等比数列　·　历年高考数学真题与解析

15．已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n}=3 a_{n+1}-3$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{S_{n}\right\}$ 的通项公式。

18．记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，且 $4 S_{n}=3 a_{n}+4$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设 $b_{n}=(-1)^{n-1} n a_{n}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．

19．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公比大于 0 的等比数列．其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．若 $a_{1}=1, S_{2}=a_{3}-1$ ．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

②设 $b_{n}=\left\{\begin{array}{l}k, n=a_{k} \\ b_{n-1}+2 k, a_{k}（i）当 $n=a_{k+1}$ 时，求证：$b_{n-1} \geq a_{k} \cdot b_{n}$ ；
（ii）求 $\sum_{i=1}^{S_{n}} b_{i}$ ．

13．记 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $8 S_{6}=7 S_{3}$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $\_\_\_\_$ ．

15．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，$a_{2} a_{4} a_{5}=a_{3} a_{6}, a_{9} a_{10}=-8$ ，则 $a_{7}=$ $\_\_\_\_$ ．

19．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$a_{2}+a_{5}=16, a_{5}-a_{3}=4$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式和 $\sum_{i=2^{n-1}}^{2^{n}-1} a_{i}$ ．
（2）已知 $\left\{b_{n}\right\}$ 为等比数列，对于任意 $k \in \mathrm{~N}^{*}$ ，若 $2^{k-1} \leq n \leq 2^{k}-1$ ，则 $b_{k}（I）当 $k \geq 2$ 时，求证： $2^{k}-1（II）求 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式及其前 $n$ 项和。

5．已知正项等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和，$S_{5}=5 S_{3}-4$ ，则 $S_{4}=()$
A 7
B． 9
C． 15
D． 30

6．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，$S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，$a_{n+1}=2 S_{n}+2$ ，则 $a_{4}$ 的值为（）

10．已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 3 项和为 $168, a_{2}-a_{5}=42$ ，则 $a_{6}=$（）
A 14
B． 12
C． 6
D． 3

9．在无穷等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中， $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{1}-a_{n}\right)=4$ ，则 $a_{2}$ 的取值范围是＿$(-4, ~ 0) \cup(0, ~ 4)-$

【思路分析】由无穷等比数列的概念可得公比 $q$ 的取值范围，再由极限的运算知 $a_{1}=4$ ，从而得解。

10．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列，且 $a_{1}+a_{2}+a_{3}=1, a_{2}+a_{3}+a_{4}=2$ ，则 $a_{6}+a_{7}+a_{8}=()$

11．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列。已知数列 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=n^{2}-n+2^{n}-1\left(n \in \mathbf{N}^{+}\right)$，则 $d+q$ 的值是 $\_\_\_\_$ ．

17．设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+a_{2}=4, a_{3}-a_{1}=8$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；

（2）记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{\log _{3} a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $S_{m}+S_{m+1}=S_{m+3}$ ，求 $m$ ．

18．已知公比大于 1 的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{2}+a_{4}=20, a_{3}=8$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；

（2）求 $a_{1} a_{2}-a_{2} a_{3}+\ldots+(-1)^{n-1} a_{n} a_{n+1}$ ．

18．已知公比大于 1 的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{2}+a_{4}=20, a_{3}=8$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求 $a_{1} a_{2}-a_{2} a_{3}+\ldots+(-1)^{n-1} a_{n} a_{n+1}$ ．

18．已知各项均为正数的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1}=1$ ．
（1）若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，$S_{10}=70$ ，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，$a_{4}=\frac{1}{8}$ ，求满足 $S_{n}>100 a_{n}$ 时 $n$ 的最小值．

20．已知数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\},\left\{\mathrm{c}_{\mathrm{n}}\right\}$ 中，$a_{1}=b_{1}=c_{1}=1, c_{n+1}=a_{n+1}-a_{n}, c_{n+1}=\frac{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{b}_{\mathrm{n}+2}} \cdot \mathrm{c}_{\mathrm{n}}(n \in \mathrm{~N} *)$ ．
（I）若数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 为等比数列，且公比 $q>0$ ，且 $b_{1}+b_{2}=6 b_{3}$ ，求 $q$ 与 $a_{n}$ 的通项公式；
（II）若数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 为等差数列，且公差 $d>0$ ，证明：$c_{1}+c_{2}+\cdots+\mathrm{c}_{\mathrm{n}}<1+\frac{1}{\mathrm{~d}}$ ．

6．记 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{5}-a_{3}=12, a_{6}-a_{4}=24$ ，则 $\frac{S_{n}}{a_{n}}=$

6．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=2, a_{m+n}=a_{m} a_{n}$ ，若 $a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots+a_{k+10}=2^{15}-2^{5}$ ，则 $k=$（ ）

14．记 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{1}=\frac{1}{3}, a_{4}^{2}=a_{6}$ ，则 $S_{5}=$ $\_\_\_\_$ ．

14．记 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{1}=1, S_{3}=\frac{3}{4}$ ，则 $S_{4}=$ $\_\_\_\_$ ．

18．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=3$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．
（1）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，且 $a_{4}=15$ ，求 $S_{n}$ ；
（2）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}<12$ ，求公比 $q$ 的取值范围．

18．设 $\left\{a_{\mathrm{n}}\right\}$ 是等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列，公比大于 0 ，已知 $a_{1}=b_{1}=3, b_{2}=a_{3}, b_{3}=4 a_{2}+3$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 满足 $c_{n}= \begin{cases}1, & n \text { 为奇数，} \\ b_{\frac{n}{2}} & n \text { 为偶数，求 } a_{1} c_{1}+a_{2} c_{2}+\cdots+a_{2 n} c_{2 n} \quad\left(n \in N^{*}\right) \text { ．}\end{cases}$

18．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是各项均为正数的等比数列，$a_{1}=2, a_{3}=2 a_{2}+16$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设 $b_{n}=\log _{2} a_{n}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．

5．已知各项均为正数的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 4 项和为 15 ，且 $a_{5}=3 a_{3}+4 a_{1}$ ，则 $a_{3}=$

6．已知各项均为正数的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 4 项和为 15 ，且 $a_{5}=3 a_{3}+4 a_{1}$ ，则 $a_{3}=$

10．（4分）已知 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 成等比数列，且 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=\ln \left(a_{1}+a_{2}+a_{3}\right)$ ，若 $a_{1}>1$ ，则（ ）

14．（5分）记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $S_{n}=2 a_{n}+1$ ，则 $S_{6}=$ $\_\_\_\_$ －63 ．

17．（12分）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, a_{5}=4 a_{3}$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）记 $S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $S_{m}=63$ ，求 $m$ ．

17．（12分）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, a_{5}=4 a_{3}$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）记 $S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $S_{m}=63$ ，求 $m$ ．

（18）（本小题满分 13 分）
设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right) ;\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列，公比大于 0，其前 $n$ 项和为 $T_{n}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$．已

知 $b_{1}=1, b_{3}=b_{2}+2, b_{4}=a_{3}+a_{5}, b_{5}=a_{4}+2 a_{6}$．
（I）求 $S_{n}$ 和 $T_{n}$；
（II）若 $S_{n}+\left(T_{1}+T_{2}+\ldots+T_{n}\right)=a_{n}+4 b_{n}$，求正整数 $n$ 的值．

4．（5分）设 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}$ 是非零实数，则＂ $\mathrm{ad}=\mathrm{bc}$＂是＂ $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}$ 成等比数列＂的

5．（5 分）＂十二平均律＂是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 $\sqrt[2]{2}$ ．若第一个单音的频率为 $f$ ，则第八个单音的频率为

12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了＂解数学题获取软件激活码＂的活动。这款软

件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 $1,1,2,1,2,4,1,2,4 , 8,1,2,4,8,16, \ldots$ ，其中第一项是 $2^{0}$ ，接下来的两项是 $2^{0}, 2^{1}$ ，再接下来的三项是 $2^{0}, 2^{1}, 2^{2}$ ，依此类推．求满足如下条件的最小整数 N ： $\mathrm{N}>10$ 0 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂。那么该款软件的激活码是（）

14．（5分）设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+a_{2}=-1, a_{1}-a_{3}=-3$ ，则 $a_{4}=$ $\_\_\_\_$ －8 ．

17．（12分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ， $\mathrm{a}_{1}=-1, \quad \mathrm{~b}_{1}=1, \quad \mathrm{a}_{2}+\mathrm{b}_{2}=2$.
（1）若 $a_{3}+b_{3}=5$ ，求 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $T_{3}=21$ ，求 $S_{3}$ ．

17．（12分）记 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．已知 $S_{2}=2, S_{3}=-6$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求 $\mathrm{S}_{n}$ ，并判断 $\mathrm{S}_{n+1}, \mathrm{~S}_{n}, \mathrm{~S}_{n+2}$ 是否成等差数列．

19．（12分）已知 $\left\{x_{n}\right\}$ 是各项均为正数的等比数列，且 $x_{1}+x_{2}=3, x_{3}-x_{2}=2$ ．
（I）求数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，依次连接点 $\mathrm{P}_{1}\left(\mathrm{x}_{1}, 1\right), \mathrm{P}_{2}\left(\mathrm{x}_{2}, 2\right) \ldots P_{n+1}\left(x_{n+1}, n+1\right)$ 得到折线 $P_{1}$
$P_{2} \ldots P_{n+1}$ ，求由该折线与直线 $y=0, x=x_{1}, x=x_{n+1}$ 所围成的区域的面积 $T_{n}$ ．

8．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=3^{n}$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}}{a_{n}}=$ $\_\_\_\_$ ；

9．（5分）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项为 1 ，公差不为 0 ．若 $a_{2}, a_{3}, a_{6}$ 成等比数列，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 6 项的和为（ ）

9．（5 分）等比数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的各项均为实数，其前 n 项为 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ，已知 $\mathrm{S}_{3}=\frac{7}{4}, \mathrm{~S}_{6}=\frac{63}{4}$ ，则 $\mathrm{a}_{8}=$ $\_\_\_\_$。

17．已知无穷等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=S$ ．下列条件中，使得 $2 S_{n}

18．（13分）（2016•天津）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列，前 $n$ 项和为 $S_{n}\left(n \in N^{*}\right)$ ，且 $\frac{1}{a_{1}}-\frac{1}{a_{2}}= \frac{2}{a_{3}}, \quad S_{6}=63$.
（1）求 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（2）若对任意的 $n \in N^{*}, b_{n}$ 是 $\log _{2} a_{n}$ 和 $\log _{2} a_{n+1}$ 的等差中项，求数列 $\left\{(-1){ }^{n} b{ }_{n}^{2}\right\}$ 的前 $2 n$ 项和。

20．（16分）（2016•江苏）记 $U=\{1,2, \ldots, 100\}$ ，对数列 $\left\{a_{n}\right\}\left(n \in N^{*}\right)$ 和 $U$ 的子集 $T$ ，若 $\mathrm{T}=\varnothing$ ，定义 $\mathrm{S}_{\mathrm{T}}=0$ ；若 $\mathrm{T}=\left\{\mathrm{t}_{1}, \mathrm{t}_{2}, \ldots, \mathrm{t}_{\mathrm{k}}\right\}$ ，定义 $\mathrm{S}_{\mathrm{T}}=\mathrm{a}_{\mathrm{t}_{1}}{ }^{+} \mathrm{a}_{\mathrm{t}_{2}}+\ldots+{ }^{+} \mathrm{a}_{\mathrm{t}_{\mathrm{k}}}$ 。例如： $\mathrm{T}=\{1,3,66\}$时，$S_{T}=a_{1}+a_{3}+a_{66}$ ．现设 $\left\{a_{n}\right\} \quad\left(n \in N^{*}\right)$ 是公比为 3 的等比数列，且当 $T=\{2,4\}$ 时，$S_{T}=30$ ．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）对任意正整数 $\mathrm{k}(1 \leq \mathrm{k} \leq 100)$ ，若 $\mathrm{T} \subseteq\{1,2, \ldots, \mathrm{k}\}$ ，求证： $\mathrm{S}_{\mathrm{T}}<\mathrm{a}_{\mathrm{k}+1}$ ；
③设 $\mathrm{C} \subseteq \mathrm{U}, \mathrm{D} \subseteq \mathrm{U}, \mathrm{S}_{\mathrm{C}} \geq \mathrm{S}_{\mathrm{D}}$ ，求证： $\mathrm{S}_{\mathrm{C}}+\mathrm{S}_{\mathrm{C} \cap \mathrm{D}} \geq 2 \mathrm{~S}_{\mathrm{D}}$ ．

附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．【选修4－1几何证明选讲】

23．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分。

若无穷数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足：只要 $a_{p}=a_{q}\left(p, q \in \mathrm{~N}^{*}\right)$，必有 $a_{p+1}=a_{q+1}$，则称 $\left\{a_{n}\right\}$ 具有性质 P。
（1）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 具有性质 P，且 $a_{1}=1, a_{2}=2, a_{4}=3, a_{5}=2, a_{6}+a_{7}+a_{8}=21$，求 $a_{3}$；
（2）若无穷数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列，无穷数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 是公比为正数的等比数列，$b_{1}=c_{5}=1$， $b_{5}=c_{1}=81, a_{n}=b_{n}+c_{n}$，判断 $\left\{a_{n}\right\}$ 是否具有性质 P，并说明理由；
③设 $\left\{b_{n}\right\}$ 是无穷数列，已知 $a_{n+1}=b_{n}+\sin a_{n}\left(n \in \mathrm{~N}^{*}\right)$。求证：＂对任意 $a_{1},\left\{a_{n}\right\}$ 都具有性质 P ＂的充要条件为＂$\left\{b_{n}\right\}$ 是常数列＂．

13．（5分）（2015 • 广东）若三个正数 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$
成等比数列，其中 $\mathrm{a}=5+2 \sqrt{6}, \mathrm{c}=5-2 \sqrt{6}$ ，则 $\mathrm{b}=$ $\_\_\_\_$ ．

## 坐标系与参数方程选做题

13．（5分）在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=2, a_{n+1}=2 a_{n}, S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{n}=126$ ，则 $\mathrm{n}=$ $\_\_\_\_$ 6。

14．设 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1}=1$ ，且 $3 S_{1}, 2 S_{2}, S_{3}$ 成等差数列，则 $a_{n}=$

（14）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增的等比数列，$a_{1}+a_{4}=9, a_{2} a_{3}=8$ ，则数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和等于 $\_\_\_\_$ ．

16、（本小题满分 13 分，（I）小问 7 分，（II）小问 6 分）
已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{3}=2$ ，前 3 项和 $S_{3}=\frac{9}{2}$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $b_{1}=a_{1}, b_{4}=a_{15}$ ，求 $\left\{b_{n}\right\}$ 前 n 项和 $T_{n}$ ．

16．（本小题满分 12 分）
设数列 $\left\{a_{n}\right\}(n=1,2,3 \ldots)$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n}=2 a_{n}-a_{3}$，且 $a_{1}, a_{2}+1, a_{3}$ 成等差数列．
（I）求数列的通项公式；
（II）设数列 $\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$，求 $T_{n}$．

16．若 $a, b$ 是函数 $f(x)=x^{2}-p x+q(p>0, q>0)$ 的两个不同的零点，且 $a, b,-2$ 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 $p+q$ 的值等于 $\_\_\_\_$ ．
－【答案】9

20．（16分）（2015•江苏）设 $a_{1}, a_{2}, a_{3} . a_{4}$ 是各项为正数且公差为 $d(d \neq 0)$ 的等差数列
（1）证明： $2^{a_{1}}, 2^{a_{2}}, 2^{a_{3}}, 2^{a_{4}}$ 依次构成等比数列；
（2）是否存在 $a_{1}, d$ ，使得 $a_{1}, a_{2}{ }^{2}, a_{3}{ }^{3}, a_{4}{ }^{4}$ 依次构成等比数列？并说明理由；

（3）是否存在 $a_{1}, d$ 及正整数 $n, k$ ，使得 $a_{1}{ }^{n}, a_{2}{ }^{n+k}, a_{3}{ }^{n+2 k}, a_{4}{ }^{n+3 k}$ 依次构成等比数列？并说明理由。

三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21－
24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4－1：几何证明选讲】

21．已知 $a>0$ ，函数 $f(x)=e^{a x} \sin x(x \in[0,+\infty))$ ，记 $x_{n}$ 为 $f(x)$ 的从小到大的第 $n\left(n \in N^{*}\right)$ 个极值点，证

明：
（1）数列 $\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ 是等比数列
（2）若 $a \geq \frac{1}{\sqrt{e^{2}-1}}$ ，则对一切 $n \in N^{*}, x_{n}<\left|f\left(x_{n}\right)\right|$ 恒成立．

21．（本小题满分 13 分）函数 $f(x)=a e^{2} \cos x\left(x \in[0,+\infty)\right.$ ，记 $x_{n}$ 为 $f(x)$ 的从小到大的第 $n\left(n \in N^{*}\right)$ 个极值点。

（I）证明：数列 $\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ 是等比数列；
（II）若对一切 $n \in N^{*}, x_{n} \leq\left|f\left(x_{n}\right)\right|$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围。

18．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增的等比数列，且 $a_{1}+a_{4}=9, a_{2} a_{3}=8$ ．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；

（II）设 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，$b_{n}=\frac{a_{n+1}}{S_{n} S_{n+1}}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

4．（5分）已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=3, a_{1}+a_{3}+a_{5}=21$ ，则 $a_{3}+a_{5}+a_{7}=$（）

5．设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} \in \mathbf{R}, n \geq 3$ ．若 $p: a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 成等比数列；
$q:\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n-1}^{2}\right)\left(a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}\right)=\left(a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\cdots+a_{n-1} a_{n}\right)^{2}$ ，则

8．若 $a, b$ 是函数 $f(x)=x^{2}-p x+q(p>0, q>0)$ 的两个不同的零点，且 $a, b,-2$ 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 $p+q$ 的值等于

9．（5分）已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=\frac{1}{4}, a_{3} a_{5}=4\left(a_{4}-1\right)$ ，则 $a_{2}=$（）

（10）【2014年上海，文 10 ， 5 分】设无穷等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ ，若 $a_{1}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{3}+a_{4}+\cdots+a_{n}\right), q=$ $\_\_\_\_$。

10．（5分）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{4}=2, a_{5}=5$ ，则数列 $\left\{\operatorname{Ig} a_{n}\right\}$ 的前 8 项和等于

11．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 $a_{1}$ ，公差为 -1 的等差数列，$S_{n}$ 为其前 $n$项和，若 $S_{1} , S_{2} , S_{4}$ 成等比数列，则 $a_{1}$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

13．等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正数，且 $a_{1} a_{5}=4$ ，则 $\log _{2} a_{1}+\log _{2} a_{2}+\log _{2} a_{3}+\log _{2} a_{4}+\log _{2} a_{5}=$ $\_\_\_\_$ ．

## （二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题）

14，（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线 $\mathrm{C}_{1}$ 和 $\mathrm{C}_{2}$ 的方程分别为 $2 \rho \cos ^{2} \theta=\sin \theta$ 和 $\rho \cos \theta=1$ ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 $x$ 轴的正半轴，建立直角坐标系，则曲线 $\mathrm{C}_{1}$ 与 $\mathrm{C}_{2}$ 交点的直角坐标为 $\_\_\_\_$。

13．若等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正数，且 $a_{10} a_{11}+a_{9} a_{12}=2 e^{5}$ ，则 $\ln a_{1}+\ln a_{2}+\cdots+\ln a_{20}=$ $\_\_\_\_$。

15．（13 分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，满足 $a_{1}=3, a_{4}=12$ ，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $b_{1}=4$ ， $b_{4}=20$ ，且 $\left\{b_{n}-a_{n}\right\}$ 为等比数列．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．

16．（本小题满分 13 分．（I）小问 6 分，（II）小问 7 分）
已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，$S_{n}$ 表示 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．
（I）求 $a_{n}$ 及 $S_{n}$；
（II）设 $\left\{b_{n}\right\}$ 是首项为 2 的等比数列，公比 $q$ 满足 $q^{2}-\left(a_{4}+1\right) q+S_{4}=0$，求 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式及其前 $n$项和 $T_{n}$．

17．（（本小题满分 12 分）
在等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{2}=3, a_{5}=81$ ．
（1）求 $a_{n}$ ；

②设 $b_{n}=\log _{3} a_{n}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

17．（本小题满分 12 分）
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=\frac{3 n^{2}-n}{2}, n \in N^{*}$．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）证明：对任意 $n>1$，都有 $m \in N^{*}$，使得 $a_{1}, a_{n}, a_{m}$ 成等比数列．

2．对任意等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$，下列说法一定正确的是
A．$a_{1}, a_{3}, a_{9}$ 成等比数列
B．$a_{2}, a_{3}, a_{6}$ 成等比数列
$C . a_{2}, a_{4}, a_{8}$ 成等比数列
$D . a_{3}, a_{6}, a_{9}$ 成等比数列

5．（5 分）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，则＂$q>1$＂是＂$\left\{a_{n}\right\}$ 为递增数列＂的

7．在各项均为正数的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{2}=1, a_{8}=a_{6}+2 a_{4}$ ，则 $a_{6}$ 的值是 $\_\_\_\_$ A ．

8．（5分）设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．若 $S_{2}=3, S_{4}=15$ ，则 $S_{6}=()$

10．（5 分）若等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{2}+a_{4}=20, a_{3}+a_{5}=40$ ，则公比 $q=$ $\_\_\_\_$ 2 ；前 n 项和 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=$ $\_\_\_\_$ $2^{\mathrm{n}+1}-2$。

11．（2013广东，文11）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 1 ，公比为 -2 的等比数列，则 $a_{1}+\left|a_{2}\right|+a_{3}+\left|a_{4}\right|=$ $\_\_\_\_$
$\_\_\_\_$ ．

11．（5 分）若等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{2}+a_{4}=20, a_{3}+a_{5}=40$ ，则公比 $q=$ $\_\_\_\_$ 2 ；前 n 项和 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=$ $\_\_\_\_$ $2^{\mathrm{n}+1}-2$。

（12）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$a_{1}=1$ ，公差 $d \neq 0, S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，若 $a_{1} , a_{2} , a_{5}$ 成等比数列，则 $S_{8}=$ $\_\_\_\_$ ．

14．（5分）若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $\mathrm{S}_{n}=\frac{2}{3} \mathrm{a}_{n}+\frac{1}{3}$ ，则数列 $\left\{\mathrm{a}_{n}\right\}$ 的通项公式是 $\mathrm{a}_{n}=$
$\_\_\_\_$ $(-2)^{n-1}$. ．

（14）已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增数列，$S_{n}$ 是 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{1}, a_{3}$ 是方程 $x^{2}-5 x+4=0$ 的两个根，则 $S_{6}=$

（14）已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增数列，$S_{n}$ 是 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{1}, a_{3}$ 是方程
$x^{2}-5 x+4=0$ 的两个根，则 $S_{6}=$ $\_\_\_\_$

16、（本小题满分 12 分）
在等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{2}-a_{1}=2$，且 $2 a_{2}$ 为 $3 a_{1}$ 和 $a_{3}$ 的等差中项，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项、公比及前 $n$项和。

17．（本小题满分 12 分）
设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公比为 q 的等比数列．
（I）推导 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和公式；
（II）设 $\mathrm{q} \neq 1$，证明数列 $\left\{a_{n}+1\right\}$ 不是等比数列．

18．（本小题满分 12 分）
已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足：$\left|a_{2}-a_{3}\right|=10, a_{1} a_{2} a_{3}=125$ ．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）是否存在正整数 $m$ ，使得 $\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots \cdots+\frac{1}{a_{n}}>1$ ？若存在，求 $m$ 的最小值；若不存在，说明理由。

19．（本小题满分 13 分）
已知 $S_{n}$ 是等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，$S_{4}, S_{2}, S_{3}$ 成等差数列，且 $a_{2}+a_{3}+a_{4}=-18$．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）是否存在正整数 $n$，使得 $S_{n} \geq 2013$ ？若存在，求出符合条件的所有 $n$ 的集合；若不存在，说明理由．

20．（14分）给定数列 $\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \ldots, \mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ ．对 $\mathrm{i}=1,2, \ldots, \mathrm{n}-1$ ，该数列前 i 项的最大值记为 $A_{i}$ ，后 $n-i$ 项 $a_{i+1}, a_{i+2}, \ldots, a_{n}$ 的最小值记为 $B_{i}, d_{i}=A_{i}-B_{i}$ ．
（I）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为3，4，7，1，写出 $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ 的值；
（II）设 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n-1}(n \geqslant 4)$ 是公比大于 1 的等比数列，且 $a_{1}>0$ ．证明： $\mathrm{d}_{1}, \mathrm{~d}_{2}, \ldots, \mathrm{~d}_{\mathrm{n}-1}$ 是等比数列；
（III）设 $d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{n-1}$ 是公差大于 0 的等差数列，且 $d_{1}>0$ ．证明：$a_{1}$ ， $a_{2}, \ldots, a_{n-1}$ 是等差数列．

3．（5分）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{3}=a_{2}+10 a_{1}, a_{5}=9$ ，则 $a_{1}=$（

7．（5分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $3 a_{n+1}+a_{n}=0, a_{2}=-\frac{4}{3}$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 10 项和等于

9．已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$，记 $b_{n}=a_{m(n-1)+1}+a_{m(n-1)+2}+\cdots+a_{m(n-1)+m}$， $b_{n}=a_{m(n-1)+1} * a_{m(n-1)+2} * \cdots * a_{m(n-1)+m},(m, n \in N *)$，则以下结论一定正确的是

（11）首项为 1 ，公比为 2 的等比数列的前 4 项和 $S_{4}=$ $\_\_\_\_$

13．设公比为 $q(q>0)$ 的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．

若 $S_{2}=3 a_{2}+2, S_{4}=3 a_{4}+2$ ，则 $q=$ $\_\_\_\_$ ．

15．已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $\mathrm{q}=-\frac{1}{2}$ ．
（1）若 $a_{3}=\frac{1}{4}$ ，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和；
（II）证明：对任意 $k \in N_{+}, \boldsymbol{a}_{k}, \boldsymbol{a}_{k+2}, \boldsymbol{a}_{k+1}$ 成等差数列

18．（本小题满分 12 分）
已知等差数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 前三项的和为 -3 ，前三项的积为 8 ．
（1）求等差数列 $\left\{\mathrm{a}_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $a_{2}, a_{3}, a_{1}$ 成等比数列，求数列 $\left\{\left|a_{n}\right|\right\}$ 的前 $n$ 项的和．

20．（本小题满分 16 分）
已知各项均为正数的两个数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足：$a_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{\sqrt{a_{n}{ }^{2}+b_{n}{ }^{2}}}, n \in \mathbf{N}^{*}$ ．
①设 $b_{n+1}=1+\frac{b_{n}}{a_{n}}, n \in \mathbf{N}^{*}$ ，求证：数列 $\left\{\left(\frac{b_{n}}{a_{n}}\right)^{2}\right\}$ 是等差数列；
（2）设 $b_{n+1}=\sqrt{2} \cdot \frac{b_{n}}{a_{n}}, n \in \mathbf{N}^{*}$ ，且 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列，求 $a_{1}$ 和 $b_{1}$ 的值．

## 绝密★启用前

2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

## 数学 II（附加题）

## 注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1．本试卷共 2 页，均为非选择题（第 21 题～第 23 题）。本卷满分为 40 分。考试时间为 30 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

## 21．［选做题］本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．

## 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

##

（5）公比为 2 的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项都是正数，且 $a_{3} a_{11}=16$ ，则 $a_{5}=()$

5．（5分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，$a_{4}+a_{7}=2, a_{5} a_{6}=-8$ ，则 $a_{1}+a_{10}=$（）

6．（5 分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，下面结论中正确的是（）

6．（5分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1}=1, S_{n}=2 a_{n+1}$ ，则当 $n>1$ 时，$S_{n}=$（

6．现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首项，-3 为公比的等比数列，若从这 10 个数中随机抽取一个数，则它小于 8的概率是 $\_\_\_\_$ ． ．

（第4题）

13．等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和为 $S_{n}$ ，公比不为 1 ，若 $a_{1}=1$ ，且对任意的 $n \in N_{+}$，都有 $a_{n+2}+a_{n+1}-2 a_{n}=0$ ，则 $S_{5}=$

11．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增的等比数列，若 $a_{2}=2, a_{4}-a_{3}=4$ ，则此数列的公比 $q=$ $\_\_\_\_$

11．（5分）（2011•北京）在等比数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 中， $\mathrm{a}_{1}=\frac{1}{2}, \mathrm{a}_{4}=-4$ ，则公比 $\mathrm{q}=$ $\_\_\_\_$ －2
$;\left|a_{1}\right|+\left|a_{2}\right|+\ldots+\left|a_{n}\right|=-2^{n-1}-\frac{1}{2}-$.

17．（12分）已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=\frac{1}{3}$ ，公比 $q=\frac{1}{3}$ ．
（I）$S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，证明：$S_{n}=\frac{1-a_{n}}{2}$
（II）设 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\log _{3} \mathrm{a}_{1}+\log _{3} \mathrm{a}_{2}+\ldots+\log _{3} \mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ ，求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式。

17．（12分）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正数，且 $2 a_{1}+3 a_{2}=1, a_{3}{ }^{2}=9 a_{2} a_{6}$ ，
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\log _{3} \mathrm{a}_{1}+\log _{3} \mathrm{a}_{2}+\ldots+\log _{3} \mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ ，求数列 $\left\{\frac{1}{\mathrm{~b}_{\mathrm{n}}}\right\}$ 的前 n 项和。

17．（10分）设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{2}=6,6 a_{1}+a_{3}=30$ ，求 $a_{n}$ 和 $S_{n}$

20．（本小题满分 14 分）
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足：$b_{n} a_{n}+a_{n+1}+b_{n+1} a_{n+2}=0, b_{n}=\frac{3+(-1)^{n}}{2}, n \in \mathbf{N}^{*}$ ，且 $a_{1}=2, a_{2}=4$.
（I）求 $a_{3}, a_{4}, a_{5}$ 的值；
（II）设 $c_{n}=a_{2 n-1}+a_{2 n+1}, n \in N^{*}$ ，证明：$\left\{c_{n}\right\}$ 是等比数列；
（III）设 $S_{k}=a_{2}+a_{4}+\cdots+a_{2 k}, k \in N^{*}$ ，证明：$\sum_{k=1}^{4 n} \frac{S_{k}}{a_{k}}<\frac{7}{6}\left(n \in N^{*}\right)$ ．

20．（12分）（2011•山东）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中。 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 分别是下表第一、二、三行中的某一个数．且 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 中的任何两个数不在下表的同一列．

（I）求数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（II）如数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 满足 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{\mathrm{n}}+(-1){ }^{\mathrm{n}} \ln \mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ ，求数列 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}$ 的前 n 项和 $\mathrm{s}_{\mathrm{n}}$ 。

9．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1}=1, a_{n+1}=3 S_{n}(n \geqslant 1)$ ，则 $a_{4}=$

（15）设 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是等比数列，公比 $q=\sqrt{2}, \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}$ 为 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和。记 $T_{n}=\frac{17 S_{n}-S_{2 n}}{a_{n+1}}, n \in N^{*}$ ．设 $T_{n_{0}}$ 为数列 $\left\{T_{n}\right\}$ 的最大项，则 $n_{0}=$

侧视图

$\_\_\_\_$。

17．（10分）记等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，设 $S_{3}=12$ ，且 $2 a_{1}, a_{2}, a_{3}+1$ 成等比数列，求 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ．

18．（12分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是各项均为正数的等比数列 $a_{1}+a_{2}=2\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}\right), a_{3}+a_{4}+a { }_{5}=64\left(\frac{1}{a_{3}}+\frac{1}{a_{4}}+\frac{1}{a_{5}}\right)$
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\left(\mathrm{a}_{\mathrm{n}}+\frac{1}{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}\right)^{2}$ ，求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$ ．

20．（本小题满分 13 分）
给出下面的数表序列：

其中表 $\mathrm{n}(\mathrm{n}=1,2,3 \cdots)$ 有 n 行，第1行的 n 个数是1，3，5，⋯2n－
1，从第 2 行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。
（1）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表 $n ~(n \geqslant 3) ~($ 不要求证明）；
（II）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列 $1,4,12 \cdots$ ，记此数列为
$\left\{b_{n}\right\}$ 求和：$\frac{b_{3}}{b_{1} b_{2}}+\frac{b_{4}}{b_{2} b_{3}}+\cdots \frac{b_{n+2}}{b_{n} b_{n+1}} \quad\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ．

2．（5分）（2010•北京）在等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1$ ，公比 $q \neq 1$ 。若 $a_{m}=a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}$ ，则 $m=$（ ）

4．（5分）已知各项均为正数的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}, ~ a_{1} a_{2} a_{3}=5, ~ a_{7} a_{8} a_{9}=10$ ，则 $a_{4} a_{5} a_{6}=$

4．（5分）已知各项均为正数的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}, ~ a_{1} a_{2} a_{3}=5, ~ a_{7} a_{8} a_{9}=10$ ，则 $a_{4} a_{5} a_{6}=$

4．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，$S_{n}$ 是它的前 $n$ 项和．若 $a_{2} \cdot a_{3}=2 a_{1}$ 且 $a_{4}$ 与 $2 a_{7}$ 的等差中项为 $\frac{5}{4}$ ，则 $S_{5}=$

5．等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=2, a_{8}=4$ ，函数 $f(x)=x\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{8}\right)$ ，则 $f^{\prime}(0)=$

（6）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 1 的等比数列，$s_{n}$ 是 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和，

且 $9 s_{3}=s_{6}$ ，则数列 $\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$ 的前 5 项和为

7．等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$\left|a_{1}\right|=1, a_{5}=-8 a_{2}, a_{5}>a_{2}$ ，则 $a_{n}=$

11．（2009 浙江理 11）设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}_{\text {的公比 }} q=\frac{1}{2}$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $\frac{S_{4}}{a_{4}}=$

13．（5分）设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．若 $a_{1}=1, S_{6}=4 S_{3}$ ，则 $a_{4}=$ $\_\_\_\_$ 3 ．

14．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，$|q|>1$ ，令

$b_{n}=a_{n}+1(n=1,2, \cdots)_{\text {若数列 }}\left\{b_{n}\right\}$ 有连续四项在集合 $\{-53,-23,19,37,82\}$ 中，则 $6 q=$

（15）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比 $q>0$ ，已知 $a_{2}=1, a_{n+2}+a_{n+1}=6 a_{n}$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 4 项和 $S_{4}=$。

19．（12分）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1}=1, S_{n+1}=4 a_{n}+2\left(n \in N^{*}\right)$ ．
①设 $b_{n}=a_{n+1}-2 a_{n}$ ，证明数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列；
（2）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式。

22．（本小题满分 14 分）
各项均为正数的数列 $\left\{a_{n}\right\}, a_{1}=a, a_{2}=b$ ，且对满足 $m+n=p+q$ 的正整数 $m, n, p, q$ 都有 $\frac{a_{m}+a_{n}}{\left(1+a_{m}\right)\left(1+a_{n}\right)}=\frac{a_{p}+a_{q}}{\left(1+a_{p}\right)\left(1+a_{q}\right)}$.
（1）当 $a=\frac{1}{2}, b=\frac{4}{5}$ 时，求通项 $a_{n}$ ；
（2）证明：对任意 $a$ ，存在与 $a$ 有关的常数 $\lambda$ ，使得对于每个正整数 $n$ ，都有 $\frac{1}{\lambda} \leq a_{n} \leq \lambda$.

（22）（本小题满分 14 分）
设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和为 $s_{n}$ ，对任意的正整数 n ，都有 $a_{n}=5 s_{n}+1$ 成立，记 $b_{n}=\frac{4+a_{n}}{1-a_{n}}\left(n \in N^{+}\right) .$.
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 n 项和为 $\mathrm{R}_{n}$ ，是否存在正整数 k ，使得 $R_{k} \geq 4 k$ 成立？若存在，找出一个正整数 k ；若不存在，请说明理由；
（III）记 $c_{n}=b_{2 n}-b_{2 n-1}\left(n \in N^{+}\right)$，设数列 $\left|c_{n}\right|$ 的前 n 项和味 $T_{n}$ ，求证：对任意正整数 n ，都有 $T_{n}<\frac{3}{2}$ ．

5．已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为正数，且 $a_{3} \bullet a_{9}=2 a_{5}^{2}, a_{2}=1$ ，则 $a_{1}=$

（6）设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{S_{6}}{S_{3}}=3$ ，则 $\frac{S_{9}}{S_{6}}=$

（7）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和为 $s_{n}$ ，且 $4 a_{1}, 2 a_{2}, a_{3}$ 成等差数列。若 $a_{1}=1$ ，则 $s_{4}=$

（8）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{m-1}+a_{m+1}-a_{m}^{2}=0, S_{2 m-1}=38$ ，则 $m=$

15．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, a_{n+1}-a_{n}=\frac{1}{3^{n+1}}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=$ $\_\_\_\_$ ．

19．（12 分）（2008 • 山东）将数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：$a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} a_{6} a_{7} a_{8} a_{9} a_{10} \ldots$ 记表中的第一列数 $a_{1}, a_{2}, a_{4}, a_{7}, \ldots$ 构成的数列为 $\left\{b_{n}\right\}$ ， $b_{1}=a_{1}=1$ ．$S_{n}$ 为数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $\frac{2 b_{n}}{b_{n} S_{n}-S_{n}^{2}}=1 \quad(n \geqslant 2)$ ．
（I）证明数列 $\left\{\frac{1}{\mathrm{~S}_{\mathrm{n}}}\right\}$ 成等差数列，并求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（II）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数。当 $\mathrm{a}_{81}=-\frac{4}{91}$ 时，求上表中第 $\mathrm{k}(\mathrm{k} \geq 3)$ 行所有项的和．
$a_{1}$
$a_{2} \quad a_{3}$
$\begin{array}{lll}a_{4} & a_{5} & a_{6}\end{array}$
$\begin{array}{llll}a_{7} & a_{8} & a_{9} & a_{10}\end{array}$

18．（12分）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{4}=10$ 且 $a_{3}, a_{6}, a_{10}$ 成等比数列，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 2 0 项的和 $\mathrm{S}_{20}$ ．

（18）（本题14分）
已知数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的首项 $x_{1}=3$ ，通项 $x_{n}=2^{n} p+n p\left(n \in N^{*}, p, q\right.$ 为常数），且成等差数列。求：
（ I ）$p, q$ 的值；
（II）数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和 $S_{n}$ 的公式。

4．设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比 $q=2$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $\frac{S_{4}}{a_{2}}=()$

（4）已知 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是等比数列，$a_{2}=2, a_{5}=\frac{1}{4}$ ，则公比 $\mathrm{q}=$

（6）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列，$a_{2}=2, a_{5}=\frac{1}{4}$ ，则 $a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\cdots+a_{n} a_{n+1}=$

7．（5分）已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+a_{2}=3, a_{2}+a_{3}=6$ ，则 $a_{7}=$

7．（5 分）（2008•四川）已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{2}=1$ ，则其前 3 项的和 $S_{3}$ 的取值范围是（）

8、设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比 $q=2$ ，前 n 项和为 $S_{n}$ ，则 $\frac{S_{4}}{a_{2}}=$