忽略判别式高考易错题

19．已知椭圆方程 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，焦点和短轴端点构成边长为 2 的正方形，过 $(0, t)(t>\sqrt{2})$
的直线 $l$ 与椭圆交于 $A, B, C(0,1)$ ，连接 $A C$ 交椭圆于 $D$ ．
（1）求椭圆方程和离心率；
（2）若直线 $B D$ 的斜率为 0 ，求 $t$ ．

22．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=\rho \cos \theta+1$ ．
（1）写出 $C$ 的直角坐标方程；
②设直线 $l:\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=t+a\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），若 $C$ 与 $l$ 相交于 $A , B$ 两点，若 $|A B|=2$ ，求 $a$ 的值．

18．设椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $M\left(1, \frac{3}{2}\right)$ 在 $C$ 上，且 $M F \perp x$ 轴．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）过点 $P(4,0)$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，$N$ 为线段 $F P$ 的中点，直线 $N B$ 交直线 $M F$ 于点 $Q$ ，证明：$A Q \perp y$ 轴．

19．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=\rho \cos \theta+1$ ．
（1）写出 $C$ 的直角坐标方程；

②设直线 $l:\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=t+a\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），若 $C$ 与 $l$ 相交于 $A , B$ 两点，若 $|A B|=2$ ，求 $a$ 的值．

11．设 $A, B$ 为双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{9}=1$ 上两点，下列四个点中，可为线段 $A B$ 中点的是（ ）

12．设 $A, B$ 为双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{9}=1$ 上两点，下列四个点中，可为线段 $A B$ 中点的是（ ）

5．已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，直线 $y=x+m$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，若 $\triangle F_{1} A B$ 面积是 $\triangle F_{2} A B$ 面积的 2 倍，则 $m=$（ ）．

21．设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $D(p, 0)$ ，过 $F$ 的直线交 $C$ 于 $M, N$ 两点．当直线 $M D$垂直于 $x$ 轴时，$|M F|=3$ ．
（1）求 $C$ 的方程；
②设直线 $M D, N D$ 与 $C$ 的另一个交点分别为 $A, B$ ，记直线 $M N, A B$ 的倾斜角分别为 $\alpha, \beta$ 。当 $\alpha-\beta$取得最大值时，求直线 $A B$ 的方程．

21．已知点 $A(2,1)$ 在双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}-1}=1(a>1)$ 上，直线 $l$ 交 $C$ 于 $P, Q$ 两点，直线 $A P, A Q$ 的斜率之和为 0 ．
（1）求 $l$ 的斜率；
（2）若 $\tan \angle P A Q=2 \sqrt{2}$ ，求 $\triangle P A Q$ 的面积．

21．如图，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{12}+y^{2}=1$ ．设 $A, B$ 是椭圆上异于 $P(0,1)$ 的两点，且点 $Q\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 在线段 $A B$ 上，直线 $P A, P B$ 分别交直线 $y=-\frac{1}{2} x+3$ 于 $C, D$ 两点．

（1）求点 $P$ 到椭圆上点的距离的最大值；
（2）求 $|C D|$ 的最小值．

20．已知抛物线 $y^{2}=x$ 上的动点 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，过 $M$ 分别作两条直线交抛物线于 $P , Q$ 两点，交直线 $x=t$ 于 $A , B$ 两点．
（1）若点 $M$ 纵坐标为 $\sqrt{2}$ ，求 $M$ 与焦点的距离；
（2）若 $t=-1, P(1,1), Q(1,-1)$ ，求证：$y_{A} \cdot y_{B}$ 为常数；
（3）是否存在 $t$ ，使得 $y_{A} \cdot y_{B}=1$ 且 $y_{P} \cdot \underline{y}$ 为常数？若存在，求出 $t$ 的所有可能值，若不存在，请说明理由．

19．已知椭圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点 $F$ 与抛物线 $C_{2}$ 的焦点重合，$C_{1}$ 的中心与 $C_{2}$ 的顶点重合．过 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线交 $C_{1}$ 于 $A, B$ 两点，交 $C_{2}$ 于 $C, D$ 两点，且 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$ ．
（1）求 $C_{1}$ 的离心率；
②设 $M$ 是 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共点，若 $|M F|=5$ ，求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的标准方程．

13．斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线过抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点，且与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|=$

21．已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{m^{2}}=1(0<m<5)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{15}}{4}, A, B$ 分别为 $C$ 的左、右顶点．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）若点 $P$ 在 $C$ 上，点 $Q$ 在直线 $x=6$ 上，且 $|B P|=|B Q|, B P \perp B Q$ ，求 $\triangle A P Q$ 的面积

19.

设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F$ ，左顶点为 $A$ ，顶点为 $B$ 。已知 $\sqrt{3}|O A|=2|O B|$（ $O$ 为原点）
（I）求椭圆的离心率；
（II）设经过点 $F$ 且斜率为 $\frac{3}{4}$ 的直线 $l$ 与椭圆在 $x$ 轴上方的交点为 $P$ ，圆 $C$ 同时与 $x$ 轴和直线 $l$ 相切，圆心 $C$ 在直线 $x=4$ 上，且 $O C / / A P$ ，求椭圆的方程．

10．设 $m \in R$ ，若 z 是关于 $x$ 的方程 $x^{2}+m x+m^{2}-1=0$ 的一个虚根，则 $|\bar{z}|$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$

14．（5分）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右支与焦点为 $F$ 的抛物线 $x^{2}=2 p y(p>0)$ 交于 $A$ ，$B$ 两点，若 $|A F|+|B F|=4|O F|$ ，则该双曲线的渐近线方程为 $\_\_\_\_$ ．

20、（本小题满分 13 分）
已知椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点 $P\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ 在椭圆 $E$ 上。
（I）求椭圆 $E$ 的方程；
（II）设不过原点 $O$ 且斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 E 交于不同的两点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ，线段 AB 的中点为 M ，直线 OM 与椭圆 E 交于 C，D，证明：$|M A| \cdot|M B|=|M C| \cdot|M D|$ 。

20．（12分）设圆 $x^{2}+y^{2}+2 x-15=0$ 的圆心为 $A$ ，直线过点 $B(1,0)$ 且与 $x$ 轴不重合， I 交圆 A 于 $\mathrm{C}, \mathrm{D}$ 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E ．
（I）证明 $|E A|+|E B|$ 为定值，并写出点 $E$ 的轨迹方程；
（II）设点 E 的轨迹为曲线 $\mathrm{C}_{1}$ ，直线 $l$ 交 $\mathrm{C}_{1}$ 于 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 两点，过 B 且与 I 垂直的直线与圆 $A$ 交于 $P, Q$ 两点，求四边形 $M P N Q$ 面积的取值范围．

10．（6 分）（2016 •浙江）已知 $\mathrm{a} \in \mathrm{R}$ ，方程 $\mathrm{a}^{2} \mathrm{x}^{2}+(\mathrm{a}+2) \mathrm{y}^{2}+4 \mathrm{x}+8 \mathrm{y}+5 \mathrm{a}=0$ 表示圆，则圆心坐标是 $\_\_\_\_$ （－2，－4） ，半径是 $\_\_\_\_$ 5。

20．（本小题满分 12 分）已知椭圆 $\mathrm{E}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的半焦距为 $c$，原点 O 到经过两点 $(c, 0)$,
$(0, b)$ 的直线的距离为 $\frac{1}{2} c$．
（I）求椭圆 E 的离心率；

（II）如图， AB 是圆 $\mathrm{M}:(x+2)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{5}{2}$ 的一条直径，若椭圆 E 经过 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，求椭圆 E 的方程。

18、（本小题满分 12 分）

一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．
（I）请按字母 $F, G, H$ 标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）
（II）判断平面 $B E G$ 与平面 $A C H$ 的位置关系．并说明你的结论．
（III）证明：直线 $D F \perp$ 平面 $B E G$

16．已知函数 $f(x)=\sin (x+\theta)+a \cos (x+2 \theta)$，其中 $a \in R, \theta \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$
（1）当 $a=\sqrt{2}, \theta=\frac{\pi}{4}$ 时，求 $f(x)$ 在区间 $[0, \pi]$ 上的最大值与最小值；
（2）若 $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0, f(\pi)=1$，求 $a, \theta$ 的值．

19．（本小题满分 13 分）已知双曲线 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两条渐近线分别为 $l_{1}: y=2 x, l_{2}: y=-2 x$.
（1）求双曲线 $E$ 的离心率；
（2）如图，$O$ 为坐标原点，动直线 $l$ 分别交直线 $l_{1}, l_{2}$ 于 $A, B$ 两点 $(A, B$ 分别在第一，四象限），且 $\triangle O A B$ 的面积恒为 8，试探究：是否存在总与直线 $l$ 有且只有一个公共点的双曲线 $E$ ？若存在，求出双曲线 $E$ 的方程；若不存在，说明理由．

14．平面上以机器人在行进中始终保持与点 $F(1,0)$ 的距离和到直线 $x=-1$ 的距离相等．若机器人接触不到过点 $P(-1,0)$ 且斜率为 $k$ 的直线，则 $k$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$．

20．（本小题满分 12 分）
圆 $x^{2}+y^{2}=4$ 的切线与 x 轴正半轴， y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 P （如图）．
（ I ）求点 P 的坐标；

（II）焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 P ，且与直线 $l: y=x+\sqrt{3}$ 交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，若 $\triangle P A B$ 的面积为 2 ，求 C的标准方程。

（19）（本小题满分 13 分）
设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=2, a_{2}+a_{4}=8$，且对任意 $n \in N^{*}$，函数

$f(x)=\left(a_{n}-a_{n+1}+a_{n+2}\right) x+a_{n+1} \cdot \cos x-a_{n+2} \cdot \sin x \quad$ 满足 $f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）若 $b_{n}=2\left(a_{n}+\frac{1}{2^{a_{n}}}\right)$，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$．

12．（5分）已知椭圆T：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过右焦点 $F$ 且斜率为 $k ~(k>0) ~$ 的直线与 $T$ 相交于 $A$ ，$B$ 两点，若 $\overline{\mathrm{AF}}=3 \overline{\mathrm{FB}}$ ，则 $k=$（）

15．（5分）已知 $F$ 是抛物线 $C$ ：$y^{2}=4 x$ 的焦点，过 $F$ 且斜率为 1 的直线交 $C$ 于 $A$ ，$B$ 两点．设 $|F A|>|F B|$ ，则 $|F A|$ 与 $|F B|$ 的比值等于 $\_\_\_\_$ $3+2 \sqrt{2}$。

15．（5分）已知 $F$ 是抛物线 $C$ ：$y^{2}=4 x$ 的焦点，$A, B$ 是 $C$ 上的两个点，线段 $A B$ 的中点为 $\mathrm{M}(2,2)$ ，则 $\triangle \mathrm{ABF}$ 的面积等于 $\_\_\_\_$ 2 ．