【答案】（1）证明：由 $A + B + C = \pi$ 则 $\cos ( A + C ) = - \cos B = - { \frac { 3 } { 4 } }$
又 $\cos ^ { 2 } ( A + C ) + \sin A \sin C = 1$ V ，得 $\frac { 9 } { 1 6 } { + } \sin A \sin C = 1$ ，则 $\sin { A } \sin { C } = { \frac { 7 } { 1 6 } }$
由两角和的余弦公式， $\cos ( A + C ) = \cos { \mathcal { A } } \cos ^ { \circ } C - \sin A \sin C = - { \frac { 3 } { 4 } }$
结合 $\sin A \sin C = { \frac { 7 } { 1 6 } }$ 可知 $\cos A \cos C = - \frac { 5 } { 1 6 } < 0$ 2
则 $\cos A , \cos C$ 异号，必然一个为负，
又 $A , C \in ( 0 , \pi )$ ，即 $A , C$ 中必有一个是钝角；
> ② $3 + { \sqrt { 2 } }$
【解析】
【分析】① $\cos ( A + C ) = - \cos B$ ，结合题设得出 $\sin A \sin C = { \frac { 7 } { 1 6 } }$ ，然后由两角和的余弦展开得到$\cos A \cos C < 0$ ，进而得解；
> （2）先推出三角形面积公式的变形式 $S _ { \scriptscriptstyle \triangle A B C } = 2 R ^ { 2 } \sin A \sin B \sin C$ ，解得R，由正弦定理进而得出b，然后列余弦定理和面积公式的关于a,c的方程组求解
【小问1详解】
略
【小问2详解】
**方法一**：由正弦定理和三角形的面积公式，
$$
S _ { _ { \scriptscriptstyle \mathrm { \mathrm { A } A B C } } } = { \frac { 1 } { 2 } } a b \sin C = { \frac { 1 } { 2 } } ( 2 R \sin A ) ( 2 R \sin B ) \sin C = 2 R ^ { 2 } \sin A \sin B \sin C \ ,
$$
(R是 $\triangle A B C$ 外接圆半径）
又 $\sin A \sin C = { \frac { 7 } { 1 6 } }$ $\mathrm { s i n } B = { \sqrt { 1 - \left( { \frac { 3 } { 4 } } \right) ^ { 2 } } } = { \frac { \sqrt { 7 } } { 4 } }$ ，则 ${ \frac { \sqrt { 7 } } { 4 } } = 2 R ^ { 2 } \cdot { \frac { 7 { \sqrt { 7 } } } { 6 4 } }$ ，解得 $R = \frac { 2 \sqrt { 1 4 } } { 7 }$
又 $\sin B = { \frac { \sqrt { 7 } } { 4 } }$ ，则 $b = 2 R \sin B = { \sqrt { 2 } }$
由余弦定理 $b ^ { 2 } = a ^ { 2 } + c ^ { 2 } - 2 a c \cos B$ ，即 $a ^ { 2 } + c ^ { 2 } - \frac { 3 } { 2 } a c = 2$
又 ${ \frac { 1 } { 2 } } a c \sin B = { \frac { \sqrt { 7 } } { 8 } } a c = { \frac { \sqrt { 7 } } { 4 } }$ ，则 $a c = 2$
于是 $a ^ { 2 } + c ^ { 2 } - \frac { 3 } { 2 } a c = 2$ 即 $a ^ { 2 } + c ^ { 2 } = 5$ K
$( a + c ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } + 2 a c + c ^ { 2 } = 9$ ，解得 $a + c = 3$
故 $\triangle A B C$ 周长为 $( a + c ) + b = 3 + { \sqrt { 2 } }$
**方法二**：由 $\cos ^ { 2 } { \big ( } A + C { \big ) } + \sin A \sin C = 1 , \quad \exists \lambda \| \cos ^ { 2 } B + \sin A \sin C = 1$
即 $\sin A \sin C = 1 - \cos ^ { 2 } B = \sin ^ { 2 } B ,$ A
由正弦定理可得， $a c = b ^ { 2 } ,$
由三角形面积公式， $S _ { \_ A B C } = \frac { 1 } { 2 } a c \sin ^ { \circ } B = \frac { 1 } { 2 } a c \times \frac { \sqrt { 7 } } { 4 } = \frac { \sqrt { 7 } } { 4 }$
得到 $a c = 2$ ，则 $b = { \sqrt { 2 } }$ ，其余同上.