（12分）已知等差数列 a_ n 的公差不为零， a_ 1…——2013 高考数学第 17 题答案解析

【考点】84：等差数列的通项公式；88：等比数列的通项公式；8E：数列的求和．

【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d \neq 0$ ，利用成等比数列的定义可得， $a_{11}^{2}=a_{1} a_{13}$ ，再利用等差数列的通项公式可得 $\left(a_{1}+10 d\right)^{2}=a_{1}\left(a_{1}+12 d\right)$ ，化为 $d\left(2 a_{1}+25 d\right)=0$ ，解出 $d$ 即可得到通项公式 $a_{n}$ ；

（II）由（I）可得 $a_{3 n-2}=-2(3 n-2)+27=-6 n+31$ ，可知此数列是以 25 为首项 ，-6 为公差的等差数列。利用等差数列的前 $n$ 项和公式即可得出 $a_{1}+a_{4}+a_{7}+\ldots+ \mathrm{a}_{3 n-2} \cdot$

【解答】解：（I）设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d \neq 0$ ，
由题意 $a_{1}, a_{11}, a_{13}$ 成等比数列，$\therefore a_{11}^{2}=a_{1} a_{13}$ ，
$\therefore\left(a_{1}+10 d\right)^{2}=a_{1}\left(a_{1}+12 d\right)$ ，化为 $d\left(2 a_{1}+25 d\right)=0$ ，
$\because d \neq 0, \quad \therefore 2 \times 25+25 d=0$ ，解得 $d=-2$ ．
$\therefore a_{n}=25+(n-1) \times(-2)=-2 n+27$ ．
（II）由（I）可得 $a_{3 n-2}=-2(3 n-2)+27=-6 n+31$ ，可知此数列是以 25 为首项 ，-6 为公差的等差数列。
$\therefore S_{n}=a_{1}+a_{4}+a_{7}+\ldots+a_{3 n-2}=\frac{n\left(a_{1}+a_{3 n-2}\right)}{2}$
$=\frac{\mathrm{n}(25-6 \mathrm{n}+31)}{2}$
$=-3 n^{2}+28 n$ ．
【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式是解题的关键．