(本小题满分 12 分) 假设每天从甲地去乙地的旅客人数…——2013 高考数学第 20 题答案解析

2013_退役省自主命题 (2013·理)

2013 全国 第 20 题 解答题 区分题
2013_退役省自主命题 (2013·理)

20.(本小题满分 12 分)

假设每天从甲地去乙地的旅客人数 $X$ 是服从正态分布 $N\left(800,50^{2}\right)$ 的随机变量,
记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 $P_{n}$.

求 $P_{n}$ 的值;
(I)(参考数据:若 $X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$,有 $P(\mu-\sigma

$$ P(\mu-2 \sigma

(II)某客运公司用 $A, B$ 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每年每天往返一次, $A, B$ 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的营运成本分别为 1600 元/辆和 2400元/辆.公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队,并要求 $B$ 型车不多于 $A$ 型车 7 辆。若每天要以不小于 $P_{0}$ 的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备 $A$ 型车、 $B$ 型车各多少辆?

参考答案(1) 0.9772; (2) A型 5 辆,B 型 12 覀

完整解析 · 逐步详解

[答案]① 0.9772 ②A型 5 辆,B 型 12 覀
[解析]分析:(I)直接根据正态分在的定义和公式即可求待,(II)先根据题意建立目标函数及线性约束条件,再利用图解法即可求解,但要注意的是㖩优解 二取整数点。
解:(I)$p_{0}=0.5+\frac{1}{2} \times 0.9544=0.9772$
(II)设配备 $A$ 型车 $x$ 辆,$B$ 型车 $y$ 辆,运营成本为 $z$ 开,由已知条件得

$$ \left\{\begin{array}{c} x+y \leq 21 \\ 36 x+60 y \geq 900 \\ y-x \leq 7 \\ x, y \in N \end{array} \text {, 而 } z=1600 x+2400 y\right. $$

作出可行域,得到最优解.所以配备型车 5 辆,型车 12 辆可使运营成本最小。
[ 考点定位]本题考查正态分布及简单的线性规划的应用,考查分析问题和解决实际问题的能力。

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