线性规划　·　历年高考数学真题与解析

14．设 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}-2 x+3 y \leq 3 \\ 3 x-2 y \leq 3 \\ x+y \geq 1\end{array}\right.$ ，设 $z=3 x+2 y$ ，则 $z$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ ．

15．若 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}x-3 y \leq-1 \\ x+2 y \leq 9 \\ 3 x+y \geq 7\end{array}\right.$ 则 $z=2 x-y$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ ．

13．（5 分）若 $x, y$ 满足 $x+1 \leq y \leq 2 x$ ，则 $2 y-x$ 的最小值是 $\_\_\_\_$ 3。

20．（本小题满分 12 分）
某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 $A, B$ 两种奶制品．生产 1 吨 $A$ 产品需鲜牛奶 2 吨，使用设备 1 小时，获利 1000 元；生产 1 吨 $B$ 产品需鲜牛奶 1.5 吨，使用设备 1.5 小时，获利 1200 元．要求每天 $B$ 产品的产量不超过 $A$ 产品产量的 2 倍，设备每天生产 $A, B$ 两种产品时间之和不超过 12 小时。假定每天可获取的鲜牛奶数量 $W$（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利 $Z$（单位：元）是一个随机变量。
（I）求 $Z$ 的分布列和均值；

（II）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求 3 天中至少有 1 天的最大获利超过 10000 元的概率．
－【答案】（I）$Z$ 的分布列为：

$E(Z)=9708$ ；（ II ） 0.973 ．

7．由不等式 $\left\{\begin{array}{l}x \leq 0 \\ y \geq 0 \\ y-x-2 \leq 0\end{array}\right.$ 确定的平面区域记为 $\Omega_{1}$ ，不等式 $\left\{\begin{array}{l}x+y \leq 1 \\ x+y \geq-2\end{array}\right.$ ，确定的平面区域记为 $\Omega_{2}$ ，在 $\Omega_{1}$中随机取一点，则该点恰好在 $\Omega_{2}$ 内的概率为（）

20．（本小题满分 12 分）

假设每天从甲地去乙地的旅客人数 $X$ 是服从正态分布 $N\left(800,50^{2}\right)$ 的随机变量，
记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 $P_{n}$．

求 $P_{n}$ 的值；
（I）（参考数据：若 $X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$，有 $P(\mu-\sigma

$ P(\mu-2 \sigma

（II）某客运公司用 $A, B$ 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每年每天往返一次， $A, B$ 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，从甲地去乙地的营运成本分别为 1600 元／辆和 2400元／辆．公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队，并要求 $B$ 型车不多于 $A$ 型车 7 辆。若每天要以不小于 $P_{0}$ 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备 $A$ 型车、 $B$ 型车各多少辆？

22．（12分）设函数 $f(x)=x^{3}+3 b x^{2}+3 c x$ 有两个极值点 $x_{1} , x_{2}$ ，且 $x_{1} \in[-1,0], x$

$ { }_{2} \in[1,2] . $

（1）求 $b$ 、 $c$ 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点 $(b, c)$ 的区域；
（2）证明：$-10 \leqslant f\left(x_{2}\right) \leqslant-\frac{1}{2}$ ．

22．（14 分）（ $2008 \bullet$ 四川）设函数 $f(x)=x^{3}-x^{2}-x+2$ ．
（I）求 $f(x)$ 的单调区间和极值；
（II）若当 $x \in[-1,2]$ 时，$-3 \leq a f(x)+b \leq 3$ ，求 $a-b$ 的最大值。