端点取等判断错误高考易错题专题，共 121 道真题，覆盖 17 个年份、107 套试卷，适合老师备课、讲评和归纳训练。
20．已知 $f(x)=x+k \ln (1+x)$ 在 $(t, f(t))(t>0)$ 处切线为 $l$ ．
（1）若切线 $l$ 的斜率 $k=-1$ ，求 $f(x)$ 单调区间；
（2）证明：切线 $l$ 不经过 $(0,0)$ ；
（3）已知 $k=1, A(t, f(t)), C(0, f(t)), O(0,0)$ ，其中 $t>0$ ，切线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $B$ 时。当 $2 S_{\triangle A C O}=15 S_{\triangle A B O}$ ，符合条件的 $A$ 的个数为？
（参考数据： $1.09<\ln 3<1.10,1.60<\ln 5<1.61,1.94<\ln 7<1.95$ ）
21．已知函数 $f(x)=(1-a x) \ln (1+x)-x$ ．
①当 $a=-2$ 时，求 $f(x)$ 的极值；
②当 $x \geq 0$ 时，$f(x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．
6．已知函数为 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x^{2}-2 a x-a, x<0 \\ \mathrm{e}^{x}+\ln (x+1), x \geq 0\end{array}\right.$ ，在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，则 $a$ 取值的范围是（ ）
16．已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-a x-a^{3}$ ．
（1）当 $a=1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程；
（2）若 $f(x)$ 有极小值，且极小值小于 0 ，求 $a$ 的取值范围．
20．设函数 $f(x)=x-x^{3} \mathrm{e}^{a x+b}$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $y=-x+1$ ．
（1）求 $a, b$ 的值；
②设函数 $g(x)=f^{\prime}(x)$ ，求 $g(x)$ 的单调区间；
（3）求 $f(x)$ 的极值点个数．
20．已知函数 $f(x)=a x-\frac{\sin x}{\cos ^{2} x}, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ．
（1）当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x)+\sin x<0$ ，求 $a$ 的取值范围．
16．设 $a \in(0,1)$ ，若函数 $f(x)=a^{x}+(1+a)^{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．
21．已知函数 $f(x)=\left(\frac{1}{x}+a\right) \ln (1+x)$ ．
（1）当 $a=-1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程；
（2）是否存在 $a, b$ ，使得曲线 $y=f\left(\frac{1}{x}\right)$ 关于直线 $\mathrm{x}=\mathrm{b}$ 对称，若存在，求 $a, b$ 的值，若不存在，说明
理由。
（3）若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 存在极值，求 $a$ 的取值范围．
20．已知函数 $f(x)=\left(\frac{1}{x}+a\right) \ln (1+x)$ ．
（1）当 $a=-1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(x))$ 处的切线方程．
（2）若函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递增，求 $a$ 的取值范围．
4．设函数 $f(x)=2^{x(x-a)}$ 在区间 $(0,1)$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围是（）
19．已知函数 $f(x)=a\left(\mathrm{e}^{x}+a\right)-x$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）证明：当 $a>0$ 时，$f(x)>2 \ln a+\frac{3}{2}$ ．
22．（1）证明：当 $0
22．设函数 $f(x)=\frac{\mathrm{e}}{2 x}+\ln x(x>0)$ ．
（1）求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）已知 $a, b \in \mathbf{R}$ ，曲线 $y=f(x)$ 上不同的三点 $\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right),\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right),\left(x_{3}, f\left(x_{3}\right)\right)$ 处的切线都经过点 $(a, b)$ ．证明：
（i）若 $a>\mathrm{e}$ ，则 $0
19．已知函数 $f(x)=\frac{3-2 x}{x^{2}+a}$ ．
（1）若 $a=0$ ，求 $y=f(x)$ 在 $(1, f(1))$ 处切线方程；
（2）若函数 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极值，求 $f(x)$ 的单调区间，以及最大值和最小值．
21．已知函数 $f(x)=x^{3}-x^{2}+a x+1$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）求曲线 $y=f(x)$ 过坐标原点的切线与曲线 $y=f(x)$ 的公共点的坐标．
22．已知函数 $f(x)=x(1-\ln x)$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
②设 $a, b$ 为两个不相等的正数，且 $b \ln a-a \ln b=a-b$ ，证明： $2<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<\mathrm{e}$ ．
22．已知函数 $f(x)=(x-1) e^{x}-a x^{2}+b$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：$f(x)$ 有一个零点
①$\frac{1}{2}2 a$ ；
② $0
20．已知函数 $f(x)=e^{x}-a(x+2)$ ．
（1）当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围．
22．已知函数 $f(x)=a \mathrm{e}^{x-1}-\ln x+\ln a$ ．
（1）当 $a=e$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点（1，$f(1))$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若 $f(x) \geq 1$ ，求 $a$ 的取值范围．
## 答案解析：
21．已知函数 $f(x)=2 \ln x+1$ ．
（1）若 $f(x) \leq 2 x+c$ ，求 $c$ 的取值范围；
②设 $a>0$ 时，讨论函数 $g(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 的单调性．
22．已知函数 $f(x)=a \mathrm{e}^{x-1}-\ln x+\ln a$ ．
（1）当 $a=e$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点（1，$f(1))$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若 $f(x) \geq 1$ ，求 $a$ 的取值范围．
20．已知函数 $f(x)=x^{3}-k x+k^{2}$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x)$ 有三个零点，求 $k$ 的取值范围．
19．（本小题满分 16 分）
设函数 $f(x)=(x-a)(x-b)(x-c), a, b, c \in \mathrm{R} , f^{\prime}(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数．
（1）若 $a=b=c, f(4)=8$ ，求 $a$ 的值；
（2）若 $a \neq b, b=c$ ，且 $f(x)$ 和 $f^{\prime}(x)$ 的零点均在集合 $\{-3,1,3\}$ 中，求 $f(x)$ 的极小值；
（3）若 $a=0,0
19．改革开放 40 年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包
括个人现在支出、社会支出、政府支出，下表为 2012 年～2015 年我国卫生费用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．
| 年份 | 卫生总费用 （亿元） | 个人现金卫生支出 | | 社会卫生支出 | | 政府卫生支出 | |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| | | 绝对数 （亿元） | 占卫生总费用比重 （\％） | 绝对数 （亿元） | 占卫生总费用比重 （\％） | 绝对数 （亿元） | 占卫生总费用比重 （\％） |
| 2012 | 28119.00 | 9656.32 | A | 10030.70 | 35.67 | 8431.98 | 29.99 |
| 2013 | 31668.95 | 10729.34 | 33.88 | 11393.79 | 35.98 | 9545.81 | 30.14 |
| 2014 | 35312.40 | $B$ | 31.99 | 13437.75 | 38.05 | 10579.23 | 29.96 |
| 2015 | 40974.64 | 11992.65 | 29.27 | 16506.71 | 40.29 | 12475.28 | 30.45 |
（数据来源于国家统计年鉴）
（1）计算 $A , B$ 的数据，并指出2012年到 2015 年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势；
（2）设 $t=1$ 表示 1978 年，第 $n$ 年卫生总费用与年份 $t$ 之间拟合函数
$f(t)=\frac{357876.6053}{1+e^{6.4420-0.1136 t}}$ ，
研究函数 $f(t)$ 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过 12 万亿的年份．
20．设函数 $f(x)=\ln x-a(x-1) e^{x}$ ，其中 $a \in R$ ．
（I）若 $a \leq 0$ ，讨论 $f(x)$ 的单调性；
（II）若 $0
（ii）设 $x$ 为 $f(x)$ 的极值点，$x_{1}$ 为 $f(x)$ 的零点，且 $x_{1}>x_{0}$ ，证明 $3 x_{0}-x_{1}>2$ ．
20．已知函数 $f(x)=\sin x-\ln (1+x), f^{\prime}(x)$ 为 $f(x)$ 的导数．证明：
①$f^{\prime}(x)$ 在区间 $\left(-1, \frac{\pi}{2}\right)$ 存在唯一极大值点；
（2）$f(x)$ 有且仅有 2 个零点．
20．已知函数 $f(x)=2 \sin x-x \cos x-x, f^{\prime}(x)$ 为 $f(x)$ 的导数．
（1）证明：$f^{\prime}(x)$ 在区间 $(0, \pi)$ 存在唯一零点；
（2）若 $x \in[0, \pi]$ 时，$f(x) \geq a x$ ，求 $a$ 的取值范围．
12．设函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{5}\right)(\omega>0)$ ，已知 $f(x)$ 在 $[0,2 \pi]$ 有且仅有 5 个零点，下述四个结论：
①$f(x)$ 在 $(0,2 \pi)$ 有且仅有 3 个极大值点
②$f(x)$ 在 $(0,2 \pi)$ 有且仅有 2 个极小值点
③$f(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{10}\right)$ 单调递增
④$\omega$ 的取值范围是 $\left[\frac{12}{5}, \frac{29}{10}\right)$
其中所有正确结论的编号是
20．已知函数 $f(x)=2 x^{3}-a x^{2}+b$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）是否存在 $a, b$ ，使得 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 的最小值为 -1 且最大值为 1 ？若存在，求出 $a, b$的所有值；若不存在，说明理由．
18．（13 分）设函数 $f(x)=\left[a x^{2}-(4 a+1) x+4 a+3\right] e^{x}$ 。
（I）若曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在点 $(1, \mathrm{f}(1))$ 处的切线与 x 轴平行，求 a ；
（II）若 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\mathrm{x}=2$ 处取得极小值，求 a 的取值范围．
（20）（本小题满分 14 分）
设函数 $f(x)=\left(x-t_{1}\right)\left(x-t_{2}\right)\left(x-t_{3}\right)$ ，其中 $t_{1}, t_{2}, t_{3} \in \mathbf{R}$ ，且 $t_{1}, t_{2}, t_{3}$ 是公差为 $d$ 的等差数列．
（I）若 $t_{2}=0, d=1$ ，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程；
（II）若 $d=3$ ，求 $f(x)$ 的极值；
（III）若曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=-\left(x_{1}-t_{2}\right)-6 \sqrt{3}$ 有三个互异的公共点，求 $d$ 的取值范围．
21．（12分）已知函数 $f(x)=\frac{1}{x}-x+a \ln x$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x)$ 存在两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，证明：$\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}
21．（12分）已知函数 $f(x)=a e^{x}-\ln x-1$ ．
①设 $x=2$ 是 $f$（ $x$ ）的极值点，求 $a$ ，并求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）证明：当 $a \geq \frac{1}{e}$ 时，$f(x) \geq 0$ ．
21．（12分）已知函数 $f(x)=\left(2+x+a x^{2}\right) \ln (1+x)-2 x$ ．
（1）若 $a=0$ ，证明：当 $-1
（2）若 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点，求 $a$ ．
19．（13 分）已知函数 $f(x)=e^{x} \cos x-x$ ．
（1）求曲线 $y=f(x)$ 在点（ $0, f(0)$ ）处的切线方程；
（2）求函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值和最小值．
20．（13 分）已知函数 $f(x)=e^{x} \cos x-x$ ．
（1）求曲线 $y=f(x)$ 在点（ $0, f(0)$ ）处的切线方程；
（2）求函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值和最小值．
20．（16 分）已知函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+1(a>0, b \in R)$ 有极值，且导函数 $f^{\prime}$ （ $x$ ）的极值点是 $f(x)$ 的零点。（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；
（2）证明：$b^{2}>3 a$ ；
（3）若 $f(x), f^{\prime}(x)$ 这两个函数的所有极值之和不小于 $-\frac{7}{2}$ ，求 a 的取值范围．
二．非选择题，附加题（21－24 选做题）【选修 4－1：几何证明选讲】（本小题满分 0分）
13．函数 $f(x)=(x-1)^{2}$ 的单调递增区间是
20．（13分）已知函数 $f(x)=x^{2}+2 \cos x, g(x)=e^{x}(\cos x-\sin x+2 x-2)$ ，其中 $\mathrm{e} \approx 2.17828 \ldots$ 是自然对数的底数．
（I）求曲线 $y=f(x)$ 在点（ $\pi, f(\pi)$ ）处的切线方程；
（II）令 $\mathrm{h}(\mathrm{x})=\mathrm{g}$
（x）－a
$f(x)(a \in R)$ ，讨论 $h(x)$ 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
（20）（本小题满分 13 分）
已知函数 $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{2} a x^{2}, a \in R$ ，
（1）当 $a=2$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(3, f(3))$ 处的切线方程；
②设函数 $g(x)=f(x)+(x-a) \cos x-\sin x$ ，讨论 $g(x)$ 的单调性并判断有无极值 ，有极值时求出极值．