（12分）等比数列 a_ n 中， a_ 1 =1, a_…——2018 高考数学第 17 题答案解析

【考点】89：等比数列的前 n 项和．
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列

【分析】（1）利用等比数列通项公式列出方程，求出公比 $q= \pm 2$ ，由此能求出 $\{a \left.{ }_{n}\right\}$ 的通项公式。
（2）当 $a_{1}=1, ~ q=-2$ 时，$S_{n}=\frac{1-(-2)^{n}}{3}$ ，由 $S_{m}=63$ ，得 $S_{m}=\frac{1-(-2)^{m}}{3}=63, m \in N$ ，无解；当 $a_{1}=1, q=2$ 时，$S_{n}=2^{n}-1$ ，由此能求出 $m$ ．

【解答】解：（1）∵ 等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, a_{5}=4 a_{3}$ ．
$\therefore 1 \times q^{4}=4 \times\left(1 \times q^{2}\right)$ ，
解得 $\mathrm{q}= \pm 2$ ，
当 $q=2$ 时，$\quad a_{n}=2^{n-1}$ ，
当 $q=-2$ 时，$a_{n}=(-2)^{n-1}$ ，
$\therefore\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为，$a_{n}=2^{n-1}$ ，或 $a_{n}=(-2)^{n-1}$ 。
（2）记 $S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和。
当 $a_{1}=1, \quad q=-2$ 时，$\quad S_{n}=\frac{a_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}=\frac{1-(-2)^{n}}{1-(-2)}=\frac{1-(-2)^{n}}{3}$ ，
由 $\mathrm{S}_{\mathrm{m}}=63$ ，得 $\mathrm{S}_{\mathrm{m}}=\frac{1-(-2)^{\mathrm{m}}}{3}=63, \mathrm{~m} \in \mathrm{~N}$ ，无解；
当 $a_{1}=1, \quad q=2$ 时，$S_{n}=\frac{a_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}=\frac{1-2^{n}}{1-2}=2^{n}-1$ ，

由 $S_{m}=63$ ，得 $S_{m}=2^{m}-1=63, m \in N$ ，
解得 $m=6$ ．
【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．