已知 O 为坐标原点，过抛物线 C: y^ 2 =2 p…——2022 高考数学第 10 题答案解析

【答案】ACD

## 【解析】

【分析】由 $|A F|=|A M|$ 及抛物线方程求得 $A\left(\frac{3 p}{4}, \frac{\sqrt{6} p}{2}\right)$ ，再由斜率公式即可判断 A 选项；表示出直线 $A B$ 的方程，联立抛物线求得 $B\left(\frac{p}{3},-\frac{\sqrt{6} p}{3}\right)$ ，即可求出 $|O B|$ 判断 B 选项；由抛物线的定义求出 $|A B|=\frac{25 p}{12}$ 即可判断 C 选项；由 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}<0, \overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}<0$ 求得 $\angle A O B, \angle A M B$ 为钝角即可判断 D 选项。

## 【详解】

对于 A ，易得 $F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$ ，由 $|A F|=|A M|$ 可得点 A 在 $F M$ 的垂直平分线上，则 A 点横坐标为 $\frac{\frac{p}{2}+p}{2}=\frac{3 p}{4}$,
代入抛物线可得 $y^{2}=2 p \cdot \frac{3 p}{4}=\frac{3}{2} p^{2}$ ，则 $A\left(\frac{3 p}{4}, \frac{\sqrt{6} p}{2}\right)$ ，则直线 $A B$ 的斜率为 $\frac{\frac{\sqrt{6} p}{2}}{\frac{3 p}{4}-\frac{p}{2}}=2 \sqrt{6}$ ， A 正确；
对于 B ，由斜率为 $2 \sqrt{6}$ 可得直线 $A B$ 的方程为 $x=\frac{1}{2 \sqrt{6}} y+\frac{p}{2}$ ，联立抛物线方程得
$y^{2}-\frac{1}{\sqrt{6}} p y-p^{2}=0$,
设 $B\left(x_{1}, y_{1}\right)$ ，则 $\frac{\sqrt{6}}{2} p+y_{1}=\frac{\sqrt{6}}{6} p$ ，则 $y_{1}=-\frac{\sqrt{6} p}{3}$ ，代入抛物线得 $\left(-\frac{\sqrt{6} p}{3}\right)^{2}=2 p \cdot x_{1}$ ，解得
$x_{1}=\frac{p}{3}$ ，则 $B\left(\frac{p}{3},-\frac{\sqrt{6} p}{3}\right)$ ，
则 $|O B|=\sqrt{\left(\frac{p}{3}\right)^{2}+\left(-\frac{\sqrt{6} p}{3}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{7} p}{3} \neq|O F|=\frac{p}{2}$ ，B 错误；
对于 C ，由抛物线定义知：$|A B|=\frac{3 p}{4}+\frac{p}{3}+p=\frac{25 p}{12}>2 p=4|O F|$ ，C 正确；
对于 $\mathrm{D}, \overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=\left(\frac{3 p}{4}, \frac{\sqrt{6} p}{2}\right) \cdot\left(\frac{p}{3},-\frac{\sqrt{6} p}{3}\right)=\frac{3 p}{4} \cdot \frac{p}{3}+\frac{\sqrt{6} p}{2} \cdot\left(-\frac{\sqrt{6} p}{3}\right)=-\frac{3 p^{2}}{4}<0$ ，则 $\angle A O B$ 为钝角，

又 $\overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}=\left(-\frac{p}{4}, \frac{\sqrt{6} p}{2}\right) \cdot\left(-\frac{2 p}{3},-\frac{\sqrt{6} p}{3}\right)=-\frac{p}{4} \cdot\left(-\frac{2 p}{3}\right)+\frac{\sqrt{6} p}{2} \cdot\left(-\frac{\sqrt{6} p}{3}\right)=-\frac{5 p^{2}}{6}<0$ ，则 $\angle A M B$ 为
钝角，
又 $\angle A O B+\angle A M B+\angle O A M+\angle O B M=360^{\circ}$ ，则 $\angle O A M+\angle O B M<180^{\circ}$ ，D 正确．
故选：ACD．