等比数列　·　历年高考数学真题与解析

10． 等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比 $q \neq 1, a_{1}>0,2 a_{3}=a_{2}+a_{1}$ ，记前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则

14. 设实数q满足: 存在数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ ，使得对于任意 $n \in N ^ { * }$ ，均有 $a _ { 1 } + a _ { 2 } + \cdots + a _ { 3 n } = n ^ { 2 } + n$ ，且 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中有某连续9项 $a _ { k } , a _ { k + 1 } , \cdots , a _ { k + 8 }$ 是公比为q的等比数列，则q的最大值为

13． 若一个等比数列的前 4 项和为 4 ，前 8 项和为 68 ，则该等比数列的公比为 $\_\_\_\_$．

9. $S _ { n }$ 为等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 前n项和，q为 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 公比， $q > 0$ $S _ { 3 } = 7$ $a _ { 3 } = 1$ ，则（）

9． 记 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，$q$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比，$q>0$ 。若 $S_{3}=7 . a_{3}=1$ ，则

14．已知三个圆柱的体积为公比为 10 的等比数列．第一个圆柱的直径为 65 mm ，第二、三个圆柱的直径为 325 mm ，第三个圆柱的高为 230 mm ，求前两个圆柱的高度分别为 $\_\_\_\_$ ．

15．已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n}=3 a_{n+1}-3$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{S_{n}\right\}$ 的通项公式。

13．记 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $8 S_{6}=7 S_{3}$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $\_\_\_\_$ ．

15．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，$a_{2} a_{4} a_{5}=a_{3} a_{6}, a_{9} a_{10}=-8$ ，则 $a_{7}=$ $\_\_\_\_$ ．

5．已知正项等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和，$S_{5}=5 S_{3}-4$ ，则 $S_{4}=()$

6．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，$S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，$a_{n+1}=2 S_{n}+2$ ，则 $a_{4}$ 的值为（）

8．记 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{4}=-5, S_{6}=21 S_{2}$ ，则 $S_{8}=$（）。

10．已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 3 项和为 $168, a_{2}-a_{5}=42$ ，则 $a_{6}=$（）

8．已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 3 项和为 $168, a_{2}-a_{5}=42$ ，则 $a_{6}=$（）

7．等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，设甲：$q>0$ ，乙：$\left\{S_{n}\right\}$ 是递增数列，则（）

9．记 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $S_{2}=4, S_{4}=6$ ，则 $S_{6}=$

9．在无穷等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中， $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{1}-a_{n}\right)=4$ ，则 $a_{2}$ 的取值范围是＿$(-4, ~ 0) \cup(0, ~ 4)-$

【思路分析】由无穷等比数列的概念可得公比 $q$ 的取值范围，再由极限的运算知 $a_{1}=4$ ，从而得解。

10．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列，且 $a_{1}+a_{2}+a_{3}=1, a_{2}+a_{3}+a_{4}=2$ ，则 $a_{6}+a_{7}+a_{8}=()$

18．已知公比大于 1 的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{2}+a_{4}=20, a_{3}=8$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；

（2）求 $a_{1} a_{2}-a_{2} a_{3}+\ldots+(-1)^{n-1} a_{n} a_{n+1}$ ．

6．记 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{5}-a_{3}=12, a_{6}-a_{4}=24$ ，则 $\frac{S_{n}}{a_{n}}=$

6．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=2, a_{m+n}=a_{m} a_{n}$ ，若 $a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots+a_{k+10}=2^{15}-2^{5}$ ，则 $k=$（ ）

14．记 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{1}=\frac{1}{3}, a_{4}^{2}=a_{6}$ ，则 $S_{5}=$ $\_\_\_\_$ ．

14．记 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{1}=1, S_{3}=\frac{3}{4}$ ，则 $S_{4}=$ $\_\_\_\_$ ．

5．已知各项均为正数的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 4 项和为 15 ，且 $a_{5}=3 a_{3}+4 a_{1}$ ，则 $a_{3}=$

6．已知各项均为正数的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 4 项和为 15 ，且 $a_{5}=3 a_{3}+4 a_{1}$ ，则 $a_{3}=$

10．（4分）已知 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 成等比数列，且 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=\ln \left(a_{1}+a_{2}+a_{3}\right)$ ，若 $a_{1}>1$ ，则（ ）

4．（5 分）＂十二平均律＂是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出

半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 $\sqrt[2]{2}$ ．若第一个单音的频率为 $f$ ，则第八个单音的频率为

5．（5 分）＂十二平均律＂是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 $\sqrt[2]{2}$ ．若第一个单音的频率为 $f$ ，则第八个单音的频率为

14．（5分）设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+a_{2}=-1, a_{1}-a_{3}=-3$ ，则 $a_{4}=$ $\_\_\_\_$ －8 ．

3．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：＂远看巍巍塔七层 ，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？＂意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯

9．（5 分）等比数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的各项均为实数，其前 n 项为 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ，已知 $\mathrm{S}_{3}=\frac{7}{4}, \mathrm{~S}_{6}=\frac{63}{4}$ ，则 $\mathrm{a}_{8}=$ $\_\_\_\_$。

15．（5分）设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+a_{3}=10, a_{2}+a_{4}=5$ ，则 $a_{1} a_{2} \ldots a_{n}$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 64

17．已知无穷等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=S$ ．下列条件中，使得 $2 S_{n}<S\left(n \in \mathrm{~N}^{*}\right)$ 恒成立的是（ ）。

7．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司 2015 年全年投入研发资金 13.0 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 $12 \%$ ，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 （参考数据： $1 \mathrm{~g} 1.12=0.05,1 \mathrm{~g} 1.3=0.11,1 \mathrm{~g} 2=0.30$ ）

13．（5分）（2015 • 广东）若三个正数 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$
成等比数列，其中 $\mathrm{a}=5+2 \sqrt{6}, \mathrm{c}=5-2 \sqrt{6}$ ，则 $\mathrm{b}=$ $\_\_\_\_$ ．

坐标系与参数方程选做题

13．（5分）在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=2, a_{n+1}=2 a_{n}, S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{n}=126$ ，则 $\mathrm{n}=$ $\_\_\_\_$ 6。

14．设 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1}=1$ ，且 $3 S_{1}, 2 S_{2}, S_{3}$ 成等差数列，则 $a_{n}=$

（14）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增的等比数列，$a_{1}+a_{4}=9, a_{2} a_{3}=8$ ，则数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和等于 $\_\_\_\_$ ．

18．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增的等比数列，且 $a_{1}+a_{4}=9, a_{2} a_{3}=8$ ．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；

（II）设 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，$b_{n}=\frac{a_{n+1}}{S_{n} S_{n+1}}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

4．（5分）已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=3, a_{1}+a_{3}+a_{5}=21$ ，则 $a_{3}+a_{5}+a_{7}=$（）

9．（5分）已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=\frac{1}{4}, a_{3} a_{5}=4\left(a_{4}-1\right)$ ，则 $a_{2}=$（）

（10）【2014年上海，文 10 ， 5 分】设无穷等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ ，若 $a_{1}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{3}+a_{4}+\cdots+a_{n}\right), q=$ $\_\_\_\_$。

13．若等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正数，且 $a_{10} a_{11}+a_{9} a_{12}=2 e^{5}$ ，则 $\ln a_{1}+\ln a_{2}+\cdots+\ln a_{20}=$ $\_\_\_\_$。

17．（12分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{n+1}=3 a_{n}+1$ ．
（I）证明 $\left\{a_{n}+\frac{1}{2}\right\}$ 是等比数列，并求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）证明：$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{n}}<\frac{3}{2}$ ．

2．对任意等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$，下列说法一定正确的是
A．$a_{1}, a_{3}, a_{9}$ 成等比数列
B．$a_{2}, a_{3}, a_{6}$ 成等比数列
$C . a_{2}, a_{4}, a_{8}$ 成等比数列
$D . a_{3}, a_{6}, a_{9}$ 成等比数列

7．在各项均为正数的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{2}=1, a_{8}=a_{6}+2 a_{4}$ ，则 $a_{6}$ 的值是 $\_\_\_\_$ A ．

8．（5分）设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．若 $S_{2}=3, S_{4}=15$ ，则 $S_{6}=()$

10．（5 分）若等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{2}+a_{4}=20, a_{3}+a_{5}=40$ ，则公比 $q=$ $\_\_\_\_$ 2 ；前 n 项和 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=$ $\_\_\_\_$ $2^{\mathrm{n}+1}-2$。

11．（2013广东，文11）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 1 ，公比为 -2 的等比数列，则 $a_{1}+\left|a_{2}\right|+a_{3}+\left|a_{4}\right|=$ $\_\_\_\_$
$\_\_\_\_$ ．

11．（5 分）若等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{2}+a_{4}=20, a_{3}+a_{5}=40$ ，则公比 $q=$ $\_\_\_\_$ 2 ；前 n 项和 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=$ $\_\_\_\_$ $2^{\mathrm{n}+1}-2$。

14．（5分）若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $\mathrm{S}_{n}=\frac{2}{3} \mathrm{a}_{n}+\frac{1}{3}$ ，则数列 $\left\{\mathrm{a}_{n}\right\}$ 的通项公式是 $\mathrm{a}_{n}=$
$\_\_\_\_$ $(-2)^{n-1}$. ．

（14）已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增数列，$S_{n}$ 是 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{1}, a_{3}$ 是方程 $x^{2}-5 x+4=0$ 的两个根，则 $S_{6}=$

（14）已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增数列，$S_{n}$ 是 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{1}, a_{3}$ 是方程
$x^{2}-5 x+4=0$ 的两个根，则 $S_{6}=$ $\_\_\_\_$

16、（本小题满分 12 分）
在等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{2}-a_{1}=2$，且 $2 a_{2}$ 为 $3 a_{1}$ 和 $a_{3}$ 的等差中项，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项、公比及前 $n$项和。

18．（本小题满分 12 分）
已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足：$\left|a_{2}-a_{3}\right|=10, a_{1} a_{2} a_{3}=125$ ．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）是否存在正整数 $m$ ，使得 $\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots \cdots+\frac{1}{a_{n}}>1$ ？若存在，求 $m$ 的最小值；若不存在，说明理由。

19．（本小题满分 13 分）
已知 $S_{n}$ 是等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，$S_{4}, S_{2}, S_{3}$ 成等差数列，且 $a_{2}+a_{3}+a_{4}=-18$．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）是否存在正整数 $n$，使得 $S_{n} \geq 2013$ ？若存在，求出符合条件的所有 $n$ 的集合；若不存在，说明理由．

3．（5分）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{3}=a_{2}+10 a_{1}, a_{5}=9$ ，则 $a_{1}=$（

6．（5分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $3 a_{n+1}+a_{n}=0, a_{2}=-\frac{4}{3}$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 10 项和等于（ ）

6．（5分）设首项为 1 ，公比为 $\frac{2}{3}$ 的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（ ）

7．（5分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $3 a_{n+1}+a_{n}=0, a_{2}=-\frac{4}{3}$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 10 项和等于

9．已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$，记 $b_{n}=a_{m(n-1)+1}+a_{m(n-1)+2}+\cdots+a_{m(n-1)+m}$， $b_{n}=a_{m(n-1)+1} * a_{m(n-1)+2} * \cdots * a_{m(n-1)+m},(m, n \in N *)$，则以下结论一定正确的是

13．设公比为 $q(q>0)$ 的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．

若 $S_{2}=3 a_{2}+2, S_{4}=3 a_{4}+2$ ，则 $q=$ $\_\_\_\_$ ．

14．（5分）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3}+3 S_{2}=0$ ，则公比 $q=$ $\_\_\_\_$ －2 ．

（5）公比为 2 的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项都是正数，且 $a_{3} a_{11}=16$ ，则 $a_{5}=()$

5．（5分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，$a_{4}+a_{7}=2, a_{5} a_{6}=-8$ ，则 $a_{1}+a_{10}=$（）

6．（5 分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，下面结论中正确的是（）

11．（5分）（2011•北京）在等比数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 中， $\mathrm{a}_{1}=\frac{1}{2}, \mathrm{a}_{4}=-4$ ，则公比 $\mathrm{q}=$ $\_\_\_\_$ －2
$;\left|a_{1}\right|+\left|a_{2}\right|+\ldots+\left|a_{n}\right|=-2^{n-1}-\frac{1}{2}-$.

17．（12分）已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=\frac{1}{3}$ ，公比 $q=\frac{1}{3}$ ．
（I）$S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，证明：$S_{n}=\frac{1-a_{n}}{2}$
（II）设 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\log _{3} \mathrm{a}_{1}+\log _{3} \mathrm{a}_{2}+\ldots+\log _{3} \mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ ，求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式。

2．（5分）（2010•北京）在等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1$ ，公比 $q \neq 1$ 。若 $a_{m}=a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}$ ，则 $m=$（ ）

4．（5分）已知各项均为正数的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}, ~ a_{1} a_{2} a_{3}=5, ~ a_{7} a_{8} a_{9}=10$ ，则 $a_{4} a_{5} a_{6}=$

5．等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=2, a_{8}=4$ ，函数 $f(x)=x\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{8}\right)$ ，则 $f^{\prime}(0)=$

（6）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 1 的等比数列，$s_{n}$ 是 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和，

且 $9 s_{3}=s_{6}$ ，则数列 $\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$ 的前 5 项和为

7．等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$\left|a_{1}\right|=1, a_{5}=-8 a_{2}, a_{5}>a_{2}$ ，则 $a_{n}=$

11．（2009 浙江理 11）设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}_{\text {的公比 }} q=\frac{1}{2}$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $\frac{S_{4}}{a_{4}}=$

13．（5分）设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．若 $a_{1}=1, S_{6}=4 S_{3}$ ，则 $a_{4}=$ $\_\_\_\_$ 3 ．

14．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，$|q|>1$ ，令

$b_{n}=a_{n}+1(n=1,2, \cdots)_{\text {若数列 }}\left\{b_{n}\right\}$ 有连续四项在集合 $\{-53,-23,19,37,82\}$ 中，则 $6 q=$

（15）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比 $q>0$ ，已知 $a_{2}=1, a_{n+2}+a_{n+1}=6 a_{n}$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 4 项和 $S_{4}=$。

21．（12分）（2009•陕西）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{2}=2, a_{n+2}=\frac{a_{n}+a_{n+1}}{2}, n \in N^{*}$ ．
（1）令 $b_{n}=a_{n+1}-a_{n}$ ，证明：$\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列；
（2）求 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式。

6．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直。其中，为真命题的是

（6）设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{S_{6}}{S_{3}}=3$ ，则 $\frac{S_{9}}{S_{6}}=$

（4）已知 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是等比数列，$a_{2}=2, a_{5}=\frac{1}{4}$ ，则公比 $\mathrm{q}=$

（6）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列，$a_{2}=2, a_{5}=\frac{1}{4}$ ，则 $a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\cdots+a_{n} a_{n+1}=$

7．（5分）已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+a_{2}=3, a_{2}+a_{3}=6$ ，则 $a_{7}=$

8、设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比 $q=2$ ，前 n 项和为 $S_{n}$ ，则 $\frac{S_{4}}{a_{2}}=$