数列下标错位高考易错题专题，共 133 道真题，覆盖 17 个年份、116 套试卷，适合老师备课、讲评和归纳训练。
18．记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，且 $4 S_{n}=3 a_{n}+4$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设 $b_{n}=(-1)^{n-1} n a_{n}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．
4．等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{9}=1, a_{3}+a_{7}=()$
15．已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n}=3 a_{n+1}-3$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{S_{n}\right\}$ 的通项公式。
19．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公比大于 0 的等比数列．其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．若 $a_{1}=1, S_{2}=a_{3}-1$ ．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；
②设 $b_{n}=\left\{\begin{array}{l}k, n=a_{k} \\ b_{n-1}+2 k, a_{k}
（ii）求 $\sum_{i=1}^{S_{n}} b_{i}$ ．
12．记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3}+a_{4}=7,3 a_{2}+a_{5}=5$ ，则 $S_{10}=$
5．记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{2}+a_{6}=10, a_{4} a_{8}=45$ ，则 $S_{5}=~(\quad)$
15．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，$a_{2} a_{4} a_{5}=a_{3} a_{6}, a_{9} a_{10}=-8$ ，则 $a_{7}=$ $\_\_\_\_$ ．
19．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$a_{2}+a_{5}=16, a_{5}-a_{3}=4$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式和 $\sum_{i=2^{n-1}}^{2^{n}-1} a_{i}$ ．
（2）已知 $\left\{b_{n}\right\}$ 为等比数列，对于任意 $k \in \mathrm{~N}^{*}$ ，若 $2^{k-1} \leq n \leq 2^{k}-1$ ，则 $b_{k}
21．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.6 ，乙每次投篮的命中率均为 0.8 ．由抽签确定第 1次投篮的人选，第 1 次投篮的人是甲、乙的概率各为 0.5 ．
（1）求第 2 次投篮的人是乙的概率；
（2）求第 i 次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量 $X_{i}$ 服从两点分布，且 $P\left(X_{i}=1\right)=1-P\left(X_{i}=0\right)=q_{i}, i=1,2, \cdots, n$ ，则 $E\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} q_{i}$ ．记前 $n$ 次（即从第 1 次到第 $n$ 次投篮）中甲投篮的次数为 $Y$ ，求 $E(Y)$ 。
18．$\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，$b_{n}=\left\{\begin{array}{l}a_{n}-6, n \text { 为奇数 } \\ 2 a_{n}, n \text { 为偶数 }\end{array}\right.$ ，记 $S_{n}, T_{n}$ 分别为数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和， $S_{4}=32, \quad T_{3}=16$.
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）证明：当 $n>5$ 时，$T_{n}>S_{n}$ ．
10．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{n+1}=a_{n}-\frac{1}{3} a_{n}^{2}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ，则（ ）
10．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增的整数数列，且 $a_{1} \geq 3, a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=100$ ，则 $n$ 的最大值为
19．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 1 的等比数列，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $b_{n}=\frac{n a_{n}}{3}$ 。已知 $a_{1}, 3 a_{2}, 9 a_{3}$ ，成等差数列．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）记 $S_{n}$ ，和 $T_{n}$ 分别为 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．证明：$T_{n}<\frac{S_{n}}{2}$ ．
1．已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项为 3 ，公差为 2 ，则 $a_{10}=$ $\_\_\_\_$ 21。
【思路分析】由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解。
19.
已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为 2 的等差数列，其前 8 项和为 $64 .\left\{b_{n}\right\}$ 是公比大于 0 的等比数列， $b_{1}=4, b_{3}-b_{2}=48$.
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）记 $c_{n}=b_{2 n}+\frac{1}{b_{n}}, n \in N^{*}$ ，
（i）证明 $\left\{c_{n}^{2}-c_{2 n}\right\}$ 是等比数列；
（ii）证明 $\sum_{k=1}^{n} \sqrt{\frac{a_{k} a_{k+1}}{c_{k}^{2}-c_{2 k}}}<2 \sqrt{2}\left(n \in N^{*}\right)$
17．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{n+1}=\left\{\begin{array}{l}a_{n}+1, n \text { 为奇数，} \\ a_{n}+2, n \text { 为偶数．}\end{array}\right.$
（1）记 $b_{n}=a_{2 n}$ ，写出 $b_{1}, b_{2}$ ，并求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 20 项和．
10．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{n+1}=\frac{a_{n}}{1+\sqrt{a_{n}}}\left(n \in \mathrm{~N}^{*}\right)$ ．记数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（ ）
25．甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球。现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 $n$ 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 $X_{n}$ ，恰有 2 个黑球的概率为 $p_{n}$ ，恰有 1 个黑球的概
率为 $q_{n}$ ．
（1）求 $p_{1} \cdot q_{1}$ 和 $p_{2} \cdot q_{2}$ ；
（2）求 $2 p_{n}+q_{n}$ 与 $2 p_{n-1}+q_{n-1}$ 的递推关系式和 $X_{n}$ 的数学期望 $E\left(X_{n}\right)$（用 $n$ 表示）。
## 答案解析
18．已知各项均为正数的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1}=1$ ．
（1）若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，$S_{10}=70$ ，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，$a_{4}=\frac{1}{8}$ ，求满足 $S_{n}>100 a_{n}$ 时 $n$ 的最小值．
17．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公比不为 1 的等比数列，$a_{1}$ 为 $a_{2}, a_{3}$ 的等差中项．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比；
（2）若 $a_{1}=1$ ，求数列 $\left\{n a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．
10．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列，且 $a_{1}+a_{2}+a_{3}=1, a_{2}+a_{3}+a_{4}=2$ ，则 $a_{6}+a_{7}+a_{8}=()$
16．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+2}+(-1)^{n} a_{n}=3 n-1$ ，前 16 项和为 540 ，则 $a_{1}=$
14．将数列 $\{2 n-1\}$ 与 $\{3 n-2\}$ 的公共项从小到大排列得到数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $\_\_\_\_$。
6．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=2, a_{m+n}=a_{m} a_{n}$ ，若 $a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots+a_{k+10}=2^{15}-2^{5}$ ，则 $k=$（ ）
6．记 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{5}-a_{3}=12, a_{6}-a_{4}=24$ ，则 $\frac{S_{n}}{a_{n}}=$
14．记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{1}=-2, a_{2}+a_{6}=2$ ，则 $S_{10}=$ $\_\_\_\_$ ．
17．设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=3, a_{n+1}=3 a_{n}-4 n$ ．
（1）计算 $a_{2}, a_{3}$ ，猜想 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式并加以证明；
（2）求数列 $\left\{2^{n} a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．
11．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n}=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}$ ，则 $S_{3}=$ $\_\_\_\_$ 10 ．
20．已知数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\},\left\{\mathrm{c}_{\mathrm{n}}\right\}$ 中，$a_{1}=b_{1}=c_{1}=1, c_{n+1}=a_{n+1}-a_{n}, c_{n+1}=\frac{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{b}_{\mathrm{n}+2}} \cdot \mathrm{c}_{\mathrm{n}}(n \in \mathrm{~N} *)$ ．
（I）若数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 为等比数列，且公比 $q>0$ ，且 $b_{1}+b_{2}=6 b_{3}$ ，求 $q$ 与 $a_{n}$ 的通项公式；
（II）若数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 为等差数列，且公差 $d>0$ ，证明：$c_{1}+c_{2}+\cdots+\mathrm{c}_{\mathrm{n}}<1+\frac{1}{\mathrm{~d}}$ ．
20．（13 分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，从中选取第 $i_{1}$ 项、第 $i_{2}$ 项、⋯、第 $i_{m}$ 项 $\left(i_{1}
（II）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的长度为 $p$ 的递增子列的末项的最小值为 $a \mathrm{~m}_{0}$ ，长度为 $q$ 的递增子列的末项的最小值为 $a \mathrm{n}_{0}$ ．若 $p
18．设 $\left\{a_{\mathrm{n}}\right\}$ 是等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列，公比大于 0 ，已知 $a_{1}=b_{1}=3, b_{2}=a_{3}, b_{3}=4 a_{2}+3$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 满足 $c_{n}= \begin{cases}1, & n \text { 为奇数，} \\ b_{\frac{n}{2}} & n \text { 为偶数，求 } a_{1} c_{1}+a_{2} c_{2}+\cdots+a_{2 n} c_{2 n} \quad\left(n \in N^{*}\right) \text { ．}\end{cases}$
9．记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．已知 $S_{4}=0, a_{5}=5$ ，则
20．设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{3}=4, a_{4}=S_{3}$ ，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足：对每 $n \in \mathbf{N}^{*}, S_{n}+b_{n}, S_{n+1}+b_{n}, S_{n+2}+b_{n}$ 成等比数列．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）记 $C_{n}=\sqrt{\frac{a_{n}}{2 b_{n}}}, n \in \mathbf{N}^{*}$ ，证明：$C_{1}+C_{2}+\cdots+C_{n}<2 \sqrt{n}, n \in \mathbf{N}^{*}$ ．
5．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，若 $a_{2}+a_{8}=10$ ，则 $a_{3}+a_{5}+a_{7}=$ $\_\_\_\_$
18．（13分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，前 $n$ 项和为 $S_{n}\left(n \in N^{*}\right),\left\{b_{n}\right\}$ 是首项为 2 的等比数列，且公比大于 $0, b_{2}+b_{3}=12, b_{3}=a_{4}-2 a_{1}, S_{11}=11 b_{4}$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）求数列 $\left\{a_{2 n} b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $\left(n \in N^{*}\right)$ 。
（19）（本小题满分 12 分）
已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是各项均为正数的等比数列，且 $a_{1}+a_{2}=6, a_{1} a_{2}=a_{3}$
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 通项公式；
（II）$\left\{b_{n}\right\}$ 为各项非零的等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 知 $S_{2 n+1}=b_{n} b_{n+1}$ ，求数列
$\left\{\frac{b_{n}}{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．
4．（5分）记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{4}+a_{5}=24, S_{6}=48$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为（ ）
15．（13 分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列，且 $b_{2}=3, b_{3}=9, a_{1}=b_{1}$ ， $a_{14}=b_{4}$.
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设 $c_{n}=a_{n}+b_{n}$ ，求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．
18．（13分）（2016•天津）已知 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是各项均为正数的等差数列，公差为 d ，对任意的 $\mathrm{n} \in N^{+}, b_{n}$ 是 $a_{n}$ 和 $a_{n+1}$ 的等比中项。
（1）设 $\mathrm{c}_{\mathrm{n}}=\mathrm{b}{ }_{\mathrm{n}+1}^{2}-\mathrm{b} \frac{2}{\mathrm{n}}, \mathrm{n} \in \mathrm{N}^{+}$，求证：数列 $\left\{\mathrm{c}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是等差数列；
（2）设 $\mathrm{a}_{1}=\mathrm{d}, \mathrm{T}_{\mathrm{n}}=\sum_{\mathrm{k}=1}^{2 \mathrm{n}}(-1){ }^{\mathrm{k}} \mathrm{b}_{\mathrm{k}}^{2}, n \in \mathrm{~N}^{*}$ ，求证：$\sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} \frac{1}{\mathrm{~T}_{\mathrm{k}}}<\frac{1}{2 \mathrm{~d}^{2}}$ ．
3．（5分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 9 项的和为 $27, a_{10}=8$ ，则 $a_{100}=$（）