斜率不存在未讨论高考易错题

13．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$ ，则过 $(3,0)$ 且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为 $\_\_\_\_$ ．

19．已知椭圆方程 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，焦点和短轴端点构成边长为 2 的正方形，过 $(0, t)(t>\sqrt{2})$
的直线 $l$ 与椭圆交于 $A, B, C(0,1)$ ，连接 $A C$ 交椭圆于 $D$ ．
（1）求椭圆方程和离心率；
（2）若直线 $B D$ 的斜率为 0 ，求 $t$ ．

20．设椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $M\left(1, \frac{3}{2}\right)$ 在 $C$ 上，且 $M F \perp x$ 轴．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）过点 $P(4,0)$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，$N$ 为线段 $F P$ 的中点，直线 $N B$ 交直线 $M F$ 于点 $Q$ ，证明：$A Q \perp y$ 轴．

18．设椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $M\left(1, \frac{3}{2}\right)$ 在 $C$ 上，且 $M F \perp x$ 轴．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）过点 $P(4,0)$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，$N$ 为线段 $F P$ 的中点，直线 $N B$ 交直线 $M F$ 于点 $Q$ ，证明：$A Q \perp y$ 轴．

16．已知 $A(0,3)$ 和 $P\left(3, \frac{3}{2}\right)$ 为椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 上两点．
（1）求 $C$ 的离心率；
（2）若过 $P$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于另一点 $B$ ，且 $\triangle A B P$ 的面积为 9 ，求 $l$ 的方程．

21．已知直线 $x-2 y+1=0$ 与抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 交于 $A, B$ 两点，$|A B|=4 \sqrt{15}$ ．
（1）求 $p$ ；
②设 $F$ 为 $C$ 的焦点，$M, N$ 为 $C$ 上两点，且 $\overrightarrow{F M} \cdot \overrightarrow{F N}=0$ ，求 $\triangle M F N$ 面积的最小值．

20．已知椭圆 $C: \frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，点 $A(-2,0)$ 在 $C$ 上．
（1）求 $C$ 的方程；

（2）过点（－2，3）的直线交 $C$ 于点 $P, Q$ 两点，直线 $A P, A Q$ 与 $y$ 轴的交点分别为 $M, N$ ，证明：线段 $M N$ 的中点为定点．

21．已知椭圆 $C: \frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，点 $A(-2,0)$ 在 $C$ 上．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）过点 $(-2,3)$ 的直线交 $C$ 于 $P, Q$ 两点，直线 $A P, A Q$ 与 $y$ 轴的交点分别为 $M, N$ ，证明：线段 $M N$ 的中点为定点．

21．已知双曲线 C 的中心为坐标原点，左焦点为 $(-2 \sqrt{5}, 0)$ ，离心率为 $\sqrt{5}$ ．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）记 $C$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，过点 $(-4,0)$ 的直线与 $C$ 的左支交于 $M, N$ 两点，$M$ 在第二象限，直线 $M A_{1}$ 与 $N A_{2}$ 交于点 $P$ ．证明：点 $P$ 在定直线上．

21．设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $D(p, 0)$ ，过 $F$ 的直线交 $C$ 于 $M, N$ 两点．当直线 $M D$垂直于 $x$ 轴时，$|M F|=3$ ．
（1）求 $C$ 的方程；
②设直线 $M D, N D$ 与 $C$ 的另一个交点分别为 $A, B$ ，记直线 $M N, A B$ 的倾斜角分别为 $\alpha, \beta$ 。当 $\alpha-\beta$取得最大值时，求直线 $A B$ 的方程．

21．已知椭圆 $E$ 的中心为坐标原点，对称轴为 $x$ 轴、 $y$ 轴，且过 $A(0,-2), B\left(\frac{3}{2},-1\right)$ 两点．

（1）求 $E$ 的方程；
②设过点 $P(1,-2)$ 的直线交 $E$ 于 $M, N$ 两点，过 $M$ 且平行于 $x$ 轴的直线与线段 $A B$ 交于点 $T$ ，点 $H$ 满足 $\overrightarrow{M T}=\overrightarrow{T H}$ ．证明：直线 $H N$ 过定点．

10．已知 $O$ 为坐标原点，过抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 焦点 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，其中 $A$ 在第一象限，点 $M(p, 0)$ ，若 $|A F|=|A M|$ ，则（ ）

16．已知直线 $l$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 在第一象限交于 $A, B$ 两点，$l$ 与 $x$ 轴，$y$ 轴分别交于 $M, N$ 两点，且 $|M A|=|N B|,|M N|=2 \sqrt{3}$ ，则 $l$ 的方程为

22．在直角坐标系 $x O y$ 中，$\odot C$ 的圆心为 $C(2,1)$ ，半径为 1 ．
（1）写出 $\odot C$ 的一个参数方程；
（2）过点 $F(4,1)$ 作 $\odot C$ 的两条切线．以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程．

20．已知抛物线 $y^{2}=x$ 上的动点 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，过 $M$ 分别作两条直线交抛物线于 $P , Q$ 两点，交直线 $x=t$ 于 $A , B$ 两点．
（1）若点 $M$ 纵坐标为 $\sqrt{2}$ ，求 $M$ 与焦点的距离；
（2）若 $t=-1, P(1,1), Q(1,-1)$ ，求证：$y_{A} \cdot y_{B}$ 为常数；
（3）是否存在 $t$ ，使得 $y_{A} \cdot y_{B}=1$ 且 $y_{P} \cdot \underline{y}$ 为常数？若存在，求出 $t$ 的所有可能值，若不存在，请说明理由．

20．已知 $A , B$ 分别为椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1(a>1)$ 的左、右顶点，$G$ 为 $E$ 的上顶点，
$\overrightarrow{A G} \cdot \overrightarrow{G B}=8, P$ 为直线 $x=6$ 上的动点，$P A$ 与 $E$ 的另一交点为 $C, P B$ 与 $E$ 的另一交点为 $D$ ．
（1）求 $E$ 的方程；
（2）证明：直线 $C D$ 过定点．

21．已知 $A , B$ 分别为椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1(a>1)$ 的左、右顶点，$G$ 为 $E$ 的上顶点， $\overrightarrow{A G} \cdot \overrightarrow{G B}=8, P$ 为直线 $x=6$ 上的动点，$P A$ 与 $E$ 的另一交点为 $C, P B$ 与 $E$ 的另一交点为 $D$ ．
（1）求 $E$ 的方程；
（2）证明：直线 $C D$ 过定点．

13．斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线过抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点，且与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|=$ $\_\_\_\_$ ．

19．已知椭圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点 $F$ 与抛物线 $C_{2}$ 的焦点重合，$C_{1}$ 的中心与 $C_{2}$ 的顶点重合．过 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线交 $C_{1}$ 于 $A, B$ 两点，交 $C_{2}$ 于 $C, D$ 两点，且 $|C D|=\frac{4}{3}|A B|$ ．
（1）求 $C_{1}$ 的离心率；
②设 $M$ 是 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共点，若 $|M F|=5$ ，求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的标准方程．

21．如图，已知椭圆 $C_{1}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{2}+y^{2}=1$ ，抛物线 $C_{2}: y^{2}=2 p x(p>0)$ ，点 $A$ 是椭圆 $C_{1}$ 与抛物线 $C_{2}$ 的交点，过点 $A$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C_{1}$ 于点 $B$ ，交抛物线 $C_{2}$ 于 $M(B, M$ 不同于 $A)$ ．
（I）若 $p=\frac{1}{16}$ ，求抛物线 $C_{2}$ 的焦点坐标；
（II）若存在不过原点的直线 $I$ 使 $M$ 为线段 $A B$ 的中点，求 $p$ 的最大值．

18．（14分）已知抛物线 $C: x^{2}=-2 p y$ 经过点（2，－1）．
（I）求抛物线 $C$ 的方程及其准线方程；
（II）设 $O$ 为原点，过抛物线 $C$ 的焦点作斜率不为 0 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于两点 $M, N$ ，直线 $y=-1$ 分别交直线 $O M, O N$ 于点 $A$ 和点 $B$ ．求证：以 $A B$ 为直径的圆经过 $y$ 轴上的两个定点．

19．（14 分）已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的右焦点为 $(1,0)$ ，且经过点 $A(0,1)$ ．
（I）求椭圆 $C$ 的方程；
（ II ）设 $O$ 为原点，直线 $l: y=k x+t(t \neq \pm 1)$ 与椭圆 $C$ 交于两个不同点 $P , Q$ ，直线 $A P$ 与 $x$ 轴交于点 $M$ ，直线 $A Q$ 与 $x$ 轴交于点 $N$ ．若 $|O M| \cdot|O N|=2$ ，求证：直线 $l$ 经过定点．

21．已知点 $A, B$ 关于坐标原点 $O$ 对称，$|A B|=A, \odot M$ 过点 $A, B$ 且与直线 $x+2=0$ 相切．
（1）若 $A$ 在直线 $x+y=0$ 上，求 $\odot M$ 的半径．
（2）是否存在定点 $P$ ，使得当 $A$ 运动时，$|M A|-|M P|$ 为定值？并说明理由。

21．如图，已知点 $F(1,0)$ 为抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ ，点 $F$ 为焦点，过点 $F$ 的直线交抛物线于 $A B$ 两点，点 $C$在抛物线上，使得 $\mathrm{V} A B C$ 的重心 $G$ 在 $x$ 轴上，直线 $A C$ 交 $x$ 轴于点 $Q$ ，且 $Q$ 在点 $F$ 右侧．记 $\triangle A F G, \triangle C Q G$ 的面积为 $S_{1}, S_{2}$ ．

（1）求 $p$ 的值及抛物线的标准方程；
（2）求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最小值及此时点 $G$ 的坐标．

19．（14 分）已知抛物线 $\mathrm{C}: \mathrm{y}^{2}=2 \mathrm{px}$ 经过点 $\mathrm{P}(1,2)$ ，过点 $\mathrm{Q}(0,1)$ 的直线 $l$与抛物线 C 有两个不同的交点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ，且直线 PA 交 y 轴于 M ，直线 PB 交 y轴于 $N$ ．
（I）求直线 $l$ 的斜率的取值范围；
（II）设 O 为原点， $\overrightarrow{\mathrm{QM}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{QO}}, \overrightarrow{\mathrm{QN}}=\mu \overrightarrow{\mathrm{QO}}$ ，求证：$\frac{1}{\lambda}+\frac{1}{\mu}$ 为定值。

18．（本小题满分 16 分）
如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C$ 过点 $\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ ，焦点 $F_{1}(-\sqrt{3}, 0), F_{2}(\sqrt{3}, 0)$ ，圆 $O$ 的直径为 $F_{1} F_{2}$ ．
（1）求椭圆 $C$ 及圆 $O$ 的方程；
②设直线 $/$ 与圆 $O$ 相切于第一象限内的点 $P$ ．
（1）若直线 $/$ 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 $P$ 的坐标；
（2）直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点．若 $\triangle O A B$ 的面积为 $\frac{2 \sqrt{6}}{7}$ ，

（第 18 题）

求直线 $/$ 的方程．

18．（14 分）已知抛物线 $C: y^{2}=2 p x$ 过点 $P(1,1)$ ．过点 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 作直线 $l$ 与抛物线 C 交于不同的两点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ ，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 $\mathrm{OP} , \mathrm{ON}$ 交于点 $A$ ，$B$ ，其中 $O$ 为原点。
（1）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）求证：$A$ 为线段 $B M$ 的中点．

10．（5分）已知 $F$ 为抛物线 $C$ ：$y^{2}=4 x$ 的焦点，过 $F$ 作两条互相垂直的直线 $I_{1}, I_{2}$ ，直线 $\mathrm{I}_{1}$ 与 C 交于 A 、 B 两点，直线 $\mathrm{I}_{2}$ 与 C 交于 D 、 E 两点，则 $|\mathrm{AB}|+|\mathrm{DE}|$ 的最小值为

21．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2}$ ，直线 $l$ 过 $F_{2}$ 且与双曲线交于 $A , B$ 两点．
（1）若 7 的倾斜角为 $\frac{\pi}{2}, \triangle F_{1} A B$ 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
②设 $b=\sqrt{3}$ ，若 $l$ 的斜率存在，且 $|A B|=4$ ，求 $l$ 的斜率．

19．（14分）（2016•天津）设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{3}=1(a>\sqrt{3})$ 的右焦点为 $F$ ，右顶点为A．已知 $\frac{1}{|O F|}+\frac{1}{|O A|}=\frac{3 e}{|F A|}$ ，其中 $O$ 为原点，$e$ 为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
②设过点 A 的直线 $l$ 与椭圆交于点 B （ B 不在 x 轴上），垂直于 1 的直线与 1 交于点 M ，与 y 轴于点 $H$ ，若 $B F \perp H F$ ，且 $\angle M O A \leqslant \angle M A O$ ，求直线 $l$ 的斜率的取值范围．

12．（5分）已知 $O$ 为坐标原点，$F$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点，$A$ ， B 分别为 C 的左，右顶点． P 为 C 上一点，且 $\mathrm{PF} \perp \mathrm{x}$ 轴，过点 A 的直线 $l$ 与线段 PF交于点 $M$ ，与 $y$ 轴交于点 $E$ ．若直线 $B M$ 经过 $O E$ 的中点，则 $C$ 的离心率为（

19．（15分）（2016•浙江）如图，设抛物线 $\mathrm{y}^{2}=2 \mathrm{px}(\mathrm{p}>0)$ 的焦点为 F ，抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于 $|\mathrm{AF}|-1$ ，
（I）求 p 的值；
（II）若直线 AF 交抛物线于另一点 B ，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 $N$ ，$A N$ 与 $x$ 轴交于点 $M$ ，求 $M$ 的横坐标的取值范围。

20．（14 分）已知椭圆 $C: x^{2}+3 y^{2}=3$ ，过点 $D(1,0)$ 且不过点 $E(2,1)$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，直线 $A E$ 与直线 $x=3$ 交于点 $M$ ．
（1）求椭圆 C 的离心率；
（2）若 $A B$ 垂直于 $x$ 轴，求直线 $B M$ 的斜率；
（3）试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系，并说明理由。

18．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>$ 0 ）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且右焦点 F 到左准线 1 的距离为 3 ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过 F 的直线与椭圆交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 $l$ 和 AB 于点 $\mathrm{P}, \mathrm{C}$ ，若 $\mathrm{PC}=2 \mathrm{AB}$ ，求直线 AB 的方程．

21、（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分．
已知椭圆 $x^{2}+2 y^{2}=1$ ，过原点的两条直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 分别于椭圆交于 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 和 $\mathrm{C} , \mathrm{D}$ ，记得到的平行四边形 ABCD 的面积为 $S$ ．
①设 $\mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right), \mathrm{C}\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，用 $\mathrm{A} , \mathrm{C}$ 的坐标表示点 C 到直线 $l_{1}$ 的距离，并证明 $S=2\left|x_{1} y_{1}-x_{2} y_{1}\right| ;$
②设 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的斜率之积为 $-\frac{1}{2}$ ，求面积 $S$ 的值．

20．已知抛物线 $C_{1}: x^{2}=4 y$ 的焦点 $F$ 也是椭圆 $C_{2}: \frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的一个焦点，$C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共弦的

长为 $2 \sqrt{6}$ ．
（1）求 $C_{2}$ 的方程；
（2）过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C_{1}$ 相交于 $A, B$ 两点，与 $C_{2}$ 相交于 $C, D$ 两点，且 $\overrightarrow{A C}$ 与 $\overrightarrow{B D}$ 同向
（i）若 $|A C|=|B D|$ ，求直线 $l$ 的斜率
（ii）设 $C_{1}$ 在点 $A$ 处的切线与 $x$ 轴的交点为 $M$ ，证明：直线 $l$ 绕点 $F$ 旋转时，$\triangle M F D$ 总是针角三角形

20．如图，椭圆 $\mathrm{E}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过点 $\mathrm{P}(0,1)$ 的动直线 $l$ 与椭圆相交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$两点，当直线 $l$ 平行与 $x$ 轴时，直线 $l$ 被椭圆 E 截得的线段长为 $2 \sqrt{2}$ ．
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，是否存在与点 P 不同的定点 Q ，使得 $\frac{|Q A|}{|Q B|}=\frac{|P A|}{|P B|}$ 恒成立？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分 12 分）已知椭圆 $\mathrm{E}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的半焦距为 $c$，原点 O 到经过两点 $(c, 0)$,
$(0, b)$ 的直线的距离为 $\frac{1}{2} c$．
（I）求椭圆 E 的离心率；

（II）如图， AB 是圆 $\mathrm{M}:(x+2)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{5}{2}$ 的一条直径，若椭圆 E 经过 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，求椭圆 E 的方程。

21．（本小题满分 12 分，（1）小问 5 分，（2）小问 7 分）
如题（21）图，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$，过 $F_{2}$ 的直线交椭圆于 $P, Q$两点，且 $P Q \perp P F_{1}$

（1）若 $\left|P F_{1}\right|=2+\sqrt{2},\left|P F_{2}\right|=2-\sqrt{2}$，求椭圆的标准方程
（2）若 $\left|P F_{1}\right|=|P Q|$，求椭圆的离心率 $e$．

10、设直线 $l$ 与抛物线 $y^{2}=4 x$ 相交于 $A, B$ 两点，与圆 $C:(x-5)^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)$ 相切于点 $M$，且 $M$ 为线段 $A B$ 中点，若这样的直线 $l$ 恰有4条，则 $r$ 的取值范围是