（5分）设抛物线 C： y^ 2 =4 x 的焦点为 F，…——2013 高考数学第 10 题答案解析

【考点】K8：抛物线的性质．
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据题意，可得抛物线焦点为 $F(1,0)$ ，由此设直线 $l$ 方程为 $y=k(x-$ 1），与抛物线方程联解消去 $x$ ，得 $\frac{k}{4} y^{2}-y-k=0$ ．再设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}\right.$ ， $y_{2}$ ），由根与系数的关系和 $|A F|=3|B F|$ ，建立关于 $y_{1} , y_{2}$ 和 $k$ 的方程组，解之可得 $k$ 值，从而得到直线 $l$ 的方程。

【解答】解：∵ 抛物线 $C$ 方程为 $y^{2}=4 x$ ，可得它的焦点为 $F(1,0)$ ，
∴ 设直线 $l$ 方程为 $y=k(x-1)$

由 $\left\{\begin{array}{l}y=k(x-1) \\ y^{2}=4 x\end{array}\right.$ 消去 $x$ ，得 $\frac{k}{4} y^{2}-y-k=0$
设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，
可得 $y_{1}+y_{2}=\frac{4}{k}, y_{1} y_{2}=-4 \ldots(*)$
$\because|\mathrm{AF}|=3|\mathrm{BF}|$ ，
$\therefore y_{1}+3 y_{2}=0$ ，可得 $y_{1}=-3 y_{2}$ ，代入 $(*)$ 得 $-2 y_{2}=\frac{4}{k}$ 且 $-3 y_{2}{ }^{2}=-4$ ，
消去 $y_{2}$ 得 $k^{2}=3$ ，解之得 $k= \pm \sqrt{3}$
∴ 直线 $l$ 方程为 $\mathrm{y}=\sqrt{3}(\mathrm{x}-1)$ 或 $\mathrm{y}=-\sqrt{3}(\mathrm{x}-1)$
故选：C．

【点评】本题给出抛物线的焦点弦 AB 被焦点 F 分成1： 3 的两部分，求直线 AB 的方程，着重考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题。