2024_全国甲卷 (2024·文)
15．已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n}=3 a_{n+1}-3$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{S_{n}\right\}$ 的通项公式。
【答案】①$a_{n}=\left(\frac{5}{3}\right)^{n-1}$
②$\frac{3}{2}\left(\frac{5}{3}\right)^{n}-\frac{3}{2}$
## 【解析】
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；
（2）利用等比数列的求和公式可求 $S_{n}$ ．
## 【小问 1 详解】
因为 $2 S_{n}=3 a_{n+1}-3$ ，故 $2 S_{n-1}=3 a_{n}-3$ ，
所以 $2 a_{n}=3 a_{n+1}-3 a_{n}(n \geq 2)$ 即 $5 a_{n}=3 a_{n+1}$ 故等比数列的公比为 $q=\frac{5}{3}$ ，
故 $2 a_{1}=3 a_{2}-3=3 a_{1} \times \frac{5}{3}-3=5 a_{1}-3$ ，故 $a_{1}=1$ ，故 $a_{n}=\left(\frac{5}{3}\right)^{n-1}$ ．
## 【小问 2 详解】
由等比数列求和公式得 $S_{n}=\frac{1 \times\left[1-\left(\frac{5}{3}\right)^{n}\right]}{1-\frac{5}{3}}=\frac{3}{2}\left(\frac{5}{3}\right)^{n}-\frac{3}{2}$ ．