设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+…——2021 高考数学第 12 题答案解析

【答案】D

【解析】

【分析】通过f(x+1)是奇函数和 f(x+2)是偶函数条件，可以确定出函数解析式 $f ( x ) = - 2 x ^ { 2 } + 2$ ，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案
【详解】因为f(x+1)是奇函数，所以 $f { \big ( } - x + 1 { \big ) } = - f { \big ( } x + 1 { \big ) } \textcircled { 1 }$ ；
因为f(x+2)是偶函数，所以 $f \left( x + 2 \right) = f \left( - x + 2 \right) \textcircled { 2 }$
令x =1，由①得： $f \left( 0 \right) = - f \left( 2 \right) = - \left( 4 a + b \right)$ ，由②得： $f \left( 3 \right) = f \left( 1 \right) = a + b$
因为 $f { \bigl ( } 0 { \bigr ) } + f { \bigl ( } 3 { \bigr ) } = 6$ ，所以 $- { \big ( } 4 a + b { \big ) } + a + b = 6 \Rightarrow a = - 2$
令 x = 0，由①得： $f \left( 1 \right) = - f \left( 1 \right) \Rightarrow f \left( 1 \right) = 0 \Rightarrow b = 2$ ，所以 $f ( x ) = - 2 x ^ { 2 } + 2$
思路一：从定义入手
$f \left( { \frac { 9 } { 2 } } \right) = f \left( { \frac { 5 } { 2 } } + 2 \right) = f \left( - { \frac { 5 } { 2 } } + 2 \right) = f \left( - { \frac { 1 } { 2 } } \right)$

$$ f \left( - { \frac { 1 } { 2 } } \right) = f \left( - { \frac { 3 } { 2 } } + 1 \right) = - f \left( { \frac { 3 } { 2 } } + 1 \right) = - f \left( { \frac { 5 } { 2 } } \right) $$

$$ - f { \Bigg ( } { \frac { 5 } { 2 } } { \Bigg ) } = - f { \Bigg ( } { \frac { 1 } { 2 } } + 2 { \Bigg ) } = - f { \Bigg ( } - { \frac { 1 } { 2 } } + 2 { \Bigg ) } = - f { \Bigg ( } { \frac { 3 } { 2 } } { \Bigg ) } $$

所以 $f { \left( \frac { 9 } { 2 } \right) } = - f { \left( \frac { 3 } { 2 } \right) } = \frac { 5 } { 2 }$

思路二：从周期性入手

由两个对称性可知，函数 f(x)的周期 $T = 4$

所以 $f { \Bigg ( } { \frac { 9 } { 2 } } { \Bigg ) } = f { \Bigg ( } { \frac { 1 } { 2 } } { \Bigg ) } = - f { \Bigg ( } { \frac { 3 } { 2 } } { \Bigg ) } = { \frac { 5 } { 2 } }$

故选：D

【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果