ 的值；若不存在，请说明理由．

19．（本小题满分 12 分）
已知点 $F$ 为抛物线 $E: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点，点 $A(2, m)$ 在抛物线 $E$ 上，且 $|A F|=3$ ．
（I）求抛物线 $E$ 的方程；
（ II ）已知点 $G(-1,0)$ ，延长 $A F$ 交抛物线 $E$ 于点 $B$ ，证明：以点 $F$ 为圆心且与直线 $G A$ 相切的圆，必与直线 $G B$ 相切．

19．已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ 的上顶点为 B ，左焦点为 F ，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．
（I）求直线 BF 的斜率；
（II）设直线 BF 与椭圆交于点 $\mathrm{P}(\mathrm{P}$ 异于点 B$)$ ，故点 B 且垂直于 BF 的直线与椭圆交于点 $\mathrm{Q}(\mathrm{Q}$ 异于点
B）直线 PQ 与 x 轴交于点 $\mathrm{M},|\mathrm{PM}|=/|\mathrm{MQ}|$ 。
（i）求 $/$ 的值；
（ii）若 $|\mathrm{PM}| \sin Đ \mathrm{BQP}=\frac{7 \sqrt{5}}{9}$ ，求椭圆的方程．

20．已知抛物线 $C_{1}: x^{2}=4 y$ 的焦点 $F$ 也是椭圆 $C_{2}: \frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的一个焦点，$C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共弦的

长为 $2 \sqrt{6}$ ．
（1）求 $C_{2}$ 的方程；
（2）过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C_{1}$ 相交于 $A, B$ 两点，与 $C_{2}$ 相交于 $C, D$ 两点，且 $\overrightarrow{A C}$ 与 $\overrightarrow{B D}$ 同向
（i）若 $|A C|=|B D|$ ，求直线 $l$ 的斜率
（ii）设 $C_{1}$ 在点 $A$ 处的切线与 $x$ 轴的交点为 $M$ ，证明：直线 $l$ 绕点 $F$ 旋转时，$\triangle M F D$ 总是针角三角形

20．（本小题满分 12 分）已知椭圆 $\mathrm{E}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的半焦距为 $c$，原点 O 到经过两点 $(c, 0)$,
$(0, b)$ 的直线的距离为 $\frac{1}{2} c$．
（I）求椭圆 E 的离心率；

（II）如图， AB 是圆 $\mathrm{M}:(x+2)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{5}{2}$ 的一条直径，若椭圆 E 经过 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，求椭圆 E 的方程。

20．如图，椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 经过点 $A(0,-1)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
（I）求椭圆 $E$ 的方程；
（II）经过点 $(1,1)$ ，且斜率为 $k$ 的直线与陏圆 $E$ 交于不同两点 $P, Q$（均异于点 $A$ ），证明：直线 $A P$ 与 $A Q$的斜率之和为 2 。

21、（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分．
已知椭圆 $x^{2}+2 y^{2}=1$ ，过原点的两条直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 分别于椭圆交于 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 和 $\mathrm{C} , \mathrm{D}$ ，记得到的平行四边形 ABCD 的面积为 $S$ ．
①设 $\mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right), \mathrm{C}\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，用 $\mathrm{A} , \mathrm{C}$ 的坐标表示点 C 到直线 $l_{1}$ 的距离，并证明 $S=2\left|x_{1} y_{1}-x_{2} y_{1}\right| ;$
②设 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的斜率之积为 $-\frac{1}{2}$ ，求面积 $S$ 的值．

21、（本小题满分 12 分，（I）小问 5 分，（II）小问 7 分）
如题（21）图，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，且过 $F_{2}$ 的直线交椭圆于 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 两点，且 $\mathrm{PQ} \perp P F_{1}$ ．
（I）若 $\left|P F_{1}\right|=2+\sqrt{2},\left|P F_{2}\right|=2-\sqrt{2}$ ，求椭圆的标准方程．
（II）若 $|\mathrm{PQ}|=\lambda\left|P F_{1}\right|$ ，且 $\frac{3}{4} \leq \lambda \leq \frac{4}{3}$ ，试确定椭圆离心率的取值范围．

21．（本小题满分 12 分，（1）小问 5 分，（2）小问 7 分）
如题（21）图，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$，过 $F_{2}$ 的直线交椭圆于 $P, Q$两点，且 $P Q \perp P F_{1}$

（1）若 $\left|P F_{1}\right|=2+\sqrt{2},\left|P F_{2}\right|=2-\sqrt{2}$，求椭圆的标准方程
（2）若 $\left|P F_{1}\right|=|P Q|$，求椭圆的离心率 $e$．

5．（5分）已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为 $\frac{1}{2}$ ， E 的右焦点与抛物线 C ： $y^{2}=8 x$ 的焦点重合，$A, B$ 是 $C$ 的准线与 $E$ 的两个交点，则 $|A B|=$（）

10．已知点 $A(-2,3)$ 在抛物线 $C: y^{2}=2 p x$ 的准线上，过点 $A$ 的直线与 $C$ 在第一象限相切于点 $B$ ，记 $C$ 的焦点为 $F$ ，则直线 $B F$ 的斜率为（ ）

10．（5分）设 $F$ 为抛物线 $C$ ：$y^{2}=3 x$ 的焦点，过 $F$ 且倾斜角为 $30^{\circ}$ 的直线交 $C$ 于 $A, B$两点， O 为坐标原点，则 $\triangle \mathrm{OAB}$ 的面积为（ ）

20．（本小题满分 14 分）
已知椭圆 $\mathrm{C}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的一个焦点为 $(\sqrt{5}, 0)$ ，离心率 $\mathrm{e}=\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，且椭圆 C 上的点到 $\mathrm{Q}(0,2)$ 的距离的最大值为 3 ．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）若动点 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为椭圆C外一点，且点 $P$ 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 $P$ 的轨迹方程。

19．（本小题满分 13 分）已知双曲线 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两条渐近线分别为 $l_{1}: y=2 x, l_{2}: y=-2 x$.
（1）求双曲线 $E$ 的离心率；
（2）如图，$O$ 为坐标原点，动直线 $l$ 分别交直线 $l_{1}, l_{2}$ 于 $A, B$ 两点 $(A, B$ 分别在第一，四象限），且 $\triangle O A B$ 的面积恒为 8，试探究：是否存在总与直线 $l$ 有且只有一个公共点的双曲线 $E$ ？若存在，求出双曲线 $E$ 的方程；若不存在，说明理由．

20．（12分）设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左，右焦点，$M$ 是C上一点且 $M F_{2}$ 与 $x$ 轴垂直，直线 $M F_{1}$ 与 $C$ 的另一个交点为 $N$ ．

（1）若直线 MN 的斜率为 $\frac{3}{4}$ ，求 C 的离心率；
（2）若直线 $M N$ 在 $y$ 轴上的截距为 2 ，且 $|M N|=5\left|F_{1} N\right|$ ，求 $a$ ，$b$ ．

20．（本小题满分 14 分）已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的一个焦点为 $(\sqrt{5}, 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）若动点 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为椭圆外一点，且点 $P$ 到椭圆 $C$ 的两条切线相互垂直，求点 $P$ 的轨迹方程。

20．（12分）设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左，右焦点，$M$ 是 $C$ 上一点且 $M F_{2}$ 与 $x$ 轴垂直，直线 $M F_{1}$ 与 $C$ 的另一个交点为 $N$ ．
（1）若直线 MN 的斜率为 $\frac{3}{4}$ ，求 C 的离心率；

（2）若直线 $M N$ 在 $y$ 轴上的截距为 2 ，且 $|M N|=5\left|F_{1} N\right|$ ，求 $a$ ，$b$ ．

20．（本小题满分 13 分）
如图，已知抛物线 $C: x^{2}=4 y$ ，过点 $M(0,2)$ 任作一直线与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，过点 $B$ 作 $y$ 轴的平行线与直线 $A O$ 相交于点 $D$（ $O$ 为坐标原点）．
（1）证明：动点 $D$ 在定直线上；
（2）作 $C$ 的任意一条切线 $l$（不含 $x$ 轴）与直线 $y=2$ 相交于点 $N_{1}$ ，与（1）中的定直线相交于点 $N_{2}$ ，证明：$\left|M N_{2}\right|^{2}-\left|M N_{1}\right|^{2}$ 为定值，并求此定值．

20．已知椭圆 $\mathrm{C}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的焦距为 4 ，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。
（1）求椭圆 C 的标准方程；
②设 F 为椭圆 C 的左焦点， T 为直线 $x=-3$ 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ ．
（i）证明： OT 平分线段 PQ （其中 O 为坐标原点）；
（ii）当 $\frac{|T F|}{|P Q|}$ 最小时，求点 T 的坐标．

（21）（本小题满分 14 分）
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，直线 $y=x$ 被椭圆 $C$ 截得的线段长为 $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ ．
（I）求椭圆 $C$ 的方程；
（II）过原点的直线与椭圆 C 交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点（A， B 不是椭圆 C 的顶点）．
点 D 在椭圆 C 上，且 $A D \perp A B$ ，直线 BD 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 两点．
（i）设直线 $\mathrm{BD}, \mathrm{AM}$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，证明存在常数 $\lambda$ 使得 $k_{1}=\lambda k_{2}$ ，并求出 $\lambda$ 的值；
（ii）求 $\triangle O M N$ 面积的最大值．

20．（本小题满分 13 分）
如图，已知双曲线 $C_{n} \frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a>0)$ 的右焦点 $F$ ，点 $A, B$ 分别在 $C$ 的两条渐近线上，$A F \perp x$ 轴， $A B \perp O B, B F \| O A$（ $O$ 为坐标原点）．
（1）求双曲线 $C$ 的方程；
（2）过 $C$ 上一点 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(y_{0} \neq 0\right)$ 的直线 $l: \frac{x_{0} x}{a^{2}}-y_{0} y=1$ 与直线 $A F$ 相交于点 $M$ ，与直线 $x=\frac{3}{2}$ 相交于点 $N$ ，证明点 $P$ 在 $C$ 上移动时，$\left|\frac{M F}{N F}\right|$ 恒为定值，并求此定值．

21．如图 7，$O$ 为坐标原点，椭圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $e_{1}$ ；双曲线 $C_{2}: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的左右焦点分别为 $F_{3}, F_{4}$ ，离心率为 $e_{2}$ ，已知 $e_{1} e_{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且 $\left|F_{2} F_{4}\right|=\sqrt{3}-1$ ．
（1）求 $C_{1}, C_{2}$ 的方程；
（2）过 $F_{1}$ 点作 $C_{1}$ 的不垂直于 $y$ 轴的弦 $A B, M$ 为 $A B$ 的中点，当直线 $O M$ 与 $C_{2}$ 交于 $P, Q$ 两点时，求四边形 $A P B Q$ 面积的最小值．

｜ 17

21．（12分）已知抛物线C：$y^{2}=2 p x ~(p>0) ~$ 的焦点为 $F$ ，直线 $y=4$ 与 $y$ 轴的交点为 P ，与 C 的交点为 Q ，且 $|\mathrm{QF}|=\frac{5}{4}|\mathrm{PQ}|$ ．
（I）求C的方程；
（II）过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $A B$ 的垂直平分线 $I$ 与 $C$ 相交于 $M$ 、 $N$ 两点，且 $A , M , B , N$ 四点在同一圆上，求 $I$ 的方程．

22．（12分）已知抛物线C：$y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，直线 $y=4$ 与 $y$ 轴的交点为 P ，与 C 的交点为 Q ，且 $|\mathrm{QF}|=\frac{5}{4}|\mathrm{PQ}|$ ．
（I）求C的方程；
（II）过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $A B$ 的垂直平分线 $I$ 与 $C$ 相交于 $M$ 、N两点，且 $A , M , B , N$ 四点在同一圆上，求 $I$ 的方程．

23．（2014•江苏）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线 $l$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y=2+\frac{\sqrt{2}}{2} t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），直线 $l$ 与抛物线 $y^{2}=4 x$ 相交于 $A, B$ 两点，求线段 $A B$ 的长．

8．设 $a , b$ 是关于 $t$ 的方程 $t^{2} \cos \theta+t \sin \theta=0$ 的两个不等实根，则过 $A\left(a, a^{2}\right), B\left(b, b^{2}\right)$ 两点的直线与双曲线 $\frac{x^{2}}{\cos ^{2} \theta}-\frac{y^{2}}{\sin ^{2} \theta}=1$ 的公共点的个数为（ ）

10．（5分）设抛物线 $C$ ：$y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$ ，直线过 $F$ 且与 $C$ 交于 $A$ ，$B$ 两点．若 $\mid A F|=3| B F \mid$ ，则 $I$ 的方程为（ ）

11．（5分）已知抛物线 $C: y^{2}=8 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $M(-2,2)$ ，过点 $F$ 且斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，若 $\overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}=0$ ，则 $k=$（ ）

12．（5分）已知抛物线 $C$ ：$y^{2}=8 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $M(-2,2)$ ，过点 $F$ 且斜率为 $k$的直线与 $C$ 交于 $A$ ，$B$ 两点，若 $\overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}=0$ ，则 $k=$

（13）已知直线 $y=a$ 交抛物线 $y=x^{2}$ 于 $A, B$ 两点．若该抛物线上存在点 $C$，使得 $\angle A C B$ 为直角，则 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$．

（15）已知 $F$ 为双曲线 $C: \frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ 的左焦点，$P, Q$ 为 $C$ 上的点，若 $P Q$ 的长等于虚轴长的2倍，点 $A(5,0)$ 在线段 $P Q$ 上，则 $\triangle P Q F$ 的周长为 $\_\_\_\_$．

18．（本小题满分 13 分）
如图，在正方形 $O A B C$ 中，$O$ 为坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $(10,0)$，点 $C$ 的坐标为 $(0,10)$，分别将线段 $O A$ 和 $A B$ 十等分，分点分别记为 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{9}$ 和 $B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{9}$，连接 $O B_{i}$，过 $A_{i}$ 作 $x$ 轴的垂线与 $O B_{i}$交于点 $P_{i}\left(i \in N^{*}, 1 \leq i \leq 9\right)$。

（1）求证：点 $P_{i}\left(i \in N^{*}, 1 \leq i \leq 9\right)$ 都在同一条抛物线上，并求抛物线 $E$ 的方程；
（2）过点 $C$ 作直线 $l$ 与拖物线 E 交于不同的两点 $M, N$，若 $\triangle O C M$ 与 $\triangle O C N$ 的面积之比为 $4: 1$，求直线 $l$ 的方程。

19．（14 分）已知 $A, B, C$ 是椭圆 $W: \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 上的三个点，$O$ 是坐标原点．
（I）当点 B 是 W 的右顶点，且四边形 OABC 为菱形时，求此菱形的面积；
（II）当点 B 不是 W 的顶点时，判断四边形 OABC 是否可能为菱形，并说明理由。

19．（14 分）直线 $y=k x+m(m \neq 0)$ 与椭圆W：$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 相交于 $A, C$ 两点，$O$ 是坐标原点．
（I）当点 B 的坐标为 $(0,1)$ ，且四边形 OABC 为菱形时，求 AC 的长；
（II）当点 $B$ 在 $W$ 上且不是 $W$ 的顶点时，证明：四边形 $O A B C$ 不可能为菱形。

20．（本小题满分 13 分）
已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1}(-1,0), F_{2}(1,0)$，且椭圆 $C$ 经过点 $P\left(\frac{4}{3}, \frac{1}{3}\right)$．
（I）求椭圆 $C$ 的离心率；
（II）设过点 $A(0,2)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点，点 $Q$ 是线段 $M N$ 上的点，且 $\frac{2}{|A Q|^{2}}=\frac{1}{|A M|^{2}}+\frac{1}{|A N|^{2}}$，求点 $Q$ 的轨迹方程．

21．（本小题满分 13 分）
过拖物线 $E: x^{2}=2 p y(p>0)$ 的焦点 F 作斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ 的两条不同的直线 $l_{1}, l_{2}$，且 $k_{1}+k_{2}=2, l_{1}$ 与 $E$ 相交于点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, l_{2}$ 与 $E$ 相交于点 $\mathrm{C}, \mathrm{D}$。以 $\mathrm{AB}, \mathrm{CD}$ 为直径的圆 M，圆 N （ $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 为圆心）的公共弦所在的直线记为 $l$。
（I）若 $k_{1}>0, k_{2}>0$，证明； $\overrightarrow{F M} \cdot \overrightarrow{F N}<2 P^{2}$；
（II）若点 M 到直线 $l$ 的距离的最小值为 $\frac{7 \sqrt{5}}{5}$，求抛物线 E 的方程。

21．（12分）已知双曲线C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ，$F_{2}$ ，离心率为 3 ，直线 $y=2$ 与 $C$ 的两个交点间的距离为 $\sqrt{6}$ ．
（1）求 $a$ ，$b$ ；
（II）设过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的左、右两支分别相交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $\left|A F_{1}\right|=\left|B F_{1}\right|$ ，证明：$\left|A F_{2}\right| ,|A B| ,\left|B F_{2}\right|$ 成等比数列。

21．（本小题满分 13 分）

如图，已知椭圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的中心原点坐标 $O$，长轴均为 $M N$ 且在 $x$ 轴上，短轴长分别为 $2 m, 2 n(m>n)$，过原点且不与 $x$ 轴重合的直线 $l$ 与 $C_{1}, C_{2}$ 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 $A, B, C, D$．记 $\lambda=\frac{m}{n}, \triangle B D M$ 和 $\triangle A B N$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$．
（I）当直线 $l$ 与 $y$ 轴重合时，若 $S_{1}=\lambda S_{2}$，求 $\lambda$ 的值；
（II）当 $\lambda$ 变化时，是否存在于坐标轴不重合的直线 $l$，使得 $S_{1}=\lambda S_{2}$，并说明理由．

第21影图

22．（3分 +5 分 +8 分）如图，已知曲线 $C_{1}: \frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$ ，曲线
$C_{2}:|y|=|x|+1, \mathrm{P}$ 是平面上一点，若存在过点 P 的直线与 $C_{1}, C_{2}$ 都有公共点，则称 P 为＂ $\mathrm{C}_{1}-\mathrm{C}_{2}$ 型点＂。
（1）在正确证明 $C_{1}$ 的左焦点是＂ $\mathrm{C}_{1}$ —
$\mathrm{C}_{2}$ 型点＂时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；

②设直线 $y=k x$ 与 $C_{2}$ 有公共点，求证 $|k|>1$ ，进而证明原点不是＂ $\mathrm{C}_{1}-\mathrm{C}_{2}$ 型点＂；
（3）求证：圆 $x^{2}+y^{2}=\frac{1}{2}$ 内的点都不是＂ $\mathrm{C}_{1}-\mathrm{C}_{2}$ 型点＂．

22．（12分）已知双曲线C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$

，$F_{2}$ ，离心率为 3 ，直线 $y=2$ 与 $C$ 的两个交点间的距离为 $\sqrt{6}$ ．
（1）求 $a$ ，$b$ ；
（II）设过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的左、右两支分别相交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $\left|A F_{1}\right|=\left|B F_{1}\right|$ ，证明：$\left|A F_{2}\right|$ 、 $|A B|$ 、 $\left|B F_{2}\right|$ 成等比数列。

（14）设 $P$ 为直线 $y=\frac{b}{3 a} x$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 左支的交点，$F_{1}$ 是左焦点， $P F_{1}$ 垂直于 $x$ 轴，则双曲线的离心率 $e=$ $\_\_\_\_$

19．（本小题满分 16 分）
如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}(-c, 0), F_{2}(c, 0)$ ．已知 $(1, e)$ 和 $\left(e, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 都在椭圆上，其中 $e$ 为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的离心率；
②设 $A, B$ 是椭圆上位于 $x$ 轴上方的两点，且直线 $A F_{1}$

与直线 $B F_{2}$ 平行，$A F_{2}$ 与 $B F_{1}$ 交于点 $P$ ．
（i）若 $A F_{1}-B F_{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求直线 $A F_{1}$ 的斜率；
（ii）求证：$P F_{1}+P F_{2}$ 是定值．

20．（本小题满分 13 分）
已知椭圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ ，椭圆 $C_{2}$ 以 $C_{1}$ 的长轴为短轴，且与 $C_{1}$ 有相同的离心率。
（1）求椭圆 $C_{2}$ 的方程；
②设 O 为坐标原点，点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 分别在椭圆 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 上， $\overrightarrow{O B}=2 \overrightarrow{O A}$ ，求直线 $A B$ 的方程

20．（12分）设抛物线 $C$ ：$x^{2}=2 p y(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $I, A \in C$ ，已知以 $F$为圆心，$F A$ 为半径的圆 $F$ 交于 $B$ ，$D$ 两点；
（1）若 $\angle B F D=90^{\circ}, \triangle A B D$ 的面积为 $4 \sqrt{2}$ ，求 p 的值及圆 F 的方程；
（2）若 $A, B, F$ 三点在同一直线 $m$ 上，直线 $n$ 与 $m$ 平行，且 $n$ 与 $C$ 只有一个公共点 ，求坐标原点到 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 距离的比值．

21．（本小题满分 14 分）

设 $A$ 是单位圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 上任意一点，$I$ 是过点 $A$ 与 $x$ 轴垂直的直线，$D$ 是直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点，点 $M$ 在直线 $l$ 上，且满足 $|D M|=m|D A|(m>0$ ，且 $m \neq 1)$ 。当点 $A$ 在圆上运动时，记点 $M$的轨迹为曲线 C 。
（1）求曲线 C 的方程，判断曲线 C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标。
（2）过原点且斜率为 K 的直线交曲线 C 于 P ， Q 两点，其中 P 在第一象限，且它在 y 轴上的射影为点 $N$ ，直线 $Q N$ 交曲线 $C$ 于另一点 $H$ ，是否存在 $m$ ，使得对任意的 $K>0$ ，都有 $P Q \perp$ PH ？若存在，请说明理由．

10．（5分）已知抛物线 $C$ ：$y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$ ，直线 $y=2 x-4$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，则 $\cos \angle \mathrm{AFB}=$（ ）

11．在抛物线 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}+\mathrm{ax}-5(\mathrm{a} \neq 0)$ 上取横坐标为 $\mathrm{x}_{1}=4, \mathrm{x}_{2}=2$ 的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 $5 x^{2}+5 y^{2}=36$ 相切，则

17．（本小题满分 12 分）
设椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 过点 $(0,4)$ ，离心率为 $\frac{3}{5}$ ．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）求过点（ $3, ~ 0$ ）且斜率为 $\frac{4}{5}$ 的直线被 $C$ 所截线段的中点坐标．

18．（本小题满分 13 分）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P(a, b)(a>b>0)$ 为动点，$F_{1}, F_{2}$

分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的左右焦点．已知 $\triangle F_{1} P F_{2}$ 为等腰三角形．
（I）求椭圆的离心率 $e$ ；
（II）设直线 $P F_{2}$ 与椭圆相交于 $A, B$ 两点，$M$ 是直线 $P F_{2}$ 上的点，满足 $\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{B M}=-2$ ，求点 $M$ 的轨迹方程．

18．（本小题满分 13 分）
设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $\mathrm{F}_{1}, \mathrm{~F}_{2}$ 。点 $P(a, b)$ 满足

$ \left|P F_{2}\right|=\left|F_{1} F_{2}\right| $

（I）求椭圆的离心率 $e$ ；
（II）设直线 $\mathrm{PF}_{2}$ 与椭圆相交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，若直线 $\mathrm{PF}_{2}$ 与圆 $(x+1)^{2}+(y-\sqrt{3})^{2}=16$ 相交于 M ，N两点，且 $|M N|=\frac{5}{8}|A B|$ ，求椭圆的方程

21．（本小题共 12 分）
椭圆有两顶点 $\mathrm{A}(-1,0) , \mathrm{~B}(1,0)$ ，过其焦点 $\mathrm{F}(0,1)$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $\mathrm{C} , \mathrm{D}$ 两点，并与 x 轴交于点 P 。直线 AC 与直线 BD 交于点 Q 。
（I）当 $|\mathrm{CD}|=\frac{3}{2} \sqrt{2}$ 时，求直线 $l$ 的方程；
（II）当点 P 异于 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两点时，求证： $\mathrm{OP} \cdot \mathrm{OQ}$ 为定值。 → →

18．（本小题满分 16 分）
如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$M, N$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$ 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 $P, A$ 两点，其中点 $P$ 在第一象限，过 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $C$ ，连接 $A C$ ，并延长交椭圆于点 $B$ ．设直线 $P A$ 的斜率为 $k$ ．
①当直线 $P A$ 平分线段 $M N$ ，求 $k$ 的值；
②当 $k=2$ 时，求点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离 $d$
；

（3）对任意 $k>0$ ，求证：$P A \perp P B$ ．

19．（本小题共14分）
已知椭圆 $G: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，右焦点为 $(2 \sqrt{2}, 0)$ ，斜率为 I 的直线 $l$ 与椭圆 G 交与 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为 $\mathrm{P}(-3,2)$ ．
（I）求椭圆 $G$ 的方程；
（II）求 $\triangle P A B$ 的面积．

21．（12分）已知 $O$ 为坐标原点，$F$ 为椭圆 $C: x^{2}+\frac{y^{2}}{2}=1$ 在 $y$ 轴正半轴上的焦点 ，过 F 且斜率为 $-\sqrt{2}$ 的直线 I C 交于 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两点，点 P 满足 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{0}$ ．
（ I ）证明：点 P 在 C 上；
（II）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q ，证明： $\mathrm{A} , \mathrm{P} , \mathrm{~B} , \mathrm{Q}$ 四点在同一圆上．

22．（14分）（2011 • 山东）已知直线 $l$ 与随圆 $C: \frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$ 交于 $P\left(x_{1}, y_{1}\right), Q\left(x_{2}, y_{2}\right.$ ）两不同点，且 $\triangle O P Q$ 的面积 $S_{\triangle O P Q}=\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，其中 $O$ 为坐标原点．
（I）证明 $\mathrm{x}_{1}{ }^{2}+\mathrm{x}_{2}{ }^{2}$ 和 $\mathrm{y}_{1}{ }^{2}+\mathrm{y}_{2}{ }^{2}$ 均为定值；
（II）设线段 $P Q$ 的中点为 $M$ ，求 $|O M| \cdot|P Q|$ 的最大值；
（III）椭圆 C 上是否存在点 $\mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{G}$ ，使得 $\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{ODE}}=\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{ODG}}=\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{OEG}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$ ？若存在，判断 $\triangle \mathrm{DE}$ G 的形状；若不存在，请说明理由．

## 2011年山东省高考数学试卷（理科）

10．在抛物线 $y=x^{2}=a x-5(a \neq 0)$ 上取横坐标为 $x_{1}=-4, x_{2}=2$ 的两点，过这两点引条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 $5 x^{2}+5 y^{2}=36$ 相切，则抛物线顶点的坐标为

9．（5分）（2011•浙江）已知椭圆 $\mathrm{C}_{1}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ 与双曲线 $\mathrm{C}_{2}: \mathrm{x}^{2}-\frac{\mathrm{y}^{2}}{4}=1$ 有公共的焦点， $\mathrm{C}_{2}$ 的一条渐近线与以 $\mathrm{C}_{1}$ 的长轴为直径的圆相交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点．若 $\mathrm{C}_{1}$ 恰好将线段 AB 三等分，则

12．（5分）已知椭圆 $\mathrm{T}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过右焦点 F 且斜率为 $k(k>0)$ 的直线与 $T$ 相交于 $A$ ，$B$ 两点，若 $\overline{\mathrm{AF}}=3 \overline{\mathrm{FB}}$ ，则 $k=$（ ）

12．（5分）已知椭圆T：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过右焦点 $F$ 且斜率为 $k ~(k>0) ~$ 的直线与 $T$ 相交于 $A$ ，$B$ 两点，若 $\overline{\mathrm{AF}}=3 \overline{\mathrm{FB}}$ ，则 $k=$（）

15．（5分）已知抛物线 $\mathrm{C}: \mathrm{y}^{2}=2 \mathrm{px} ~(\mathrm{p}>0) ~$ 的准线，过 $\mathrm{M}(1,0)$ 且斜率为 $\sqrt{3}$的直线与 $I$ 相交于 $A$ ，与 $C$ 的一个交点为 $B$ ，若 $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ ，则 $p=$

15．（5分）已知抛物线 $C: y^{2}=2 p x ~(p>0) ~$ 的准线，过 $M(1,0)$ 且斜率为 $\sqrt{3}$的直线与 $I$ 相交于 $A$ ，与 $C$ 的一个交点为 $B$ ，若 $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ ，则 $p=$ $\_\_\_\_$ 2。

21．（12分）已知斜率为1的直线 $\mid$ 与双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 相交于B、 D 两点，且 BD 的中点为 $\mathrm{M}(1,3)$ ．
（I）求C的离心率；
（II）设C的右顶点为A，右焦点为F，$|\mathrm{DF}| \bullet|\mathrm{BF}|=17$ ，证明：过A、B、D三点的圆与 x 轴相切．

11．（5分）已知直线 $y=k(x+2)(k>0)$ 与抛物线 $C: y^{2}=8 x$ 相交于 $A , B$ 两点， $F$ 为 $C$ 的焦点，若 $|F A|=2|F B|$ ，则 $k=$（ ）

（20）（本小题满分 12 分）
已知，椭圆 C 过点 $\mathrm{A}\left(1, \frac{3}{2}\right)$ ，两个焦点为 $(-1,0),(1,0)$ 。
（I）求椭圆 C 的方程；
（II） $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值。

（21）（满分 14 分）
以知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1}(-c, 0)$ 和 $F_{2}(c, 0)(c>0)$ ，过点 $E\left(\frac{a^{2}}{c}, 0\right)$ 的直线与陏圆相交与 $A, B$ 两点，且 $F_{1} A / / F_{2} B,\left|F_{1} A\right|=2\left|F_{2} B\right|$ 。
（1）求椭圆的离心率
（2）求直线 AB 的斜率；
③设点 C 与点 A 关于坐标原点对称，直线 $F_{2} B$ 上有一点 $H(m, n)(m \neq 0)$ 在 $\Delta A F_{1} C$ 的外接圆上，求 $\frac{n}{m}$ 的值

21．（12分）（2009•陕西）已知双曲线C的方程为 $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ ，离心率 $\mathrm{e}=\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，顶点到渐近线的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．
（I）求双曲线 C 的方程；
（II）如图， P 是双曲线 C 上一点， $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点在双曲线 C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{PB}}, \lambda \in\left[\frac{1}{3}, 2\right]$ ，求 $\triangle \mathrm{AOB}$ 面积的取值范围．

（21）（本小题满分 12 分）
已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2}$ ，离心率 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，右准线方程为 $\mathrm{x}=2$ ．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与该椭圆相交于 $\mathrm{M} , \mathrm{~N}$ 两点，且 $\left|\overrightarrow{F_{2} M}+\overrightarrow{F_{2} N}\right|=\frac{2 \sqrt{26}}{3}$ ，求直线 $l$ 的方程式．

21．（12分）已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，过右焦点 $F$ 的直线 $l$ 与 C 相交于 A 、 B 两点，当 I 的斜率为 1 时，坐标原点 O 到 I 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， （I）求 a ， b 的值；
（II） C 上是否存在点 P ，使得当绕 F 转到某一位置时，有 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ 成立？若存

在，求出所有的 P 的坐标与 $l$ 的方程；若不存在，说明理由．

21．（2009 浙江理 21）已知椭圆 $C_{1}: \frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右顶点为 $A(1,0)$ ，过 $C_{1}$ 的焦点且垂直长轴的弦长为 1 。
（1）求椭圆 $C_{1}$ 的方程；
（II）设点 $P$ 在抛物线 $C_{2}: y=x^{2}+h(h \in \boldsymbol{R})$ 上，$C_{2 \text { 在点 } P \text { 处的切线与 } C_{1} \text { 交于点 }} M, N$ 当线段 $A P$ 的中点与 $M N$ 的中点的横坐标相等时，求 $h$ 的最小值。

4．（5分）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的渐近线与抛物线 $y=x^{2}+1$ 相切 ，则该双曲线的离心率为（ ）

5．（5分）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的渐近线与抛物线 $y=x^{2}+1$ 相切 ，则该双曲线的离心率为（ ）

14．设双曲线 $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ 的右顶点为 $A$ ，右焦点为 $F$ ．过点 $F$ 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 $B$ ，则 $\triangle A F B$ 的面积为 $\_\_\_\_$。

15．（5分）已知 $F$ 是抛物线 $C$ ：$y^{2}=4 x$ 的焦点，$A, B$ 是 $C$ 上的两个点，线段 $A B$ 的中点为 $\mathrm{M}(2,2)$ ，则 $\triangle \mathrm{ABF}$ 的面积等于 $\_\_\_\_$ 2 ．

19．（本小题共14分）
已知菱形 $A B C D$ 的顶点 $A, C$ 在椭圆 $x^{2}+3 y^{2}=4$ 上，对角线 $B D$ 所在直线的斜率为 1 ．
（I）当直线 $B D$ 过点 $(0,1)$ 时，求直线 $A C$ 的方程；
（II）当 $\angle A B C=60^{\circ}$ 时，求菱形 $A B C D$ 面积的最大值．

（19）（本小题共14分）
已知 $\triangle A B C$ 的顶点 $A, B$ 在椭圆 $x^{2}+3 y^{2}=4$ 上， C 在直线 $l: y=x+2$ 上，且 $A B / / l$ ．
（I）当 $A B$ 边通过坐标原点 $O$ 时，求 $A B$ 的长及 $\triangle A B C$ 的面积；
（II）当 $\angle A B C=90^{\circ}$ ，且斜边 $A C$ 的长最大时，求 $A B$ 所在直线的方程．

21．（12分）双曲线的中心为原点 O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 $\mathrm{I}_{1}, \mathrm{I}_{2}$ ，经过右焦点 $F$ 垂直于 $I_{1}$ 的直线分别交 $I_{1}, I_{2}$ 于 $A, B$ 两点。已知 $|\overrightarrow{O A}| ,|\overrightarrow{A B}| , \mid \overrightarrow{O B}$ ｜成等差数列，且 $\overrightarrow{\mathrm{BF}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{FA}}$ 同向．
（I）求双曲线的离心率；
（II）设 $A B$ 被双曲线所截得的线段的长为 4 ，求双曲线的方程．

21．（本小题满分 12 分）

设点 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 在直线 $x=m(y \neq \pm m, 0（1）过点 $A$ 作直线 $x-y=0$ 的垂线，垂足为 $N$ ，试求 $\triangle A M N$ 的重心 $G$ 所在的曲线方程；

（2）求证：$A , M , B$ 三点共线．

22．（12分）双曲线的中心为原点 O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 $\mathrm{I}_{1}, \mathrm{I}_{2}$ ，经过右焦点 $F$ 垂直于 $I_{1}$ 的直线分别交 $I_{1}, I_{2}$ 于 $A, B$ 两点。已知 $|\overrightarrow{O A}| ,|\overrightarrow{A B}| , \mid \overrightarrow{O B}$

｜成等差数列，且 $\overrightarrow{\mathrm{BF}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{FA}}$ 同向．
（I）求双曲线的离心率；
（II）设 $A B$ 被双曲线所截得的线段的长为 4 ，求双曲线的方程．

（22）（本小题满分 14 分）
已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 $F_{1}(-3,0)$ ，一条渐近线的方程是 $\sqrt{5} x-2 y=0$ ．
（I）求双曲线 C 的方程；
（II）若以 $k(k \neq 0)$ 为斜率的直线 $l$ 与双曲线 C 相交于两个不同的点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ ，且线段 MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 $\frac{81}{2}$ ，求 $k$ 的取值范围．

22．（12分）设栯圆中心在坐标原点，$A(2,0), B(0,1)$ 是它的两个顶点 ，直线 $y=k x(k>0)$ 与 $A B$ 相交于点 $D$ ，与椭圆相交于 $E , F$ 两点．

（I）若 $\overrightarrow{\mathrm{ED}}=6 \overrightarrow{\mathrm{DF}}$ ，求 k 的值；
（II）求四边形AEBF面积的最大值．